Multistate Life Table TINJAUAN PUSTAKA

Dengan demikian l x tidak hanya menunjukkan banyaknya individu yang bertahan hidup, namun dapat memisahkan individu-individu yang sehat, sakit, dan mati. Misalkan = jumlah orang yang sehat, = jumlah orang yang sakit, dan = jumlah orang yang mati, sehingga untuk mengetahui l x+1 , selain l x dikurangi oleh banyak kematian , namun juga ada pengurang lain yaitu jumlah individu yang sakit , dapat dinyatakan: 2.8 Peluang individu yang mengalami perubahan dari state yang satu ke state lainnya digunakan perbandingan antara jumlah individu yang mengalami perubahan status dengan populasinya disebut peluang transisi. Dalam multistate life table, digunakan untuk mengukur peluang suatu kejadian perubahan status. Gabungan dari beberapa peluang transisi biasanya dinyatakan dalam bentuk matriks. Untuk menentukan jumlah individu yang bertahan setelah berumur , l x dikalikan dengan matriks peluang transisi masing-masing state, dimana l x = [ =0] dan P x = dimana : peluang transisi tetap sehat, peluang transisi sehat menjadi sakit, : peluang dari sehat ke mati, : peluang transisi dari sakit menjadi sehat, : peluang transisi tetap sakit, dan : peluang trasnisi dari sakit menjadi sakit. Jumlah elemen dalam satu baris adalah satu, sehingga diperoleh l x+1 = l x . P x = [ =0] = [ . p hh + . p uh . p hu + . p uu . p hd + . p ud ] 2.9 Masing-masing peluang transisi oleh Seigel dan Swanson 2004 dapat dikumpulkan berdasarkan state, sehingga pada kasus bidang kesehatan dapat pula dijumlahkan peluang transisi yang sehat, sakit, dan mati. Diantaranya adalah peluang sehat h: p h = p hh + p uh , peluang sakit u: p u = p hu + p uu , dan peluang mati d: p d = p hd + p ud , dimana p h = p u = p d = 1. Pada umumnya model multistate life table didefinisikan sebagai model proses stokastik yang memungkinkan individu dapat berpindah state yang terbatas, termasuk keluar dan masuk kembali ke dalam state yang sama. Titik awal dari life table menurut Roger 1979 beranjak dari perubahan jumlah penduduk karena faktor kematian, yang dirumuskan , 2.10 dimana µx menjelaskan perubahan kematian pada saat umur x. Solusi dari persamaan 2.10 adalah 2.11 Bukti pada Lampiran 1 Dari 2.11 dapat dihitung peluang tepat pada umur x akan hidup sampai umur x+h sebagai berikut 2.12 Bukti pada Lampiran 2 Seperti pada persamaan 2.10, untuk multistate life table dapat diperoleh dengan mengubah lx ke dalam matriks skalar 2.13 dimana lx dan µa adalah matriks skalar, yang didefinisikan dan Untuk kasus khusus ketika µa adalah matriks konstan pada interval x,x+h, adalah lx+h = exp[-hMx]. lx 2.14 dimana Mx merupakan matriks aproksimasi dari µa, sehingga µa = Ma Bukti pada Lampiran 3 Menentukan matriks menurut umur dari peluang transisi antar state P x=Ix+h.Ix -1 , dengan mengembangkan eksponensial pada persamaan 2.14 diperoleh: P x = I – hMx 2.15 dimana I adalah matriks identitas Bukti pada Lampiran 4 Untuk memperbaiki aproksimasi pada persamaan 2.14, kedua ruas dikalikan dengan exp[ , sehingga diperoleh 2.16 Bukti pada Lampiran 5 Dari persamaan 2.16 kemudian diperoleh persamaan 2.17 Metode konstruksi ini merupakan perluasan dari life table unistate, sehingga dapat dikembangkan pada model life table multistate dengan cara memperluas matriks, oleh Rogers 1979 dinyatakan dalam matriks peluang transisi P ij x, dengan p ij x adalah dari individu yang hidup di wilayah i pada tepat berumur x dan hidup setelah x+h di wilayah j. Penerapan dari metode multistate tidak hanya sebatas pada multi regional namun sudah meluas ke berbagai bidang, misalkan terkait keluarga Bongaarts 1987, partisipasi angkatan kerja Willekens 1982, migrasi Rogers Willekens 1986, status perkawinan Willekens 1987, penggunaan alat kontrasepsi Islam 1994, harapan hidup Rogers et al. 1989, status kesehatan dan harapan hidup Crimmins et al. 1994 dan resiko perokok terhadap kardiovaskular Mamun 2003.

2.3 Sebaran Seragam Kematian

Jika terdapat dx kematian antara umur x sampai x + 1, maka akan terjadi w.dx kematian sebelum waktu w pada interval umur, dimana 0 w 1. Sehingga jumlah orang yang hidup pada saat umur adalah l x+w = l x – w.d x. Brown 1997

2.4 Peluang Kejadian dan Peluang Bersyarat

Misalkan S adalah ruang contoh dan A adalah kejadian. Peluang kejadian A adalah Jika PB 0 maka peluang terjadinya A jika diketahui B terjadi didefinisikan sebagai Ghahramani 2005

2.5 Peubah Acak dan Kejadian

Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X : Ω→R dengan sifat bahwa { ω Є Ω: X ω≤x} Є F, untuk setiap x Є R, dimana R adalah himpunan bilangan real. Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dan dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω. Grimmett Stirzaker 1992

2.6 Fungsi Sebaran Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah suatu fungsi F:R

→[0,1] yang diberikan oleh Fx = P X≤x. Grimmett Stirzaker 1992

2.7 Proses Stokastik

Proses stokastik adalah koleksi peubah peubah acak {X n :n ∊I} untuk himpunan terhitung dengan I ={1,2,3,…} atau {Xt:t∊T} untuk himpunan tak terhitung dengan T = [0,∞. Selanjutnya {X n :n = 1,2,…}disebut sebagai proses stokastik dengan waktu diskret, sedangkan untuk { Xt:t≥0} disebut proses stokastik waktu kontinu. Untuk kasus diskret, proses stokastik biasanya dinotasikan dengan X n . Nilai yang mungkin untuk Xt disebut state, sedangkan proses Xt berada pada state x dan