commit to user 27
10 20
30 40
t
H
bulan
L
0.15 0.2
0.25 0.3
0.35 0.4
0.45
S `
3
t Stadium
IV
Gambar 4.4 Plot Estimasi Fungsi Tahan Hidup Penderita Kanker Payudara Stadium IV
Dari Gambar 4.1, 4.2, 4.3, dan Gambar 4.4 terlihat bahwa estimasi fungsi tahan hidup semakin mengecil untuk waktu yang semakin lama. Ini berarti
semakin lama menderita kanker payudara maka semakin kecil probabilitas pasien penderita kanker payudara untuk bertahan hidup. Secara keseluruhan, probabilitas
penderita kanker payudara dapat bertahan hidup sampai 48 bulan adalah sebesar 22,879. Sedangkan probabilitas penderita kanker payudara stadium II dapat
bertahan hidup sampai 48 bulan adalah sebesar 42, stadium III sebesar 25,421, dan stadium IV sebesar 11,439.
4.2.4 Estimasi Variansi Kaplan – Meier
Berdasarkan estimasi fungsi tahan hidup Kaplan – Meier pada persamaan 4.1 diperoleh hasil
maka variansi untuk adalah
. 4.12
Misal pada percobaan binomial dengan parameter n
j
dan p
j
dengan p
j
adalah probabilitas tahan hidup setelah interval I
j
dengan syarat hidup setelah
commit to user 28
interval I
j-1
. Jumlah observasi yang dapat bertahan adalah sebanyak n
j
– d
j
, dengan menggunakan hasil variansi dari binomial variabel random maka diperoleh
. Oleh karena itu diperoleh variansi dari adalah
. 4.13
Variansi dari dapat diperoleh dengan menggunakan hasil umum
dari perhitungan variansi dari fungsi variabel random. Variansi fungsi variabel random dinyatakan dengan
4.14 Menggunakan persamaan 4.14, perhitungan variansi
adalah
4.15 dan mensubstitusikan persamaan 4.13 ke persamaan 4.15 maka diperoleh
4.16 Dengan mensubstitusikan persamaan 4.16 ke persamaan 4.12 maka diperoleh
4.17 Aplikasi lebih lanjut dari persamaan 4.14 adalah
. 4.18
Sehingga diperoleh nilai variansi estimasi fungsi tahan hidup Kaplan-Meier yaitu
. 4.19
Dengan mensubstitusikan persamaan 4.17 ke persamaan 4.19 maka diperoleh
4.20 Menurut Kleln 1997, kesalahan baku dari penaksir Kaplan-Meier adalah
4.21
commit to user 29
Hasil estimasi variansi fungsi tahan hidup penderita kanker payudara dapat dilihat selengkapnya pada Lampiran 2.
4.3 Estimasi Berliner – Hill
Pada subbab ini akan dibagi menjadi dua bagian, yaitu estimasi fungsi tahan hidup untuk keseluruhan data dan estimasi fungsi tahan hidup berdasarkan
klasifikasi stadium.
4.3.1 Estimasi Fungsi Tahan Hidup untuk Keseluruhan Data
Berliner-Hill merupakan distribusi prediktif nonparametrik untuk waktu hidup pasien baru yang diberikan perlakuan dengan tujuan estimasi fungsi tahan
hidup berdasarkan pada A
n
. Menurut Hill 1992, spesifikasi langsung yang didefinisikan dengan A
n
memiliki 3 ketentuan yaitu: 1. Jumlah random T
1
, T
2
, …, T
n
yang diamati dapat ditukar. 2. Ties observasi rangkap memiliki probabilitas 0.
3. Diberikan data t
j
dengan j = 1, 2, …, n, probabilitas untuk observasi akan datang terjadi pada interval
adalah untuk setiap j = 0,
1, 2, …, n. Hal ini berlaku untuk semua t
1
,t
2
, …, t
n
yang mungkin. Anggap terdapat n observasi yang terdiri dari k + l pasien. Misalkan waktu
tahan hidup pasien adalah T
1
, T
2
, …, T
n
yang merupakan vektor random yang menggambarkan waktu sebenarnya. Waktu tahan hidup dengan asumsi T
1
, T
2
, …, T
n
dapat ditukar dan pada observasi rangkap memiliki probabilitas 0. Misalkan merupakan waktu kematian dan
merupakan waktu tersensor. Sehingga data terdiri dari waktu kematian T
j
= t
j
untuk j = 1, 2, …, k dan waktu sensor T
k+i
y
i
untuk i = 1, 2, …, l. Data dari pasien tersensor dapat ditulis sebagai berikut
. Konsep umum yang mendasari penggunaan A
n
untuk analisis tahan hidup yaitu untuk setiap
pasien tersensor akan meninggal tepatnya pada salah satu interval I
j
yang terbentuk berdasar pada k pasien yang mengalami kematian. Distribusi prediktif berhubungan hanya atas interval I
j
di mana pasien
commit to user 30
tersensor akhirnya meninggal pada interval tersebut. Dikondisikan hanya pada interval
di mana observasi tersensor terjadi. Untuk setiap observasi tersensor y
i
, i = 1, 2, …, didefinisikan u
i
adalah nilai tidak tersensor terbesar nilai t sebelum y
i
, jika tidak ada maka u
i
= 0. Dengan kata lain, u
i
adalah indeks dari interval di mana y
i
terjadi. Didefinisikan Informasi Sensor Sebagian Partial Censoring Information, disingkat menjadi PCI sebagai berikut
; i = 1, 2, ..., l. Didefinisikan observasi tersensor tiap interval I
j
adalah mj, maka
dengan j = 0,1,...,k Fungsi hazard dari penaksir Berliner-Hill adalah
untuk j = 0,1, 2, …, k. 4.22
Estimasi Berliner – Hill untuk fungsi tahan hidup didasarkan pada fungsi tahan hidup model diskrit seperti pada persamaan 2.6 ,maka fungsi tahan hidup
Berliner-Hill didefinisikan sebagai berikut:
. 4.23
Berdasarkan PCI,
Untuk m0 = 0 maka sehingga diperoleh hasil
Sedangkan jika waktu hidup pasien tersensor dengan asumsi
pertukaran maka waktu hidup sensor dapat ditulis kembali menjadi T
k+1
, …, T
k+m0
di mana observasi m0 adalah waktu hidup tersensor pada interval I .
Berdasarkan informasi sensor sebagian, terjadinya sensor untuk observasi ini hanya T
k+i
≥ 0, untuk i = 1, 2, …, m0. Sehingga dapat dikatakan observasi yang
commit to user 31
terjadi pada j = 0 adalah sepenuhnya tidak informatif, maka observasi m0 dapat dihapus dari perhitungan f0. Dalam kasus ini, pengurangan jumlah observasi n –
m0 untuk jumlah tersesiko, jadi dapat dikatakan bahwa tidak ada observasi tersensor pada interval. Perhitungan dengan probabilitas bersyarat dapat
ditunjukkan sebagai berikut:
Pengurangan data dilakukan dengan menghapus kumpulan observasi sensor m0 dalam interval I
. Untuk perhitungan estimasi probabilitas prediktif f1 sampai fk ditunjukkan sebagai berikut:
Untuk j = 1 dan . Diberikan
dengan observasi m1 terjadi dalam interval I
1
dan informasi sensor sebagian meletakkan t
1
pada kejadian yang terjadi, seperti dalam kasus j = 0 dengan sensor diasumsikan tidak
informatif sehingga observasi sensor m1 dalam interval I
1
dapat dihapus pada waktu perhitungan dilakukan. Diperoleh probabilitas bersyarat untuk probabilitas
prediktif adalah
Selanjutnya dengan cara yang sama diperoleh rumus umum yaitu
4.24 Hasil estimasi fungsi tahan hidup penderita kanker payudara secara
keseluruhan dapat dilihat pada Lampiran 2.
4.3.2 Estimasi Fungsi Tahan Hidup Berdasarkan Kalsifikasi Stadium
