Jarak pada Bangun Ruang

b Jika Garis Tegak Lurus Bidang c Jika Garis Memotong Bidang

2.1.12.3 Jarak pada Bangun Ruang

1 Jarak Titik ke Titik Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Jadi, untuk menentukan jarak titik A ke titik B dalam suatu ruang yakni dengan cara menghubungkan titik A dan titik B dengan ruas garis AB. Panjang ruas garis AB adalah jarak titik A ke titik B. 2 Jarak Titik ke Garis Jarak antara titik dan garis g dengan tidak terletak pada garis g adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik dan tegak lurus terhadap garis g. Langkah-langkah menentukan jarak titik ke garis g titik tidak terletak pada garis g adalah sebagai berikut. a Membuat ruas garis yang tegak lurus dengan garis g pada bidang α. tegak lurus terhadap bidang α. Proyeksi pada bidang α merupakan sebuah titik yaitu titik B. jadi, titik B adalah proyeksi pada bidang α. memotong bidang α di B. Proyeksi pada bidang α adalah ′ . Gambar 2.8 A ’ A B A B Gambar 2.7 b Panjang ruas garis merupakan jarak titik ke garis g. 3 Jarak Titik ke Bidang Jarak antara titik dan bidang V, tidak terletak pada bidang , adalah panjang ruas garis tegaklurus dari titik ke bidang . Langkah-langkah menentukan jarak titik ke bidang titik tidak terletak pada bidang adalah sebagai berikut. a Membuat garis g melalui titik dan tegak lurus bidang . b Garis g menembus bidang di titik . c Panjang ruas garis merupakan jarak titik ke bidang . 4 Jarak Dua Garis Sejajar Jarak antara dua garis g dan h yang sejajar adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap kedua garis tersebut. Gambar 2.9 a Panjang : jarak titik A ke titik B b Panjang : jarak titik A ke garis g g c Panjang : jarak titik A ke bidang g Jarak antara dua garis sejajar misal garis g dan garis h dapat digambarkan sebagai berikut. a Membuat garis l yang memotong tegak lurus terhadap garis g dan garis h, misal titik potongnya berturut-turut A dan B. b Panjang ruas garis AB merupakan jarak antara garis g dan garis h yang sejajar. 5 Jarak Garis dan Bidang yang Sejajar Jarak antara garis dan bidang yang saling sejajar adalah panjang ruas garis yang masing-masing tegak lurus terhadap garis dan bidang tersebut. Jarak antara garis g dan bidang yang sejajar dapat digambarkan sebagai berikut. a Mengambil sebarang titik pada garis g, misal titik A. b Melalui titik A dibuat garis m tegak lurus bidang . c Garis m memotong atau menembus bidang di titik A’. d Panjang ruas garis AA’ merupakan jarak antara garis g dan bidang yang saling sejajar. g h l A B d Gambar 2.10 Gambar 2.11 m g A A’ 6 Jarak Dua Bidang yang Sejajar Jarak antara dua bidang yang sejajar adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap dua bidang tersebut. Jarak antara bidang dan bidang yang sejajar dapat digambarkan sebagai berikut. a Mengambil sebarang titik P pada bidang . b Membuat garis k yang melalui titik P dan tegak lurus bidang . c Garis k menembus bidang di titik Q. d Panjang ruas garis PQ merupakan jarak antara bidang dan bidang yang sejajar. 7 Jarak Dua Garis Bersilangan Jarak antara dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis tegak lurus persekutuan dari kedua garis bersilangan tersebut. Jarak antara garis g dan h yang bersilangan sama dengan a jarak antara garis g dan bidang yang melalui garis h dan sejajar dengan garis g atau Gambar 2.12 P Q k b jarak antara bidang-bidang dan yang sejajar sedangkan melalui g dan melalui h. Jarak antara dua garis yang bersilangan misal garis g dan garis h dapat digambarkan dengan dua cara sebagai berikut. Cara I a Membuat sebarang garis g’ sejajar garis g yang memotong garis h. b Karena garis g’ berpotongan dengan garis h sehingga dapat dibuat sebuah bidang misal bidang . c Mengambil sebarang titik pada garis g, misal titik P. d Melalui titik P dibuat garis tegak lurus bidang sehingga menembus bidang di titik P’. e Melalui titik P’ dibuat garis sejajar garis g’ sehingga memotong garis h di titik Q. f Melalui titik Q dibuat garis sejajar PP’ sehingga memotong garis g di titik Q’. g Panjang ruas garis QQ’ merupakan jarak antara garis g dan h yang bersilangan. Gambar 2.13 g Q’ h g’ P P’ Q Cara II a Membuat garis g’ yang sejajar g dan memotong garis h. b Membuat garis h’ yang sejajar h dan memotong garis g. c Karena garis g’ dan garis h berpotongan sehingga dapat dibuat sebuah bidang, misal bida ng α. d Karena garis h’ dan garis g berpotongan sehingga dapat dibuat sebuah bidang, misal bidang β. e Mengambil sebarang titik pada garis g, misal titik S. f Melalui titik S dibuat garis tegak lurus bidang α sehingga menembus bidang α di titik S’. g Melalui titik S’ dibuat garis sejajar g’ sehingga memotong garis h di titik T. h Melalui titik T dibuat garis sejajar SS’ sehingga memotong garis g di titik T’. i Panjang ruas garis TT’ adalah jarak antara garis g dan h yang bersilangan. Gambar 2.14 g h’ g’ h S T T ’ S’

2.2 Kerangka Berpikir

Dimensi tiga termasuk dalam cabang geometri pada matematika. Seperti kita ketahui bahwa materi dalam geometri merupakan materi yang abstrak. Selain itu, perkembangan pendidikan matematika khususnya kurikulum geometri yang diterapkan di Indonesia dalam beberapa dasawarsa terakhir kurang mengembangkan kemampuan penalaran dan komunikasi matematika peserta didik. Materi yang diajarkan lebih banyak ditekankan pada fakta-fakta yang dipelajari secara parsial dan perhitungan-perhitungan. Materi yang diberikan umumnya bersifat parsial sehingga peserta didik mengalami kesulitan dalam memahami materi tersebut. Sebagai contoh, materi ketegaklurusan dan proyeksi tidak diberikan dalam mempelajari materi jarak dalam bangun ruang dimensi tiga. Pembelajaran matematika yang terjadi di lapangan pada umumnya masih menggunakan model pengajaran langsung dengan menerapkan metode ekspositori. Dalam pembelajaran model ini, peran guru sangat menentukan berhasil atau tidaknya proses pembelajaran di dalam kelas. Peserta didik hanya sebagai pendengar materi-materi yang diberikan oleh guru dan kemudian mencatat, mengerjakan soal-soal yang diberikan guru atau bertanya jika belum paham dengan materi yang diajarkan. Pembelajaran materi dimensi tiga hendaknya diusahakan agar peserta didik tidak sekedar hafalan teknis melainkan dapat mengembangkan kemampuan penalaran dan komunikasi. Pemilihan model pembelajaran yang tepat dan disesuaikan dengan teori tentang perkembangan berpikir dalam belajar geometri menurut Van Hiele dapat menjadi alternatif usaha untuk mewujudkan hal tersebut.