commit to user 19
BAB IV PEMBAHASAN
Pada bab ini dilakukan analisis untuk keseluruhan data maupun berdasarkan klasifikasi stadium kanker payudara. Analisis meliputi estimasi
Kaplan - Meier, estimasi Berliner - Hill, perbandingan penaksir Kaplan – Meier dan Berliner – Hill dalam mengestimasi fungsi tahan hidup, dan uji Mantel –
Haenszel.
4.1 Deskripsi Data
Data penderita kanker payudara diambil dari RSUP Dr. Soeradji Tirtonegoro meliputi data penderita dari tahun 2006 – 2009. Waktu tahan hidup
penderita kanker payudara dihitung mulai dari penderita didiagnosa terkena kanker payudara sampai dinyatakan meninggal oleh dokter. Penderita kanker
payudara yang pulang paksa, rawat jalan, dan sembuh dikategorikan sebagai data
commit to user 20
tersensor, sedangkan penderita kanker payudara yang diketahui lamanya waktu perawatan dari mulai didiagnosa menderita kanker payudara hingga dinyatakan
meninggal oleh dokter di RSUP dikategorikan sebagai data tidak tersensor. Ringkasan data keseluruhan dan berdasarkan klasifikasi stadium kanker payudara
dapat dilihat pada Tabel 4.1.
Tabel 4.1 Ringkasan Data Penderita Kanker Payudara
Banyak Penderita Stadium
Tidak Tersensor Tersensor
Jumlah II
4 18
22 III
5 38
43 IV
7 47
54 Jumlah
16 103
119
4.2 Estimasi Kaplan – Meier
Untuk menganalisis data, tahap awalnya adalah bagaimana mengestimasi fungsi tahan hidup dari keempat kategori data dengan menggunakan penaksir
Kaplan-Meier. Pada subbab ini akan dibagi menjadi dua bagian, yaitu estimasi fungsi tahan hidup untuk keseluruhan data dan estimasi fungsi tahan hidup
berdasarkan klasifikasi stadium.
4.2.1 Estimasi Fungsi Tahan Hidup untuk Keseluruhan Data
Penaksir Kaplan-Meier dapat dilakukan pada n individu dengan k kematian. Estimasi fungsi tahan hidup Kaplan-Meier dengan asumsi tidak terdapat
observasi rangkap pada pada n sampel observasi dapat diperoleh sebagai berikut: Misal t
1
t
2
… t
k
menggambarkan observasi waktu hidup dalam sampel berukuran n dari populasi homogen dengan fungsi tahan hidup
Observasi waktu tahan hidup pada t
j
dibagi menjadi k interval yaitu dengan t
= 0 dan t
k+1
= ∞ untuk j = 0, 1, …, k. Distribusi waktu
hidup yang memiliki fungsi tahan hidup adalah
commit to user 21
dengan d
j
= jumlah kegagalan pada saat t
j
dan n
j
= jumlah individu beresiko pada saat t
j
. Jika diasumsikan tidak terdapat observasi rangkap maka jumlah yang
gagal dan
Didefinisikan adalah banyaknya observasi tersensor dalam interval I
j
pada waktu , maka
dengan j = 0,1,...,k. Sehingga diperoleh fungsi hazard dari penaksir Kaplan-Meier adalah
untuk j = 1, 2, …, k diketahui fungsi hazard pada saat t
= 0 adalah .
Diasumsikan kegagalan individu – individu dalam sampel saling independen sehingga diperoleh
yang diestimasi dengan . Dengan
maka estimasi fungsi tahan hidup dalam k interval adalah
4.1
untuk j = 1, 2, …, k. Estimasi fungsi tahan hidup Kaplan-Meier pada saat t
= 0 adalah 1. Untuk mengestimasi fungsi tahan hidup Kaplan-Meier dapat juga dengan
menggunakan estimasi maksimum likelihood sebagai berikut. Estimasi Kaplan - Meier dari
didefinisikan seperti pada persamaan 2.8. Dari persamaan 2.8 diasumsikan terdapat k waktu terjadinya kematian
commit to user 22
yang berbeda t
1
t
2
... t
k
, dengan d
j
banyaknya kematian pada saat t
j
. Pada interval
terdapat m
j
waktu pengamatan tersensor, dinyatakan dengan L
j i
dan t = 0, t
k+1
= ∞, j =0, 1, 2, ..., k. Fungsi likelihoodnya dapat
dinyatakan sebagai
4.2 Persamaan 4.2 akan dimaksimumkan dengan membuat
dan besar dan
kecil. Misal diasumsikan ,
dinyatakan dan
untuk semua i dan j. Misal =P
j
sehingga persamaan 4.2 menjadi
dengan 4.3
Dengan memisalkan dan diberikan
dan maka persamaan 4.3 menjadi
. 4.4
Logaritma dari persamaan 4.4 adalah
. 4.5
commit to user 23
Turunan parsial dari persamaan 4.5 terhadap adalah
. 4.6
Untuk memperoleh estimasi dari p
j
maka persamaan 4.6 sama dengan nol agar L maksimum,
. Oleh karena n
j
0, 0 d
j
n
j
, dan 0 p
j
1, maka nilai
untuk setiap j. Agar , maka untuk
setiap j , sehingga
. 4.7
Estimasi maksimum likelihood dari P
j
adalah sehingga
diperoleh estimasi fungsi tahan hidup secara keseluruhan adalah
. 4.8
Hasil estimasi fungsi tahan hidup penderita kanker payudara secara keseluruhan dapat dilihat pada Lampiran 2.
4.2.2 Estimasi Fungsi Tahan Hidup Berdasarkan Kalsifikasi Stadium
Untuk mengestimasi fungsi tahan hidup berdasarkan klasifikasi stadium kanker payudara digunakan estimasi fungsi tahan hidup
. Berdasarkan fungsi tahan hidup pada persamaan 2.6 untuk variabel random diskrit, dapat diubah
untuk klasifikasi berdasarkan c stadium yaitu :
commit to user 24
. 4.9
Persamaan 2.5 disubstitusikan ke dalam persamaan 4.9 menjadi
. 4.10
Hubungan antara fungsi hazard berdasarkan klasifikasi stadium dengan fungsi hazard secara umum adalah
. Pada landasan teori telah disebutkan bahwa fungsi hazard merupakan laju
kematian sesaat pada waktu t sehingga estimasi fungsi hazard tersebut , dengan d
j
adalah banyaknya kematian pada saat t
j
.Banyaknya kematian saat t
j
pada klasifikasi stadium c adalah d
cj
, maka estimasi fungsi hazard pada stadium c adalah
. Sehingga diperoleh estimasi fungsi hazard berdasarkan klasifikasi stadium
adalah
dengan d
cj
merupakan jumlah kematian pada saat t
j
dengan klasifikasi data c. Estimasi dari persamaan 4.10 adalah
commit to user 25
. 4.11
Hasil estimasi fungsi tahan hidup penderita kanker payudara berdasarkan klasifikasi stadium kanker payudara dapat dilihat selengkapnya pada Lampiran 2.
4.2.3 Plot Estimasi Fungsi Tahan Hidup
Langkah selanjutnya dalam menganalisis data adalah membuat plot estimasi fungsi tahan hidup terhadap waktu tahan hidupnya. Langkah ini
berfungsi untuk melihat kecenderungan estimasi fungsi tahan hidup terhadap waktu yang semakin lama dan dapat melihat dengan jelas perbedaan antara hasil
estimasi fungsi tahan hidup untuk setiap stadium kanker payudara. Berdasarkan estimasi pada persamaan 4.8 dan 4.11, dengan hasil
estimasi fungsi tahan hidup pada Lampiran 2, diberikan plot estimasi fungsi tahan hidup untuk keempat kategori data terhadap waktu hidupnya, seperti terlihat pada
Gambar 4.1 sampai dengan Gambar 4.4
10 20
30 40
t
H
bulan
L
0.4 0.6
0.8 1
S `
t Keseluruhan
Data
Gambar 4.1 Plot Estimasi Fungsi Tahan Hidup Keseluruhan Data
commit to user 26
10 20
30 40
t
H
bulan
L
0.45 0.5
0.55 0.6
0.65 0.7
0.75
S `
1
t Stadium
II
Gambar 4.2 Plot Estimasi Fungsi Tahan Hidup Penderita Kanker Payudara Stadium II
10 20
30 40
t
H
bulan
L
0.25 0.3
0.35 0.4
0.45 0.5
S `
2
t Stadium
III
Gambar 4.3 Plot Estimasi Fungsi Tahan Hidup Penderita Kanker Payudara Stadium III
commit to user 27
10 20
30 40
t
H
bulan
L
0.15 0.2
0.25 0.3
0.35 0.4
0.45
S `
3
t Stadium
IV
Gambar 4.4 Plot Estimasi Fungsi Tahan Hidup Penderita Kanker Payudara Stadium IV
Dari Gambar 4.1, 4.2, 4.3, dan Gambar 4.4 terlihat bahwa estimasi fungsi tahan hidup semakin mengecil untuk waktu yang semakin lama. Ini berarti
semakin lama menderita kanker payudara maka semakin kecil probabilitas pasien penderita kanker payudara untuk bertahan hidup. Secara keseluruhan, probabilitas
penderita kanker payudara dapat bertahan hidup sampai 48 bulan adalah sebesar 22,879. Sedangkan probabilitas penderita kanker payudara stadium II dapat
bertahan hidup sampai 48 bulan adalah sebesar 42, stadium III sebesar 25,421, dan stadium IV sebesar 11,439.
4.2.4 Estimasi Variansi Kaplan – Meier
Berdasarkan estimasi fungsi tahan hidup Kaplan – Meier pada persamaan 4.1 diperoleh hasil
maka variansi untuk adalah
. 4.12
Misal pada percobaan binomial dengan parameter n
j
dan p
j
dengan p
j
adalah probabilitas tahan hidup setelah interval I
j
dengan syarat hidup setelah
commit to user 28
interval I
j-1
. Jumlah observasi yang dapat bertahan adalah sebanyak n
j
– d
j
, dengan menggunakan hasil variansi dari binomial variabel random maka diperoleh
. Oleh karena itu diperoleh variansi dari adalah
. 4.13
Variansi dari dapat diperoleh dengan menggunakan hasil umum
dari perhitungan variansi dari fungsi variabel random. Variansi fungsi variabel random dinyatakan dengan
4.14 Menggunakan persamaan 4.14, perhitungan variansi
adalah
4.15 dan mensubstitusikan persamaan 4.13 ke persamaan 4.15 maka diperoleh
4.16 Dengan mensubstitusikan persamaan 4.16 ke persamaan 4.12 maka diperoleh
4.17 Aplikasi lebih lanjut dari persamaan 4.14 adalah
. 4.18
Sehingga diperoleh nilai variansi estimasi fungsi tahan hidup Kaplan-Meier yaitu
. 4.19
Dengan mensubstitusikan persamaan 4.17 ke persamaan 4.19 maka diperoleh
4.20 Menurut Kleln 1997, kesalahan baku dari penaksir Kaplan-Meier adalah
4.21
commit to user 29
Hasil estimasi variansi fungsi tahan hidup penderita kanker payudara dapat dilihat selengkapnya pada Lampiran 2.
4.3 Estimasi Berliner – Hill
Pada subbab ini akan dibagi menjadi dua bagian, yaitu estimasi fungsi tahan hidup untuk keseluruhan data dan estimasi fungsi tahan hidup berdasarkan
klasifikasi stadium.
4.3.1 Estimasi Fungsi Tahan Hidup untuk Keseluruhan Data
Berliner-Hill merupakan distribusi prediktif nonparametrik untuk waktu hidup pasien baru yang diberikan perlakuan dengan tujuan estimasi fungsi tahan
hidup berdasarkan pada A
n
. Menurut Hill 1992, spesifikasi langsung yang didefinisikan dengan A
n
memiliki 3 ketentuan yaitu: 1. Jumlah random T
1
, T
2
, …, T
n
yang diamati dapat ditukar. 2. Ties observasi rangkap memiliki probabilitas 0.
3. Diberikan data t
j
dengan j = 1, 2, …, n, probabilitas untuk observasi akan datang terjadi pada interval
adalah untuk setiap j = 0,
1, 2, …, n. Hal ini berlaku untuk semua t
1
,t
2
, …, t
n
yang mungkin. Anggap terdapat n observasi yang terdiri dari k + l pasien. Misalkan waktu
tahan hidup pasien adalah T
1
, T
2
, …, T
n
yang merupakan vektor random yang menggambarkan waktu sebenarnya. Waktu tahan hidup dengan asumsi T
1
, T
2
, …, T
n
dapat ditukar dan pada observasi rangkap memiliki probabilitas 0. Misalkan merupakan waktu kematian dan
merupakan waktu tersensor. Sehingga data terdiri dari waktu kematian T
j
= t
j
untuk j = 1, 2, …, k dan waktu sensor T
k+i
y
i
untuk i = 1, 2, …, l. Data dari pasien tersensor dapat ditulis sebagai berikut
. Konsep umum yang mendasari penggunaan A
n
untuk analisis tahan hidup yaitu untuk setiap
pasien tersensor akan meninggal tepatnya pada salah satu interval I
j
yang terbentuk berdasar pada k pasien yang mengalami kematian. Distribusi prediktif berhubungan hanya atas interval I
j
di mana pasien
commit to user 30
tersensor akhirnya meninggal pada interval tersebut. Dikondisikan hanya pada interval
di mana observasi tersensor terjadi. Untuk setiap observasi tersensor y
i
, i = 1, 2, …, didefinisikan u
i
adalah nilai tidak tersensor terbesar nilai t sebelum y
i
, jika tidak ada maka u
i
= 0. Dengan kata lain, u
i
adalah indeks dari interval di mana y
i
terjadi. Didefinisikan Informasi Sensor Sebagian Partial Censoring Information, disingkat menjadi PCI sebagai berikut
; i = 1, 2, ..., l. Didefinisikan observasi tersensor tiap interval I
j
adalah mj, maka
dengan j = 0,1,...,k Fungsi hazard dari penaksir Berliner-Hill adalah
untuk j = 0,1, 2, …, k. 4.22
Estimasi Berliner – Hill untuk fungsi tahan hidup didasarkan pada fungsi tahan hidup model diskrit seperti pada persamaan 2.6 ,maka fungsi tahan hidup
Berliner-Hill didefinisikan sebagai berikut:
. 4.23
Berdasarkan PCI,
Untuk m0 = 0 maka sehingga diperoleh hasil
Sedangkan jika waktu hidup pasien tersensor dengan asumsi
pertukaran maka waktu hidup sensor dapat ditulis kembali menjadi T
k+1
, …, T
k+m0
di mana observasi m0 adalah waktu hidup tersensor pada interval I .
Berdasarkan informasi sensor sebagian, terjadinya sensor untuk observasi ini hanya T
k+i
≥ 0, untuk i = 1, 2, …, m0. Sehingga dapat dikatakan observasi yang
commit to user 31
terjadi pada j = 0 adalah sepenuhnya tidak informatif, maka observasi m0 dapat dihapus dari perhitungan f0. Dalam kasus ini, pengurangan jumlah observasi n –
m0 untuk jumlah tersesiko, jadi dapat dikatakan bahwa tidak ada observasi tersensor pada interval. Perhitungan dengan probabilitas bersyarat dapat
ditunjukkan sebagai berikut:
Pengurangan data dilakukan dengan menghapus kumpulan observasi sensor m0 dalam interval I
. Untuk perhitungan estimasi probabilitas prediktif f1 sampai fk ditunjukkan sebagai berikut:
Untuk j = 1 dan . Diberikan
dengan observasi m1 terjadi dalam interval I
1
dan informasi sensor sebagian meletakkan t
1
pada kejadian yang terjadi, seperti dalam kasus j = 0 dengan sensor diasumsikan tidak
informatif sehingga observasi sensor m1 dalam interval I
1
dapat dihapus pada waktu perhitungan dilakukan. Diperoleh probabilitas bersyarat untuk probabilitas
prediktif adalah
Selanjutnya dengan cara yang sama diperoleh rumus umum yaitu
4.24 Hasil estimasi fungsi tahan hidup penderita kanker payudara secara
keseluruhan dapat dilihat pada Lampiran 2.
4.3.2 Estimasi Fungsi Tahan Hidup Berdasarkan Kalsifikasi Stadium
Untuk mengestimasi fungsi tahan hidup berdasarkan klasifikasi stadium kanker payudara digunakan estimasi fungsi tahan hidup
. Berdasarkan fungsi tahan hidup pada persamaan 2.6 untuk variabel random diskrit, dapat diubah
untuk klasifikasi berdasarkan c stadium yaitu :
commit to user 32
. 4.25
Kemudian persamaan 4.24 tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan 4.25 menjadi
4.26 Persamaan 4.23 merupakan estimasi fungsi tahan hidup secara
keseluruhan dengan mengabaikan klasifikasi data. Estimasi fungsi tahan hidup dengan mempertimbangkan klasifikasi data c adalah
4.27 Hasil estimasi fungsi tahan hidup penderita kanker payudara berdasarkan
klasifikasi stadium kanker payudara dapat dilihat selengkapnya pada Lampiran 2.
4.2.3 Plot Estimasi Fungsi Tahan Hidup
Berdasarkan estimasi pada persamaan 4.23 dan 4.27, dengan hasil estimasi fungsi tahan hidup pada Lampiran 2, diberikan plot estimasi fungsi tahan
hidup untuk keempat kategori data terhadap waktu hidupnya, seperti terlihat pada Gambar 4.5 sampai dengan Gambar 4.8
10 20
30 40
t
H
bulan
L
0.4 0.5
0.6 0.7
0.8 0.9
1
S `
t Keseluruhan
Data
Gambar 4.5 Plot Estimasi Fungsi Tahan Hidup Keseluruhan Data
commit to user 33
10 20
30 40
t
H
bulan
L
0.5 0.6
0.7 0.8
0.9
S
`
1
t
Stadium II
Gambar 4.6 Plot Estimasi Fungsi Tahan Hidup Penderita Kanker Payudara Stadium II
10 20
30 40
t
H
bulan
L
0.3 0.4
0.5 0.6
S
`
2
t
Stadium III
Gambar 4.7 Plot Estimasi Fungsi Tahan Hidup Penderita Kanker Payudara Stadium III
10 20
30 40
t
H
bulan
L
0.2 0.3
0.4 0.5
0.6
S
`
3
t
Stadium IV
Gambar 4.8 Plot Estimasi Fungsi Tahan Hidup Penderita Kanker Payudara Stadium IV
commit to user 34
Dari Gambar 4.5, 4.6, 4.7, dan Gambar 4.8 terlihat bahwa estimasi fungsi tahan hidup semakin mengecil untuk waktu yang semakin lama. Ini berarti
semakin lama menderita kanker payudara maka semakin kecil probabilitas pasien penderita kanker payudara untuk bertahan hidup. Secara keseluruhan, probabilitas
penderita kanker payudara dapat bertahan hidup sampai 48 bulan adalah sebesar 33,635. Sedangkan probabilitas penderita kanker payudara stadium II dapat
bertahan hidup sampai 48 bulan adalah sebesar 42,15, stadium III sebesar 25,627, dan stadium IV sebesar 16,818.
4.3.3 Estimasi Variansi Berliner – Hill
Dengan asumsi perhitungan proporsi binomial
sehingga diperoleh
4.28 Dengan mensubstitusikan persamaan 4.28 ke persamaan 4.12 maka
diperoleh
4.29 Kemudian mensubstitusikan persamaan 4.29 ke persamaan 4.19 maka
diperoleh
4.30 Oleh karena itu kesalahan baku dari penaksir Berliner-Hill diperoleh
sebagai berikut 4.31
Hasil estimasi variansi fungsi tahan hidup penderita kanker payudara dapat dilihat selengkapnya pada Lampiran 2.
commit to user 35
4.4 Perbandingan Penaksir Kaplan – Meier dan Berliner – Hill
Untuk melihat perbandingan hasil estimasi fungsi tahan hidup yang diperoleh dengan menggunakan penaksir Kaplan – Meier dan Berliner – Hill,
maka dibuat plot estimasi fungsi tahan hidup keduanya.
10 20
30 40
t
H
bulan
L
0.4 0.6
0.8 1
S `
t Keseluruhan
Data
10 20
30 40
t
H
bulan
L
0.2 0.4
0.6 0.8
S `
i
t Stadium
II,III ,IV
Gambar 4.9 Plot Perbandingan Penaksir Kaplan – Meier dan Berliner – Hill Dari Gambar 4.9 terlihat bahwa plot estimasi fungsi tahan hidup
menggunakan penaksir Berliner – Hill berada di atas penaksir Kaplan – Meier. Hal ini menunjukkan bahwa nilai estimasi fungsi tahan hidup penderita kanker
payudara menggunakan penaksir Berliner – Hill lebih besar dari penaksir Kaplan – Meier. Selain membandingkan plot estimasi fungsi tahan hidup keduanya, dapat
dibandingkan nilai estimasi kesalahan baku untuk mengetahui penaksir yang
commit to user 36
lebih baik diantara yang lain. Hasil estimasi kesalahan baku dengan menggunakan persamaan 4.21 dan 4.31 diperoleh sebagai berikut
Tabel 4.2 Nilai Estimasi Kesalahan Baku Penaksir Kaplan – Meier dan Berliner - HIll
Kesalahan Baku time
Kaplan - Meier Berliner - Hill
4 0,00889
0,00881 5
0,01344 0,01332
6 0,01694
0,01677 9
0,02079 0,02057
10 0,02469
0,02441 12
0,02914 0,02877
14 0,03344
0,03298 15
0,03724 0,03671
16 0,04198
0,04133 24
0,05072 0,04967
25 0,05947
0,05801 26
0,06982 0,06777
27 0,08160
0,07875 29
0,11728 0,10886
37 0,15870
0,14252 44
0,18019 0,16698
Berdasarkan nilai estimasi kesalahan baku pada Tabel 4.2 diketahui bahwa estimasi kesalahan baku dari fungsi tahan hidup menggunakan penaksir Berliner –
Hill lebih kecil daripada estimasi kesalahan baku dari fungsi tahan hidup menggunakan penaksir Kaplan – Meier. Hal ini menunjukkan bahwa penggunaan
penaksir Berliner – Hill lebih baik digunakan untuk mengestimasi fungsi tahan hidup penderita kanker payudara.
commit to user 37
4.5 Uji Mantel – Haenszel
Kategori