Hirarki dalam matematika

1. Hirarki dalam matematika

Tema dari bab sebelumnya adalah asumsi bahwa matematika memiliki struktur hirarkis unik yang pasti. Analog dari hal ini termasuk asumsi dimana belajar matematika paling baik diatur dengan cara ini, kemampuan matematika disusun dengan cara seperti ini dan masyarakat kurang lebih memiliki struktur hirarkis yang pasti, dimana pendidikan perlu ditunjukkan. Ada asumsi dari signifikansi sosial dan pendidikan.

A. Apakah Matematika Memiliki Struktur Hirarkis yang Unik? Pertanyaan ini bisa dianalisis dalam dua bagian, yang terkait dengan keberadaan dan keunikan struktur hirarkis untuk matematika. Sehingga kita memiliki dua pertanyaan cabang: apakah keseluruhan struktur hirarkis pengetahuan matematika ada? Dan jika demikian, apakah ini merupakan struktur hirarkis yang unik dan pasti?

Hirarki bisa didefinisikan bagi badan pengatahuan matematika dengan keseluruhan struktur. Baik ini merupakan struktur aksiomatik, berdasarkan aksioma dan aturan interferensi, atau struktur definisional, berdasarkan istilah primitif dan selanjutnya istilah yang didefinisikan lalu hirarki yang dapat didefinisikan. Tanda primitif dari hirarki (aksioma atau istilah primitif) terdiri dari level terendah (0). Sekarang ekspresi

E lainnya dalam struktur bisa dicapai dalam beberapa jumlah minimum n dari aplikasi aturan (aturan interferensi atau definisi) dari tanda level 0. Jumlah n ini mendefinisikan level tanda E dalam hirarki. Sehingga setiap tanda ditunjuk pada level unik dalam hirarki. Sehingga badan pengetahuan matematika bisa menjadi bentuk hirarkis resmi yang menetapkan sistem atau struktur matematika tunggal, yang dihubungkan oleh hubungan inferensial atau definisional. Hubungan inferensial adalah yang paling tepat untuk dipertimbangkan, karena menunjukkan hubungan justificatory antara dalil dan rumus matematika, yang memberikan struktur teori aksiomatik deduktif.

Dengan menggunakan perbedaan antara level formal, informal dan tulisan sosial dari matematika, kita melihat bahwa untuk teori matematika formal yang tepat, hirarki bisa didefinisikan. Sebagai kenyataan penyelidikan matematis informal, hal ini mungkin tidak mungkin dilakukan. Untuk dasar aksiomatik mungkin tidak akan ditetapkan sepenuhnya, dan hubungan logis antara dalil matematika informal mungkin tidak dibuat dengan meyakinkan. Maka berikut ini kita akan fokus hanya pada teori matematika formal, atau teori matematika informal yang siap untuk diformalkan. Sebaliknya untuk kondisi penciptaan hirarki mungkin tidak akuntansi terpenuhi.

Sekarang kita siap memperhatikan dua pertanyaan. Pertama: apakah semua struktur hirarkis pengetahuan matematika ada? Kita telah melihat bahwa untuk semua teori matematika formal, dengan sekumpulan aksioma tetap, maka ada struktur hirarkis, pilihan aksioma, bersamaan dengan spesifikasi aturan interferensi dan latar belakang bahasa formal, menentukan teori matematika hirarkis. Namun, matematika dibentuk oleh banyak teori yang berbeda, kebanyakan memiliki formulasi aksiomatik yang berbeda. Aksiomatik menetapkan teori misalnya, memiliki sejumlah aksiomatisasi yang cukup berbeda seperti teori Zermelo-Fraenkel dan Teori Godel-Bernays-von-Neuman (Kneebone, 1963). Di luar itu, banyak ahli matematika selanjutnya mengubah teori himpunan aksiomatik yang mereka pelajari dengan menambahkan aksioma lanjut (Jech, 1971; Maddy, 1984)

Akibatnya, tidak ada keseluruhan struktur bagi matematika formal, karena ini terbentuk dari banyak sekali teori yang berbeda dan pembentukan teori, semuanya dengan struktur dan hirarkinya sendiri. Selanjutnya, sebenarnya setiap satu dari teori aksioma ini tidaklah lengkap, menurut Godel (1931). Maka ada kebenaran teori yang tidak memiliki tempat dalam hirarki deduktif. Seperti yang kita tahu dalam bab sebelumnya, usaha yang dilakukan oleh beberapa ahli matematika hebat dari abad ini untuk menciptakan pengetahuan matematika dalam sistem fondasi tunggal dimana logicist, formalist atau intuitionist, semuanya gagal. Sehingga hasil dari meta-matematika mendorong kita untuk memahami bahwa matematika dibentuk oleh teori keserberagaman yang berbeda, dimana hal ini tidak bisa diturunkan pada sistem tunggal, dan tidak ada dari teori ini yang cukup untuk menangkap semua kebenaran bahkan dalam domain aplikasi yang terbatas.

Hal ini diikuti oleh pertanyaan mengenai keberadaan seluruh hirarki matematika yang harus dijawab dalam bentuk negatif. Ini tidak bisa ditarik kembali. Namun kita harus mempertimbangkan pertanyaan yang lebih lemah. Apakah struktur matematika informal yang luas dan komprehensif ada, bahkan jika tidak berhasil memenuhi kriteria ketat yang diperlukan untuk memberikan struktur ambigu pada matematika? Struktur ini bisa ditemukan dalam elemen Bourbaki (Kneebone, 1963). Bourbaki memberikan penjelasan matematika sistematik, dimulai dengan menetapkan teori, dan mengembangkan satu setelah muncul teori murni, matematika struktural. Meskipun struktur Bourbaki yang tidak bisa dikatakan lengkap (dalam pengertian informal), karena meninggalkan aspek computasional dan rekursif dari matematika, maka hal ini menunjukkan kodifikasi informal dari porsi substansial matematika.

Apakah hal ini memberikan jawaban positif pada pertanyaan lemah? Jika kita mengatakan iya, maka keberatan berikut harus dipikirkan: porsi signifikan dari pengetahuan matematis diabaikan; sistem tidak begitu baik secara formal yang memungkinkan hirarki tetap dari pengetahuan matematis dihasilkan; sistem keseluruhan tergantung pada asumsi teori klasik sebagai fondasi matematika; seluruh sistem terikat dalam hal budaya, mencerminkan strukturalisme abad pertengahan duapuluh. Maka hanya dalam bentuk yang sangat lemah kita bisa menyatakan bahwa ada seluruh struktur pada bagian signifikan dari matematika.

Pertanyaan kedua adalah sebagai berikut. Dengan asumsi bahwa ada struktur keseluruhan pada pengetahuan matematika, apakah ini merupakan struktur tetap dan unik dimana hirarki bisa didasarkan? Pertanyaan ini memiliki dua bagian. Pertama terkait dengan keunikan struktur matematika. Kita telah melihat bahwa bagian kedua ini tidak dapat dipertahankan. Bahkan jika struktur yang diberikan oleh Bourbaki diakui sebagai struktur yang unik, informal dan tidak memadai bagi definisi hirarki yang tepat. Maka dalam pegertian yang tegas, kita bisa mengakui bahwa tidak ada hirarki unik pada matematika.

Namun mari kita kembali pada keunikan struktur matematika. Keunikan ini tergantung pada persetujuan seperti pada fondasi matematika, Bourbaki mengasumsikan serangkaian fondasi teoritis. Dengan mengabaikan perbedaan antara teori bisakah teori yang memberikan keunikan menyetujui dasar bagi matematika? Pertanyaan ini harus dijawab dalam bentuk negatif. Kita telah melihat bahwa Foundationist mengklaim bahwa matematika berada dalam kegagalan fondasi yang unik. Paling tidak dua alternatif pada fondasi teoritis dalam matematika ada. Pertama, telah diklaim bahwa Teori Kategori bisa memberikan dasar alternatif matematika, dalam tempat teori himpunan (Lawvere, 1966). Klaim ini belum sepenuhnya dibenarkan, namun meski demikian ini merupakan tantangan bagi keunikan fondasi teoritik himpunan. Ada cabang teori kategori (teori Topos) yang kedua-duanya logika intuisi dan klasik dapat diturunkan (Bell, 1981). Karena teori himpunan dapat ditunjukkan dalam logika klasik urutan pertama, maka bisa diturunkan untuk teori kategori.

Kedua, logika intuisionis memberikan fondasi bagi matematika. Meskipun tidak semua matematika bisa ditunjukkan dalam kaitannya dengan basis ini, sebagian besar dari program telah direalisasikan untuk analisis, oleh Bishop (1967) dan yang lainnya. Oleh karena itu logika Kedua, logika intuisionis memberikan fondasi bagi matematika. Meskipun tidak semua matematika bisa ditunjukkan dalam kaitannya dengan basis ini, sebagian besar dari program telah direalisasikan untuk analisis, oleh Bishop (1967) dan yang lainnya. Oleh karena itu logika

Kenyataannya, sejarah matematika mengajarkan pada kita pelajaran yang berlawanan. Dalam keseluruhan perkembangan perubahan matematika melalui restrukturisasi fundamental dari konsep matematika, teori dan pengetahuan (Lakatos, 1976). Sehingga meskipun struktur memainkan peran sentral dalm pengatyran pengetahuan matematika, mereka merupakan struktur ganda yang membentuk, membubarkan dan mereformasi sejalannya waktu. Tidak ada dasar untuk mengasumsikan bahwa proses ini mungkin akan berhenti, atau dengan asumsi bahwa teori alternatif dan reformulasi akan melelahkan. Pandangan semacam ini sangatlah penting bagi konstruktivisme sosial, dan bagi filosofi matematika lain yang mengakui dasar historisnya. Sehingga benar bahwa pada satu waktu matematika bisa digambarkan dengan struktur hirarkis tunggal yang unik, serta kapanpun ketika struktur menunjukkan perubahan dan berkembang.

Dalam menyangkal klaim bahwa matematika memiliki struktur hirarkis yang unik, perhatian telah dibatasi pada logika, yang merupakan struktur teori matematika deduktif. Seperti yang sudah kita lihat hirarki bisa didefinisikan dengan cara lain, khususnya sebagai hirarki istilah dan definisi. Ketika hal ini tidak begitu signifikan dalam matematika sebagai struktur deduktif, argumen yang sama bisa diubah pada bidang ini. Untuk struktur deduktif dari sebarang teori yang membawa hirarki definisi, dan hampir seperti banyak struktur definisional yang ada sebagai sesuatu yang deduktif. Sehingga tidak ada hirarki yang unik dari definisi. Hirarki global sedang digunakan dalam matematika. Dalam teori individu atau domain beberapa hirarki tentunya hal ini tidak ada, seperti derajat Turing (tidak bisa dipecahkan) dalam teori rekursi (Bell dan Machover, 1977). Namun hal ini tidak memiliki struktur bahkan dalam pecahan signifikan dari pengetahuan matematika. Maka bisa dinyatakan dengan tegas bahwa matematika tidak memiliki seluruh struktur hirarkis, dan tentunya bukanlah sesuatu yang unik, bahkan ketika klaim diinterpretasikan dengan baik dan bebas. Apakah matematika merupakan rangkaian komponen pengetahuan diskret? Ada asumsi lebih jauh terkait dengan sifat dan struktur pengetahuan matematis yang layak mendapat pemeriksaan karena impor pendidikannya. Ini merupakan asumsi bahwa matematika dapat dianalisa dalam komponen pengetahuan diskret, jumlah (atau sekumpulan lebih) yang tidak terstruktur Dalam menyangkal klaim bahwa matematika memiliki struktur hirarkis yang unik, perhatian telah dibatasi pada logika, yang merupakan struktur teori matematika deduktif. Seperti yang sudah kita lihat hirarki bisa didefinisikan dengan cara lain, khususnya sebagai hirarki istilah dan definisi. Ketika hal ini tidak begitu signifikan dalam matematika sebagai struktur deduktif, argumen yang sama bisa diubah pada bidang ini. Untuk struktur deduktif dari sebarang teori yang membawa hirarki definisi, dan hampir seperti banyak struktur definisional yang ada sebagai sesuatu yang deduktif. Sehingga tidak ada hirarki yang unik dari definisi. Hirarki global sedang digunakan dalam matematika. Dalam teori individu atau domain beberapa hirarki tentunya hal ini tidak ada, seperti derajat Turing (tidak bisa dipecahkan) dalam teori rekursi (Bell dan Machover, 1977). Namun hal ini tidak memiliki struktur bahkan dalam pecahan signifikan dari pengetahuan matematika. Maka bisa dinyatakan dengan tegas bahwa matematika tidak memiliki seluruh struktur hirarkis, dan tentunya bukanlah sesuatu yang unik, bahkan ketika klaim diinterpretasikan dengan baik dan bebas. Apakah matematika merupakan rangkaian komponen pengetahuan diskret? Ada asumsi lebih jauh terkait dengan sifat dan struktur pengetahuan matematis yang layak mendapat pemeriksaan karena impor pendidikannya. Ini merupakan asumsi bahwa matematika dapat dianalisa dalam komponen pengetahuan diskret, jumlah (atau sekumpulan lebih) yang tidak terstruktur

Dengan membedakan masalah formal, informal dan tulisan sosial matematika merupakan bukti bahwa klaim ini paling baik dibuat untuk matematika formal. Untuk dua domain yang mengisyaratkan konteks makna, akan dikemukakan berikut ini. Karena struktur merupakan salah satu karakteristik pengetahuan matematika, klaim ini bisa juga berada dalam asumsi yang tidak dibenarkan dimana ada struktur yang unik pada matematika. Hal ini mungkin diperlukan sehingga ketika molekul pengetahuan diskret digabungkan kembali, akan muncul hasil yang tetap dan sebelumnya ditetapkan secara keseluruhan (badan pengetahuan matematika). Kita telah mengatur asumsi kedua di atas. Namun, perkiraan bahwa dalil matematika tidak tergantung pada makna dan signifikansi juga tidak berhasil. Pertama, tanda matematis formal mendapatkan signifikansinya dari teori aksiomatik atau sistem formal dimana mereka terjadi. Tanpa konteks ini mereka akan kehilangan beberapa signifikansinya, dan struktur ditentukan oleh teori akan gagal.

Kedua, ekspresi matematika formal secara eksplisit mendapat makna semantiknya dari interpretasi atau kelas dari interpretasi yang dimaksud terkait dengan teori dan bahasa formal. Semantik ini merupakan bagian standard dari logika formal Sejak Tarski (1936). Gagasan ini telah diperluas pada perlakuan teori ilmiah formal oleh Sneed (1971), yang menambahkan kelas interpretasi yang dimaksud pada struktur teori formala. Sehingga pemisahan tanda matematika dalam bagian diskret atau yang terisolasi menolak sebagian besar dari signifikansinya dan semua makna semantiknya. Tanda ini akhirnya memiliki klaim kecil yang dianggap sebagai komponen molekular dari pengetahuan matematika.

Bahkan lebih dari yang di atas, ekspresi dari tulisan matematika informal memiliki makna implisit yang dikaitkan dengan keseluruhan latar belakang teori dan konteks. Bagi aturan dan makna yang mengatur tanda ini tidak memiliki ketentuan formal yang jelas, namun tergantung lebih pada aturan penggunaan implisit (Wittgenstein, 1953). Model semantik dari bahasa formal dan informal menggambarkan konteks utterance (Barwise dan Perry, 1982). Baik ditunjukkan dalam bahasa formal maupun informal, tanda matematika tidak bisa dianggap sebagai makna yang berdiri bebas, dan tidak tergantung. Sehingga matematika tidak bisa ditunjukkan sebagai serangkaian molekular dalil, dalam hal ini tidak menunjukkan hubungan struktural antara dalil, dan kehilangan makna konteks dependen mereka.

B. Implikasi Pendidikan

Fakta bahwa disiplin matematika tidak memiliki struktur hirarkis unik dan tidak bisa ditunjukkan sebagai kumpulan dalil molekular, memiliki implikasi pendidikan. Namun, pertama hubungan antara disiplin matematika dan isi kurikulum matematika harus dipertimbangkan. Hubungan antara matematika dan kurikulum Dua hubungan alternatif adalah mungkin. (1) Kurikulum matematika harus merupakan seleksi representatif dari disiplin matematika, sekalipun dipilih dan dibentuk sehingga dapat diperoleh untuk pelajar. (2) Kurikulum matematika merupakan entitas independen, yang tidak perlu menunjukkan disiplin matematika. Sebagian besar teoretikus kurikulum menolak kemungkinan kedua, mengemukakan kasus umum dimana kurikulum harus menunjukkan pengetahuan dan proses penelitian disiplin subjek (Stenhoyse, 1975; Schwab, 1975; Hirst dan Peters, 1970). Bentuk kasus 2 adalah sindiran yang efektif dari Benjamin (1971).

Studi perubahan kurikulum telah mendokumentasikan bagaimana perkembangan dalam matematika memberikan peningkatan melalui tekanan yang digunakan oleh ahli matematika pada perubahan dalam kurikulum matematika sekolah yang menunjukkan peningkatan ini (Cooper, 1985); Howson, 1981). Lebih umum, dalam pendidikan matematika diterima bahwa isi kurikulum harus menunjukkan sifat disiplin matematika. Penerimaan ini sifatnya implisit atau eksplisit, seperti dalam Thwaites (1979), Confrey (1981) dan Robitaille dan Dirks:

konstruksi kurikulum matematika….(dihasilkan dari) sejumlah faktor yang berjalan dalam badan matematika untuk memilih dan menyusun kembali isi untuk menjadi lebih tepat bagi kurikulum sekolah. (Robitaille dan Dirks, 1982, hal. 3) Seminar internasional mengenai pendidikan matematika secara eksplit mempertimbangkan kemungkinan bahwa ‘matematika nyata’ tidak akan membentuk dasar kurikulum matematika bagi setiap orang (sebagian besar akan hanya mempelajari ‘matematika yang berguna’) Namun, hal ini berlawanan dengan tiga pilihan lain yang diperhatikan, termasuk pandangan yang paling banyak diterima yang berbeda tetapi kurikulum yang representatif diperlukan (Howson dan Wilson, 1986)

Dari kelima ideologi yang dibedakan dalam buku ini, semuanya kecuali pelatih industrial menyokong dengan kuat kasus 1. Sebagai konsekuensi dari survey singkat ini, bisa dikatakan bahwa prinsip bahwa kurikulum matematika harus merupakan seleksi representatif dari disiplin matematika yang menunjukkan konsensus ahli.

Jika kurikulum matematika digunakan untuk menunjukkan disiplin matematika, maka seharusnya tidak menunjukkan matematika yang memiliki struktur hirarkis yang tetap dan unik. Ada struktur ganda dalam satu teori, dan tidak ada struktur atau hirarki yang bisa dikatakan paling baik. Sehingga kurikulum matematika harus memungkinkan cara penyusunan pengetahuan matematika yang berbeda. Selanjutnya, kurikulum matematika seharusnya tidak menawarkan koleksi dalil terpisah sebagai konstitusi matematika. Bagi komponen matematika disusun dan dihubungkan, dan harus ditunjukkan dalam kurikulum matematika.

Implikasi pendidikan ini memungkinkan kita untuk mengkritik kurikulum nasional dalam matematika pada dasar epistimologis. Untuk kurikulum matematika ditunjukkan sebagai hirarki unik dari empat belas topik (target pencapaian) pada level 10 (Departemen pendidikan dan ilmu pengetahuan, 1989). Selanjutnya, pada tiap level, topik ditampilkan oleh sejumlah dalil atau proses, dan penguasaan disiplin matematika dipahami untuk menghasilkan penguasaan komponen berbeda ini. Sehingga kurikulum nasional salah dalam menggambarkan matematika, berlawanan dengan prinsip kurikulum yang diterima. Hal ini mewujudkan hirarki dimana ini tidak dibenarkan dalam istilah sifat matematika, serta menunjukkan pengetahuan matematika sebagai rangkaian fakta dan keterampilan diskret.

Pembelaan yang mungkin muncul adalah bahwa kurikulum matematika bisa gagal menunjukkan disiplin matematika guna memenuhi tujuan psikologis, seperti menunjukkan hirarki psikologis matematika.