hasil yang sesungguhnya dengan hasil yang diharapkan menggambarkan
resiko dari investasi tersebut.
Agus Sartono 1995 : 39, mengatakan bahwa resiko berarti kemungkinan tidak tercapainya keuntungan yang diharapkan atau
kemungkinan return yang dihasilkan menyimpang dari return yang diharapkan, maka resiko akan semakin besar. Resiko ini dapat terjadi karena
lesunya ekonomi akibat resesi, adanya persaingan dalam dunia usaha, terjadi inflasi sehingga daya beli menurun, naik turunnya tingkat bunga dan
mata uang terhadap valuta asing, serta resiko yang terjadi akibat perubahan kebijakan pemerintah.
Menurut Francis Jack Clark 1976 : 318, terdapat dua macam resiko yakni resiko tidak sistematik dan sistematik. Resiko tidak sistematik adalah
resiko yang dapat dihilangkan dengan diversifikasi sedangkan resiko yang sistematik merupakan resiko yang diakibatkan oleh pasar yang akan
mempegaruhi semua perusahaan dan tidak dapat dihilangkan dengan diversifikasi seperti perang dan inflasi.
2.10 Teori Portofolio
Selanjutnya akan dijelaskan beberapa hal yang berhubungan dengan Teori Portofolio meliputi pengertian portofolio serta return dan resiko
portofolio.
2.10.1. Pengertian Portofolio
Portofolio merupakan strategi yang digunakan investor untuk menghadapi resiko yang sedang ia hadapi. J. Fred Weston dan Thomas
E. Copeland 1992 : 515, mengungkapkan bahwa Teori Portofolio merupakan teori yang digunakan untuk mengambil keputusan dalam
situasi yang tidak pasti. Menurut Suat Husnan 2001 : 54, portofolio adalah “sekumpulan kesempatan investasi”. Pada dasarnya, hakikat
pembuatan portofolio adalah menggurangi resiko dengan cara diversifikasi.
2.10.2. Return dan Resiko Portofilo
a Return Portofolio
Berdasarkan Jogiyanto 2007, untuk menghitung return realisasi dan return ekspektasi dari portofolio digunakan nilai
rata-rata tertimbang return dari return-return seluruh sekuritas. Tetapi, nilai resiko portofolio tidak harus sama dengan nilai rata-
rata tertimbang resiko-resiko seluruh sekuritas. Resiko portofolio bisa lebih kecil dari nilai rata-rata tertimbang resiko
masing-masing sekuritas tunggal. Berdasarkan Jogiyanto 2007:147, return Realisasi
Portofolio portfolio realized return merupakan rata-rata tertimbang dari return-return realisasi masing-masing sekuritas
tunggal dalam suatu portofolio. Secara matematis return realisasi portofolio dapat dirumuskan sebagai berikut:
1
.
n p
i i
i
R k R
1.6
dengan
p
R
adalah return realisasi portofolio,
i
k
adalah porsi sekuritas ke-i terhadap seluruh sekuritas dalam portofolio,
i
R
adalah return realisasi dari sekuritas ke-i, dan n adalah banyaknya sekuritas.
Return Ekspektasi Portofolio portfolio expected return dalam Jogiyanto 2007 : 158 merupakan rata-rata tertimbang
dari return-return ekspektasi masing-masing sekuritas tunggal dalam portofolio. Secara matematis return ekspektasi portofolio
dirumuskan sebagai berikut:
1
.
n p
i i
i
E R k E R
1.7
dengan
p
E R
adalah return ekspektasi portofolio,
i
k
adalah proporsi sekuritas i terhadap seluruh sekuritas dalam portofolio,
i
E R
adalah return ekspektasi dari sekuritas ke-i, dan n adalah banyaknya sekuritas.
Contoh 2.1. Suatu portofolio terdiri dari 3 macam sekuritas
dengan proporsi yang sama, yakni
1 3
bagian. Return ekspektasi masa yang akan datang untuk masing-masing sekuritas adalah
15 untuk sekuritas pertama, 18 untuk sekuritas kedua, dan 21 untuk sekuritas ketiga. Maka besarnya return ekspektasi
untuk portofolio tersebut adalah:
3 1
.E
p i
i i
E R k
R
1 1
1 .15
.18 .21
3 3
3
18
. Hal ini berarti, besarnya tingkat keuntungan yang diharapkan
dari portofolio yang terdiri dari 3 macam sekuritas tersebut sebesar 18.
b Resiko Portofolio
Dalam Jogiyanto 2007:149, resiko portofolio adalah varian return sekuritas-sekuritas yang membentuk portofolio.
Konsep resiko portofolio pertama kali di perkenalkan oleh Harry M. Markowitz pada tahun 1950-an. Karena hal ini, ia
memenangkan Nobel dibidang ekonomi pada tahun 1990. Dalam konsepnya, Harry M. Markowitz menunjukan bahwa
resiko dapat dikurangi dengan menggabungkan beberapa sekuritas tunggal kedalam bentuk portofolio. Untuk menunjukan
bahwa menggurangi resiko adalah dengan membentuk
portofolio, Jogiyanto 2007 mengawali dengan membahas portofolio dengan dua aktiva.
1 Portofolio dengan dua aktiva
Andaikan suatu portofolio memiliki dua aktiva, yaitu sekuritas A dan B. Proporsi masing-masing sekuritas didalam
portofolio berturut-turut adalah a dan b b = 1 – a, return
realisasi A sebesar R
A
dan return realisasi B sebesar R
B
, maka return realisasi dari portofolio tersebut adalah :
. . .
p A
B
R a R
b R
1.8 Sedangkan return ekspektasi sebesar :
. . .
P A
B
E R E a R
E b R
1.9 Nilai resiko salah satunya dapat diukur dengan
menggunakan standar deviasi standart deviation atau varian variance yang merupakan kuadrat dari deviasi standart.
Dengan menggunakan standar deviasi atau varian ini, resiko yang diukur adalah seberapa besar nilai setiap item sekuritas
yang menyimpang dari rata-ratanya. Dengan demikian, resiko portofolio dapat dirumuskan sebagai :
2 2
var
p p
p p
R E R
E R
1.10 dengan
var
p
R
adalah varian return portofolio, dan
2 p
adalah besarnya kuadrat dari deviasi standart.
Dengan mensubsitusikan persamaan 1.7 kedalam persamaan 1.9 maka didapat :
2
var
p p
p
R E R
E R
2
. .
. .
A B
a B
E a R b R
a E R b E R
2
. .
. .
A B
A B
E a R b R
E a R E b R
2
. .
. .
A B
A B
E a R b R
a E R b E R
2
. .
. .
A A
B B
E a R a E R
b R b E R
2
. .
A A
B B
E a R E R
b R E R
2 2
2 2
[ . .
A A
B B
E a R E R
b R E R
2. . .
]
A A
B B
a b R E R
R E R
2 2
2 2
.E[ ]
.E[ ]
A A
B B
a R
E R b
R E R
2. . . [ .
]
A A
B B
a b E R E R
R E R
Sehingga diperoleh
2 2
2 2
2
var .E[
] .E[
]
p p
A A
B B
R a
R E R
b R
E R
+
2. . . [ .
]
A A
B B
a b E R E R
R E R
. 1.11 Berdasarkan Jogiyanto 2007, kovarian covariance
antara return saham A dan B ditulis sebagai Cov R
A,
R
B
atau
,
A B
R R
. Kovarian akan menunjukan hubungan pergerakan dari nilai return sekuritas A dan B. Nilai kovarian yang positif akan
menunjukan nilai kedua sekuritas tersebut bergerak kearah yang sama jika nilai sekuritas A meningkat, maka nilai sekuritas B
juga meningkat, demikian sebaliknya jika nilai sekuritas A menurun maka nilai sekuritas B juga menurun. Sedangkan nilai
kovarian yang negatif menunjukan nilai kedua sekuritas bergerak kearah yang berlainan jika nilai sekuritas A
meningkat, maka nilai sekuritas B menurun atau jika nilai
sekuritas A menurun nilai sekuritas B meningkat. Hal ini berarti kedua sekuritas tersebut saling mengkompensasi satu sama lain.
Jika harga saham sekuritas A turun maka kekurangan dari sekuritas A tersebut ditutupi dengan kelebihan dari sekuritas B.
Demikian pula sebaliknya, jika harga saham B mengalami penurunan maka kekurangan dari harga saham sekuritas B
ditutupi dengan kelebihan dari sekuritas A. Nilai kovarian nol menunjukan bahwa nilai kedua sekuritas independen, yakni
pergerakan nilai sekuritas tidak saling berhubungan nilai sekuritas A tidak mempengaruhi nilai sekuritas B, demikian
sebaliknya nilai sekuritas B tidak mempengaruhi nilai sekuritas A. Nilai kovarian bergantung pada return-return ekspektasi dari
sekuritas A dan B, dihitung dengan rumus berikut :
. 1
cov .
. .
n A
B RA RB
Ai A
Bi B
i i
R R R
E R R
E R P
1.12 dengan
cov .
A B
R R
adalah kovarian return antara saham A dan saham B,
Ai
R
adalah return masa depan saham A kondisi ke-i,
Bi
R
adalah return masa depan saham A kondisi ke-i,
A
E R
adalah return ekspektasi saham A,
B
E R
adalah return ekspektasi saham B,
i
P
adalah probabilitas terjadinya masa depan untuk kondisi ke-i, n adalah banyaknya kondisi masa
depan dari i
1, 2, 3,... i
n
. 2
Portofolio dengan banyak aktiva Berdasarkan Jogiyanto 2007, portofolio dengan banyak
aktiva yakni portofolio yang terdiri dari 2
n buah sekuritas.
Misalkan proporsi masing-masing aktiva ke-i yang membentuk portofolio adalah
i
w
. Jika suatu portofolio memiliki tiga buah sekuritas misal sekuritas ke-1, sekuritas ke-2 dan sekuritas ke-3
maka proporsi masing-masing sekuritas adalah , , ,
sedangkan besarnya varian untuk masing-masing sekuritas adalah
� , � , � dan besarnya kovarian masing-masing sekuritas ke-1 dan ke-2 , ke-2 dan ke-3, ke-3 dan ke-1 adalah
, ,
. Maka besarnya varian untuk ketiga sekuritas ini adalah
2 2
2 2
2 2
2 1
1 2
2 3
3
[ .
. .
]
p
w w
w
1 2
12 1
3 13
2 3
23
2. . . 2. . .
2. . . w w
w w w w
= [proporsi varian] + [proporsi kovarian]. 1.13 Dengan demikian, resiko portofolio adalah jumlah dari proporsi
varian dan kovarian masing-masing aktiva pada persamaan 1.13 dapat dituliskan kembali sebagai
11 12
13 1
2 1
2 3
21 22
23 2
31 32
33 3
p
w w
w w
w w
.
Matrik
11 12
13 21
22 23
31 32
33
dapat disebut sebagai matrik varian
kovarian untuk 3 aktiva. Berdasarkan materi pada subbab sebelumnya yakni pada subab 2.6 tentang matrik varian-kovaria,
diagonal utama matrik ini yakni � , � , � berisi nilai varian
masing-masing aktiva. Sedangkan bagian diluar diagonal ini merupakan kovarian yakni
� , � , � . Matrik ini adalah matrik yang simetrik, karena bagian atas luar diagonal sama
dengan bagian bawah luar diagonal. Berdasarkan uraian diatas, maka untuk n-aktiva varian
portofolio dapat dirumuskan sebagai
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
1 2
2 3
3
[ .
. .
... .
]
p n
n
w w
w w
1 2
12 1
3 13
[2. . . 2. . .
... w w
w w
2 2
1 1
2. . . ... 2.
. . ]
n n
n n
n n
w w w
w
1.14 atau dapat dituliskan sebagai
2 2
2 1
1 1
. . .
n n
n p
i i
i j
ij i
i j
w w w
. 1.15
Rumus diatas dapat dijabarkan kembali menjadi
2 1
1 1
. . .
.
n n
n p
i i
ii i j
i j
ij i
i j
w w w w
Bagian pertama dan kedua dari rumus diatas dapat digabung menjadi :
2 1
. .
n n
p i
j ij
i i j
w w
1.16
c Menentukan Portofolio Yang Efisien
Berdasarkan Jogiyanto 2007, portofolio yang efisien efficient portfolio merupakan portofolio yang mampu
memberikan return ekspektasi terbesar dengan resiko yang sudah tertentu atau memberikan resiko terkecil dengan return
ekspektasi yang sudah tertentu. Portofolio yang efisien dapat ditentukan dengan memilih tingkat return ekspektasi yang
tertentu dan meminimumkan resikonya atau menentukan resikonya dan kemudian memaksimumkan ekspektasinya.
Pada penelitian ini akan disusun portofolio optimal dengan
memilih tingkat
return ekspektasi
kemudian meminimumkan
resikonya Model
Markowitz. Untuk
menggunakan model ini pada Jogiyanto 2007, ada beberapa asumsi yang digunakan pada model ini , yaitu :
1. Waktu yang digunakan hanya satu periode.
2. Tidak ada biaya transaksi.
3. Preferensi investor hanya didasarkan pada return
ekspektasi dan resiko dari portofolio. 4.
Tidak ada pinjaman dan simpanan bebas resiko. Asumsi yang menyatakan bahwa preferensi investor
hanya didasarkan pada return ekspektasi dan resiko portofolio sebenarnya menganggap bahwa investor memiliki utility yang
sama pada dasarnya berbeda. Jika preferensi investor berbeda karena utility mereka berbeda maka optimal portofolio untuk
tiap-tiap investor akan berbeda. Demikian juga jika tersedia pinjaman dan simpanan bebas resiko maka optimal portofolio
akan berbeda juga. Pada model Markowitz, titik optimal ditentukan dengan
menggunakan metode penyelesaian optimasi. Fungsi obyektif yang digunakan adalah fungsi resiko portofolio berdasarkan
metode Markowitz. Fungsi obyektif ini akan diminimalkan dengan menetapkan beberapa kendala. Kendala pertama adalah
total proporsi yang diinvestasikan dimasing-masing aktiva. Untuk seluruh n aktiva adalah totalnya sama dengan 1 dana
yang diinvestasikan 100. Misal
�
adalah proporsi aktiva ke- i yang diinvestasikan dengan n aktiva, maka kendala pertama
dapat dituliskan sebagai
1
1
n i
i
w
Kendala kedua adalah proporsi setiap sekuritas tidak boleh bernilai negatif, yaitu
0, 1, 2,...
i
w i
n
Kendala ketiga adalah jumlah rata-rata dari seluruh return masing-masing aktiva
�
�
sama dengan return portofolio �
�
, yaitu
1
.
n i
i p
i
w R R
Sehingga bentuk optimasinya adalah meminumumkan
2 2
2 1
1 1
. .
.
n n
n p
i i
i j i
j ij
i i
j
w w w
=
. .
T
w w
dengan
1 2
n
w w
w w
dan
11 1
1 n
m mn
a a
a a
.
dengan kendala:
1
1
n i
i
w
0, 1, 2,...
i
w i
n
1
.
n i
i p
i
w R R
35
BAB III OPTIMASI KUADRATIK
3.1 Pemrograman Kuadratik
Berdasarkan Mital 1987, pemrogaman kuadratik merupakan persoalan optimasi nonlinear berkendala dimana fungsi obyektifnya berbentuk kuadratik
dan fungsi kendala berbentuk linier. Jika fungsi obyektif merupakan fungsi konveks maka masalah pemrograman kuadratik tersebut disebut pemrograman
kuadratik konveks. Bentuk umum dari pemrograman kuadratis adalah sebagai berikut :
meminimumkan:
fx= Px + xAx
n n
n j
j jk
j k
j=1 j=1 k=1
= P x +
A x x
1.17
dengan kendala
,
eq eq
A x b x
Dengan x, P dan A dari bentuk kuadratik diatas didefinisikan sebagai berikut :
, ,
.
1 1
11 1n
2 2
n1 nn
n n
x P
a … a
x P
x = P =
A = a
a x
P
3.2 Pengali Lagrange
Untuk menentukan nilai maksimum atau minimum biasanya sering diiringi dengan beberapa kendala yang harus dipenuhi. Jika kendala tersebut
merupakan fungsi yang rumit dan mempunyai bentuk yang sedemikian rupa sehingga tidak dapat dinyatakan dalam satu variabel, maka metode subsitusi
dan eliminasi tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan. Sehingga dibutuhkan suatu metode yang tepat untuk menyelesaikan masalah
optimasi tersebut. Dalam Jong Jek Siang, metode yang sering digunakan adalah metode Lagrange Multiplier. Lagrange Multiplier adalah suatu metode untuk
memperoleh nilai-nilai maksimum atau minimum dari fungsi fx,y yang