2.1.5 Eigen Value dan Eigen Vector
Untuk melengkapi pembahasan tentang eigen value dan eigen vector, maka akan diberikan definisi-definisi tentang matriks dan vektor.
a. Matriks
Matriks merupakan barisan skalar yang disusun di dalam sebuah kurung biasa atau kurung siku menurut baris dan kolom sehingga berbentuk
persegi panjang, di mana panjangnya dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya baris dan kolom. Jika sebuah matriks memiliki m baris dan n
kolom, maka matriks tersebut berukuran
. n
m
Suatu matriks disebut matriks bujur sangkar jika matriks tersebut memiliki banyak baris sama
dengan banyak kolom, yaitu m = n.
mn m
m n
n ij
a a
a a
a a
a a
a a
A
2 1
2 22
21 1
12 11
di mana i, j = 1, 2, …, n
b. Vektor
Vektor merupakan bentuk atau variasi khusus dari matriks yang komponen-komponennya disusun secara teratur menurut susunan atau tata
letak tertentu. Vektor baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris, sedangkan vektor kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.
Himpunan semua vektor n komponen dengan entri riil dinotasikan dengan
.
n
Vektor dinotasikan dengan huruf yang dicetak tebal huruf kecil dan anak panah.
n
U
Universitas Sumatera Utara
n
u
n n
2 1
a a
a u
c. Eigen Value dan Eigen Vector
Jika A adalah matriks
, n
n
maka vektor tak nol x di dalam
n
dinamakan vektor eigen eigen vector dari A jika Ax kelipatan skalar dari
x, yakni
x Ax
Skalar
dinamakan eigen value dari A dan x dikatakan eigen vector yang bersesuaian dengan
.
Untuk mencari eigen value dari matriks A yang berukuran
, n
n
maka dapat ditulis pada persamaan berikut:
Ix Ax
Atau secara ekivalen
x
A I
Agar
menjadi eigen value, maka harus ada penyelesaian tak nol dari persamaan ini. Akan tetapi, persamaan di atas mempunyai penyelesaian
tak nol jika dan hanya jika:
det
A I
Ini dinamakan persamaan karakteristik A dan skalar yang memenuhi persamaan ini adalah eigen value dari A.
Universitas Sumatera Utara
Bila diketahui nilai perbandingan elemen A
i
terhadap elemen A
j
adalah a
ij
, maka secara teoritis mempunyai nilai a
ij
= 1a
ji
dengan i = j adalah mutlak 1. Bobot yang dicari dinyatakan dalam vektor w = w
1
, w
2
, …, w
n
. Nilai w
n
menyatakan bobot relatif kriteria A
n
terhadap keseluruhan set kriteria pada sub sistem tersebut. Pada situasi penilaian yang konsisten sempurna teoritis, maka akan didapat:
jk ij
ik
a a
a
; untuk setiap i, j, k 2.1
Matriks yang diperoleh adalah matriks yang konsisten. Dengan demikian, nilai perbandingan yang didapatkan dari partisipan berdasarkan penilaian pada tabel
2.1 yaitu a
ij
dapat dinyatakan dalam vektor w sebagai:
j i
ij
w w
a
; i, j = 1, 2, …, n
2.2
Dari persamaan 2.2 dapat dibuat persamaan sebagai berikut:
1 .
i j
ij
w w
a ; i, j
= 1, 2, …, n 2.3
Maka akan diperoleh:
n w
w a
n j
i i
j ij
. ; i, j
= 1, 2, …, n 2.4
n j
i j
ij i
w a
n w
. 1
; i, j = 1, 2, …, n
2.5
n j
i j
ij i
w a
w n
. .
; i, j = 1, 2, …, n
2.6
Persamaan 2.6 ekivalen dengan persamaan: A.w = n.w
2.7
Universitas Sumatera Utara
Dalam teori matriks, persamaan tersebut menyatakan bahwa w adalah eigen vector dari matriks A dengan n adalah eigen value. Bila ditulis secara lengkap, maka
persamaan tersebut akan terlihat pada persamaan berikut:
n n
n n
n n
n n
w w
w n
w w
w
w w
w w
w w
w w
w w
w w
w w
w w
w w
2 1
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
1 1
.
Dengan mengganti variabel n pada persamaan di atas dengan ,
maka diperoleh persamaan:
w w
A .
.
;
. ...,
, ,
1 1
n
2.8 Setiap
n
yang memenuhi persamaan di atas dinamakan eigen value, sedangkan vektor w yang memenuhi persamaan tersebut dinamakan eigen vector.
Karena matriks A adalah suatu matriks resiprokal dengan nilai a
ij
= 1 untuk semua i = j, maka:
n
n j
i i
Apabila matriks A adalah matriks yang konsisten, maka semua eigen value akan bernilai nol, kecuali
maks
yang nilainya sebesar n. Apabila matriks A adalah matriks yang tidak konsisten, maka variasi kecil atas a
ij
akan menjadikan eigen value sebagai nilai terbesar, sedangkan
maks
akan mendekati n dengan eigen value lainnya mendekati nol.
Universitas Sumatera Utara
2.1.6 Perhitungan Konsistensi Indeks
Kategori