Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
78 7.
3 1
6
i z
8.
2 3
z
z z
9. 8
12 6
2 3
4
z z
z z
10.
2 4
z
z 11.
4 12
13 6
2 3
4
z
z z
z 12.
16 24
9
2 4
6
z z
z 13.
6 8
z
z 14.
64
2 3
z 15.
120 274
225 85
15
2 3
4 5
z z
z z
z 16.
4 4
2 3
z z
z
17.
4
z
z 18.
5 2
5 2
z z
19. 36
5
2 4
z z
20.
4 8
7 5
2 3
4 5
z z
z z
z
21.
1 3
3
2 3
z z
z
22. 3
4 4
2
z z
z
1.13 Akar-akar
n ke
dari Satuan
Selesaian dari persamaan 1
n
z dimana n adalah bilangan bulat positip disebut akar-
akar n
ke
dari satuan dan di berikan oleh :
11 ....
1 ,.....,
3 ,
2 ,
1 ,
2 sin
2 cos
2
n
k e
n k
i n
k z
n k
Misal jika ,
2 sin
2 cos
2 n
i k
e n
k i
n k
n akar-akar dari persamaannya adalah: 1,
. ,.......,
,
1 2
n
yang secara geometri menunjukkan bahwa
n vertical dari sebuah polygon segi banyak beraturan teratur dimana di samping n di tuliskan pada sebuah
lingkaran dari jarak satu dengan pusat yang sebenarnya. Lingkaran ini mempunyai persamaan
1
z
dan sering di sebut lingkaran satuan. Contoh soal
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
79
1.
Carilah semua akar-akan ke-4 dari satuan Jawab
4 1
4
1 1
z
z
4 ,
3 ,
2 ,
1 ,
4 2
sin 4
2 cos
4 ,
3 ,
2 ,
1 ,
, 4
2 sin
4 2
cos 1
sin cos
1 1
4 1
4 1
4 1
k k
i k
k k
i k
i i
z
Untuk
1 sin
cos
1
i
z k
Untuk
i i
z k
4
sin 4
cos 1
2
Untuk
1 sin
cos 2
3
i z
k
Untuk
i i
z k
2 3
sin 2
3 cos
3
4
2.
Jika n = 2, 3, 4... Tunjukkan bahwa a
n
2 cos
n
4 cos
+
1 1
2 cos
... 6
cos
n n
n
b
n
2 sin
n
4 sin
1 2
sin ...
6 sin
n n
n
misalkan persamaan ,
1
n
x mempunyai solusi terhadap nilai dari akar-akar
kesatuan. 1,
n i
k
e
2
,
5 4
i k
e
,
5 6
i k
e
,
...
1 2
5 8
n
i n
i k
e e
Soal-soal 1.
Tentukan akar-akar ke-4 dari satuan 2.
Tentukan akar-akar ke7 dari satuan 3.
Tentukan akar-akar ke-11 dari satuan 4.
Carilah semua akar dari
5 5
1 1
z z
1.14 Interpretasi Vektor Bilangan Komplek
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
80 Bentuk bilangan komplek
yi x
z
dapat dipandang sebagai vektor
OP yang mempunyai titik awal di titik asal O origin dan titik akhirnya pada koordinat
, y
x P
seperti pada gambar 1.25 berikut ini.
Gambar 1.25
Kadang-kadang kita menyebut
iy x
OP
sebagai vektor positip dari .
P Dua vektor mempunyai panjang magnitudo dan arah yang sama, tetapi titik-titik awal berbeda
sedemikian sehingga OP dan
AB
pada gambar 1.25 dipandang sama. Dalam hal ini dapat ditulis
iy x
AB OP
Jumlah dari bilangan komplek berkorespondensi dengan hukum jajarangenjang dari jumlah untuk vektor. lihat gambar 1-26. Dengan demikian jumlah bilangan
komplek
1
z dan
2
z melengkapi jajarangenjang OABC diman OA dan OC berkorespondensi
dengan
1
z dan
.
2
z Diagonal
OB pada jajarangenjang
berkorespondensi dengan .
2 1
z z
X Y
O
, y
x P
A B
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
81 Gambar 1.26
Contoh soal 1.
Misalnya vektor posisi titik
,
dan
,
berturut-turut dinyatakan oleh dan
. a Nyatakan vektor AB sebagai suatu bilangan kompleks.
b Tentukan jarak antara A dan B. Jawab
Gambar 1.27
b Dari gambar 1.27
+ =
atau AB = OB
–
OA = −
=
+
−
+ X
Y
1
z
2
z
2 1
z z
,
1 1
y x
A ,
2 2
y x
B
X Y
O
1
z
1
z
2
z
2
z
2 1
z z
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
82 =
−
+
− Jarak antara titik A dan B diberikan oleh
|AB| = |
−
+
−
| =
−
+
−
2. Misalkan
= +
dan
= +
menyatakan dua vektor tak segaris atau tak sejajar. Jika a dan b merupakan bilangan real skalar sehingga
+ = 0
, buktikan bahwa
= 0
dan
= 0.
Syarat yang diberikan
+ = 0
setara dengan
+ +
+ = 0,
atau
+ +
+ = 0
. Maka
+ = 0
dan
+ = 0
. Persamaan-persamaan tersebut mempunyai jawaban bersama
=
,
= 0
jika ≠
, yaitu jika vektor-vektor tersebut bukan vektor segaris atau sejajar.
3. Buktikan bahwa diagonal suatu jajar genjang saling membagi dua antara yang satu
dengan lainnya.
Gambar 1.28
Misal OABC gambar 1.28 adalah jajaran genjang yang diberikan dengan diagonal-diagonalnya berpotongan di P.
Karena
+ =
, =
− . Maka
=
− dimana
≦ ≦
1
. Karena
= +
, maka
= +
di mana ≦ ≦
1
.
P A
B
C
1
z
2
z
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
83 Tetapi
+ =
, yaitu
+
−
= +
atau
1
− −
+
−
= 0
. Oleh karena itu menurut soal no 9,
1
− −
= 0,
−
= 0
atau
=
,
=
dan ini mengakibatkan P merupakan titik tengan dari kedua diagonal tersebut.
4. Tentukan suatu persamaan untuk garis lurus yang pelalui dua titik yang diberikan,
yaitu
,
dan
,
. Misalkan,
= +
dan
= +
berturut-turut adalah vektor posisi dari A dan B.
Misalkan
= +
adalah vektor posisi dari suatu titik P. pada garis yang menghubungakan A dan B.
Gambar 1.29
Dari gambar 1.29
+ =
atau
+ =
,
yaitu
=
−
+ =
atau
+ =
, yaitu
=
− Karena
dan segaris,
=
atau −
=
− di mana t
adalah riil, dan persamaan yang diinginkan adalah:
A P
B
1
z
2
z
z
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
84
= +
− atau
= 1
−
+
Soal-soal
1. Jika
i z
i z
2 1
, 3
4
2 1
Tentukan hasil secara analitis dan grafis dari
a.
2 1
z z
b.
2 1
z z
c.
2 1
z z
d. 2
3 2
2 1
z
z 2.
Vektor-vektor posisi dari titik-titik pada ABC
.
6 1
, 2
4 ,
2 1
2 1
i C
i z
B i
z A
Buktikan bahwa ABC
adalah sama sisi
dan tentukan panjang masingsegi-masing sisinya. 3.
Misal
4 3
2 1
, ,
, z
z z
z adalah vektor-vektor posisi dari segiempat
ABCD . Buktikan bahwa segiempat
ABCD jika dan hanya jika
4 3
2 1
z z
z z
4. Pesawat terbang WISATA terbang 150 km menuju arah tenggara southeast, 100
km kearah barat west 225 km dalam arah
o
30
disebelah utara dari timur, dan 323 km dalam arah timur laut northeast. Tentukan berapa jauh jarak yang ditempuh
oleh pesawat jika dihitung dari titik awal pemberangakatan penerbangan.
1.15 Representasi Spherical Bilangan Komplek, Proyeksi Stereografis
