Ambil B=Cs|e
s+1
,…,e
m
, dengan e
l
adalah satu dari vector elementer, contoh e
l
=0, 0, …, 0, 1, 0, …,0, dengan unsur ke-l adalah satu, dan yang lainnya bernilai nol.
Ambil C=c
s
,c
s+1
, …, c
m
yang diturunkan dari ortonormalisasi B. Jika C
r
=c
s+1
, …, c
m
dan x = C
r
k, maka x ~ UV
m
yang orthogonal pada C
s
.
Adapun cara membangkitkan data yang menyebar menurut sebaran von-Mises
Fisher, misalnya y ~ Mpv, k, dapat dilakukan dengan tahapan sebagai berikut:
1.
Bangkitkan vektor x ~ M
p
, k dengan =0, 0,…,1
T
menggunakan algoritma fungsi vsamp Dhillon Sra 2003.
2. Hitung nilai y = Px dengan Px ~ M
p
P , k. P merupakan matriks simetrik yang
bersifat ortogonal. Matriks P dapat diperoleh melalui transformasi Householder Noble Daniel 1988.
2.4.2. Sebaran Posterior
Sebaran posterior merupakan refleksi dari perbaikan nilai parameter setelah dilakukan observasi contoh. Atau dengan perkataan lain, sebaran posterior merupakan
kombinasi antara informasi awal tentang parameter dengan informasi tentang parameter tersebut yang dibawa oleh data observasi. Sebaran posterior merangkum informasi tentang
semua nilai yang tidak pasti termasuk parameter yang tidak terobservasi, hilang, latent, maupun data yang tidak terobservasi dalam analisis Bayes Gelman 2002. Data yang
dibentuk sebagai likelihood digunakan sebagai bahan untuk memperbaharui informasi prior menjadi sebuah informasi posterior yang siap untuk digunakan sebagai bahan
inferensia. Secara analitik, fungsi kepekatan posterior diperoleh dari perkalian antara prior dengan likelihood.
. prior
likelihood posterior
Sebaran untuk Y
ijk
|θ adalah:
2
, ~
|
ijk ijk
N y
dengan
ij j
k ijk
dan
m k
jk ik
k j
i ij
s v
1
serta θ didefinisikan sebagai
2
, ,
, ,
, ,
,
jk ik
k j
i j
k
s v
. Sehingga didapat Likelihoodnya sebagai berikut:
ijk ijk
ijk a b r
ijk ijk
ijk
y y
L
2 2
2 2
2 2
2 1
2
2 1
exp 2
2 1
exp 2
. Sebaran posterior bersama adalah:
. |
2
2
k k
s k
v k
j j
n
s v
L y
k k
k j
Sebaran posterior dari masing-masing parameter diperoleh dari perkalian antara prior dari parameter dengan likelihood.
Sebaran posterior untuk μ Liu 2001
. ,
~ |
2 exp
2 1
exp 2
exp 2
1 exp
2 exp
|
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
. 2
2 2
2 .
2
rab rab
y rab
N lainnya
rab y
rab rab
y r
y r
lainnya
ij ij
ij ij
ij
Sebaran posterior untuk τ
Karena adanya kendala
τ
T
1
a
= 0, maka
τ diasumsikan diperoleh melalui sebaran
prior norma ganda. Untuk memperoleh sebaran posteriornya dilakukan transformasi satu-satu dari
τ ke vektor yang berpangkat penuh τ, τ= τ
1
, …, τ
a-1 T
=K
a T
τ,
cari sebaran posterior dari
τ dan ditransformasi kembali ke τ dengan τ=K
r
τ.
2
exp |
2 2
2 2
τ τ
μ τ
μ τ
τ
T
i i
rb lainnya
dengan .
μ K
τ K
μ
2 2
τ T
a 2
T a
2 τ
rb
rb
Jadi,
. ,
μ ~
| τ
1 2
2 2
2 τ
a
I rb
N lainnya
