Definisi dan Notasi Faktorial

97 Peluang Contoh: Keterangan: Tempat I, ada 4 peserta sebab untuk mendapatkan penerima hadiah pertama semua peserta masih diikutkan dalam undian. Tempat II, ada 3 peserta sebab sudah diperoleh penerima hadiah pertama, berarti tinggal 3 peserta yang diikutkan dalam undian untuk menerima hadiah kedua. Banyaknya cara hadiah dapat diberikan adalah 12 cara, yang diperoleh dari nilai 4 × 3, sedangkan 4 × 3 = 1 2 1 2 3 4 × × × × = 2 4 = 4 4 2 yang merupakan banyaknya permutasi 2 unsur dari 4 unsur yang berbeda. Secara umum, permutasi r unsur dari n unsur yang berbeda adalah semua urutan berbeda yang mungkin dari r unsur, diambil dari n unsur yang berbeda itu dengan memer- hatikan urutannya. Pada buku ini, banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda ini dinotasikan dengan Pn, r. Jadi, dari uraian di atas diperoleh bahwa P n, r = r n n Khusus untuk r = n, diperoleh Pn, n = n n n n = = n Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Nilai n yang memenuhi persamaan 2Pn, 2 = P2n, 2 – 50 adalah .... a. –5 b. 5 c. –5 atau 5 d. 10 e. 25 1. Dengan rumus permutasi, tentukan nilai dari a. P 8, 6 b. P 4, 2 × P5, 3 Penyelesaian: a. P 8, 6 = 6 8 8 = 2 8 = 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 × × × × × × × × = 2 320 . 40 = 20.160 b. P 4, 2 × P5, 3 = 2 4 4 × 3 5 5 = 2 4 × 2 5 = 12 × 60 = 720 98 Mmt Aplikasi SMA 2 Bhs 2. Berapakah banyaknya permutasi 2 unsur dari huruf A, B, dan C. Penyelesaian: Dengan rumus permutasi Permutasi 2 unsur dari 3 unsur yang berlainan adalah P 3, 2 = 2 3 3 = 1 3 = 1 1 2 3 × × = 6 1. Tentukan nilai permutasi berikut ini. a. P 7, 3 d. P P P 6, 2 7, 3 8, 2 × b. P 5, 2 e. P 16, 6 × P14, 5 c. P16, 6 × P 14, 5 f. 4 , 6 3 , 5 2 , 5 P P P × 2. Tentukan banyak bilangan ratusan yang dapat disusun dari angka-angka berikut dengan ketentuan setiap bilangan tidak memuat angka yang sama. a. 3, 7, 8, 9 d. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 b. 1, 2, 5, 8, 9 e. 2, 6, 8, 9 c. 1, 2, 3, 4, 5, 6 f. 1, 3, 7, 8, 9 3. Tentukan banyak bilangan antara 1.000 dan 10.000 yang dapat disusun dari angka- angka pada soal nomor 2 dengan ketentuan setiap bilangan boleh memuat angka yang sama. Problem Solving Dalam suatu pemilihan pengurus kelas akan dipilih seorang ketua kelas, seorang wakil ketua kelas, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Calon yang tersedia sebanyak 6 orang dan masing-masing mempunyai kemungkinan yang sama untuk menduduki salah satu jabatan tersebut. Berapa banyak susunan pengurus kelas yang dapat dibentuk? Penyelesaian: Susunan pengurus kelas yang dapat dibentuk pada soal di atas merupakan permutasi 4 unsur jabatan pengurus kelas dari 6 unsur yang tersedia banyaknya calon. Oleh karena itu, banyaknya susunan yang mungkin adalah P 6, 4 = 4 6 6 = 2 6 = 1 2 1 2 3 4 5 6 × × × × × × = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 Jadi, banyaknya susunan pengurus kelas yang dapat dibentuk adalah 360 susunan. Uji Kompetensi 3 Kerjakan di buku tugas 99 Peluang

c. Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari permutasi dari unsur-unsur yang berbeda. Kemudian, pada bagian ini kita akan mempelajari permutasi dengan beberapa unsur yang sama. Sebelumnya, perhatikan contoh berikut. Dengan berapa cara kita dapat menyusun huruf-huruf pada kata-kata berikut? a. SUKA b. SAMA c. ASAA Penyelesaian: a. Huruf-huruf pada kata SUKA dapat disusun menjadi SUKA, SUAK, SKUA, SKAU, SAUK , SAKU, USKA, USAK, UKSA, UKAS, UASK, UAKS, KUSA, KUAS, KSUA, KSAU , KAUS, KASU, AUKS, AUSK, AKUS, AKSU, ASUK, dan ASKU. Jadi, terdapat 24 susunan huruf berbeda dari kata SUKA. b. Huruf-huruf pada kata SAMA dapat disusun menjadi: SAMA, SAAM, SMAA, ASMA, AMSA , ASAM, AMAS, AASM, AAMS, MAAS, MASA, dan MSAA Jadi, terdapat 12 susunan huruf berbeda dari kata SAMA. c. Huruf-huruf pada kata ASAA dapat disusun menjadi ASAA, AAAS, SAAA, dan AASA. Jadi, terdapat 4 susunan huruf berbeda dari kata ASAA. Dari contoh di atas, meskipun sama-sama dibentuk dari kata yang terdiri atas 4 huruf, banyaknya susunan yang dapat dibentuk berbeda. Hal ini disebabkan kata SAMA dan ASAA terdapat huruf yang sama, yaitu huruf A. Soal Terbuka Kerjakan di buku tugas 1. Jika terdapat 10 lampu berlainan warna yang akan dipasang pada 4 buah fitting, tentukan banyaknya susunan lampu yang mungkin. 2. Dalam suatu kejuaraan bulu tangkis dunia, terdapat 16 finalis yang akan memperebutkan juara I, II, dan III. Tentukan banyaknya susunan juara I, II, dan III yang dapat terjadi. 4. Tentukan nilai n jika diketahui: a. P n + 2, n = 60; b. P n , n+ P n , n + + 4 2 2 = 42. 5. Pada suatu rapat organisasi kepemudaan akan disusun pengurus yang terdiri atas ketua, sekretaris, dan bendahara. Jika terdapat 7 orang calon yang layak untuk dipilih, berapa banyak susunan pengurus yang mungkin dapat dibentuk? 6. Berapa banyak cara 12 orang untuk duduk pada suatu tempat yang hanya dapat diduduki oleh 3 orang? Contoh: