Di dalam kerangka metode Bayes, dipandang sebagai suatu peubah acak yang
mempunyai fungsi sebaran dengan ruang parameter sebagai daerah fungsi. Fungsi
sebaran dari informasi awal disebut sebagai fungsi kepekatan awal sebaran prior dari
πθ. Sedangkan fungsi kepekatan peubah acak X dipandang sebagai fungsi kepekatan bersyarat X|
yang ditulis sebagai fx|. Sementara fx, digunakan untuk menyatakan fungsi kepekatan bersama X dan
, dan fx,= fx| πθ dan X memiliki kepekatan
marginal:
dF x
f x
m
|
, untuk peubah acak kontinu
maka untuk mx 0 dapat diperoleh sebaran posterior sebagai berikut:
. ,
| x
m x
f x
Fungsi πθ|x dinamakan sebagai sebaran posterior yang didefinisikan sebagai sebaran bersyarat θ jika data contoh x diketahui.
2.4. Bayes AMMI
Komputasi Bayes telah digunakan oleh Viele Srinivasan 1999 untuk menduga parameter model AMMI pada data dengan ukuran contoh tidak sama dan ragam heterogen.
Liu 2001 mengembangkan pendekatan ini untuk menduga semua parameter model AMMI dan mengecek kekonvergenan sebaran serta kekonsistenan pemilihan model.
2.4.1. Sebaran Prior
Sebaran prior merefleksikan pengetahuan atau keyakinan peneliti tentang parameter. Dalam menentukan sebaran prior seringkali mempertimbangkan kemudahan
dalam membuat sebaran posterior, karena secara umum tidak mudah menghitung mx dan πθ|x Berger 1985. Kelas sebaran prior yang membuat sebaran posterior dapat ditentukan
dengan mudah karena posterior memiliki keluarga sebaran yang sama dengan keluarga sebaran prior disebut sebagai conjugate prior.
Untuk memperoleh dugaan Bayes dari parameter, perlu ditentukan terlebih dahulu sebaran prior dari setiap parameter model AMMI
2
, ,
, ,
, ,
jk ik
k j
i
s v
. Viele
Srinivasan 1999 dan Liu 2001 mengasumsikan bahwa ,
i
, dan
j
menyebar Normal,
2
menyebar Invers Gamma, sementara
k
menyebar Normal Positif, sedangkan v
ik
dan s
jk
masing-masing menyebar menurut sebaran von-Mises Fisher. Misalkan X
N,
2
, suatu peubah acak Y dikatakan menyebar normal positif N
+
jika sebaran dari Y proporsional terhadap sebaran X untuk y≥0, dan 0 untuk y lainnya.
Suatu vektor satuan acak x ||x||=1 berdimensi p dikatakan menyebar menurut
sebaran von-Mises Fisher, M
p
, k, jika memiliki fungsi kepekatan peluang Mardia dan Jupp 2000; Dillon dan Sra 2003:
dengan || ||=1, k
≥ 0, S
p-1
adalah unit hypersphere berdimensi p, dan c
p
k adalah
I
p
k merupakan fungsi Bassel yang dimodifikasi pada ordo ke-p
dengan . merupakan fungsi Gamma.
Parameter
menunjukkan rata-rata arah dan k menunjukkan consentration
parameter. Jika k=0, maka x menyebar menurut sebaran seragam sperikal Mardia dan
Jupp 2000. Sebaran von-Mises Fisher merupakan sebaran keluarga eksponensial Mardia dan
El-Atoum 1976; Nuñez-antonio dan Gutiérrez-peña 2005. Conjugate prior dari sebaran ini juga merupakan sebaran von-Mises Fisher.
Prior yang digunakan untuk menduga parameter model AMMI dengan komputasi Bayes adalah conjugate prior yaitu Viele Srinivasan1999; Liu 2001:
2
, ~
N
;
T a
a
K K
N
2
, ~
τ
μ τ
;
T b
b
K K
N
2
, ~
γ
μ γ
;
, ~
2
IG
2
, ~
N
n
v
in
U
v
,0 s
in
U
s
,0 symbol N, IG, N
+
, dan U berturut-turut melambangkan sebaran normal, invers gamma, sebaran normal positif, dan sebaran seragam sperikal sebaran von-Mises Fisher dengan
k=0. K
m
merupakan suatu matriks sembarang yang berukuran mxm-1 dan memenuhi sifat
dan , dengan J
m
merupakan matriks berukuran mxm yang semua unsurnya bernilai satu.
Cara membangkitkan peubah yang menyebar secara seragam sperikal adalah Liu 2001:
1. Bangkitkan x
UV
m
dengan tahapan:
- Bangkitkan m-vektor acak, v=v
1
,…, v
m T
, dari N0, I
m
- Normalisasi vector v:
m j
j i
i
v v
x
1 2
untuk i=1,…,m
maka x = x
1
,…,x
m T
UV
m
2. Bangkitkan
~
s m
m
v U
x
dengan
} 1
, :
{ ˆ
h h
h h
v
T m
s m
m
t, h orthogonal pada vector independen ss0 dan v
1
,v
2
,…,v
s
ada pada . Untuk model AMMI, v
n
dan s
n
harus diasumsikan hanya mempunyai sebaran
s m
m
v U
untuk m=g atau m=l dan s=m, karena v
n
dan s
n
orthogonal pada vector 1
m
dan dengan yang lainnya. Ambil C
s
=v
1
,v
2
,..,v
s
dan diasumsikan v
1
,v
2
,..,v
s
sebuah gugus dari vector ortonormal sehingga C
s T
C
s
=I
s
.
- Bangkitkan m-s-vektor acak, v=v
1
,…, v
m-s T
, dari N0, I
m-s
- Normalisasi vector v:
s m
j j
i i
v v
k
1 2
untuk i=1,2,…,m-s
maka k = k
1
, k
2
,…,k
m-s T
UV
m-s
- Ortonormalisasi Gram-Schmidt:
