Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
43 7.
Buktikan bahwa median dari sebuah segitiga dihubungkan dalam satu titik.
8. Misalkan segi empat
ABCD dan H
G F
E ,
, ,
titik tengah dari sisinya. Buktikan bahwa
EFGH adalah sebuah jajaran genjang. 9.
Dalam jajar genjang ABCD , titik
E
membagi dua sisi
AD
. Buktikan bahwa dimana titik
BE
dihubungkan dengan titik AC membagi AC .
10. Letak vektor dari titik
B A,
berturut-turut adalah 2 + i dan 3 – 2i. a. carilah sebuah persamaan garis
AB
. b. carilah sebuah persamaan garis yang tegak lurus ke
AB
pada titik tengahnya.
11. Gambar dan grafik bentuk manakah yang ditunjukan di bawah ini:
a.
, 2
i
z
b.
, 6
2 2
i x
i z
c.
, 4
3 3
z z
d. ,
3 2
z z
e.
. 4
Im
2
z
12. Carilah sebuah persamaan a. sebuah lingkaran jari-jarinya 2 dengan titik pusat -
3,4 , b. panjang lingkaran dengan titik pusat pada 0,2 dan 0,-2 yang mana sumbu utama mempunyai panjang 10.
1.8 Bentuk Polar Bilangan Komplek
Jika
P
adalah titik pada bidang komplek yang berkorepondensi dengan bilangan komplek
, y
x
atau yi
x
maka berdasarkan gambar 1.8 kita dapat melihat bahwa:
cos
r x
,
. sin
r
y
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
44 Gambar 1.8
Karena
yi x
y x
r
2 2
adalah modulus atau nilai mutlak dari bilangan komplek
1
iy x
z
dinotasikan dengan
z mod
atau z ; dan disebut amplitude atau
argument dari iy
x z
dinotasikan dengan arg z, adalah sudut yang dibuat oleh garis OP dengan sumbu x positif.
Oleh karena itu,
sin cos
i r
y x
z
Yang disebut bentuk polar dari bilangan komplek, r dan θ disebut koordinat polar.
Kadang-kadang dengan mudah untuk menulis dan menyebut sebagai singkatan
cis untuk
sin
cos i
.
Untuk suatu bilangan kompleks
z terdapat korespondensi satu dan hanya
satu terdapat hanya satu nilai yang sesuai dengan untuk 0 ≦ 2π. Namun, interval
lain dari panjang 2π, misalnya - π θ ≦ π, dapat digunakan. Setiap pilihan utama,
diputuskan terlebih dahulu, disebut jarak utama, dan nilai θ disebut nilai utamanya.
Contoh 1.
Nyatakan setiap titik dalam koordinat tegak lurus berikut dalam bentuk polar a.
i 2
2
, y
x P
X Y
y x
r
1
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
45 Gambar 1.9
Karena i
z 2
2
maka
2 2
8 2
2
2 2
r
z Karena titiknya terletak pada kuadran ke-4 maka
4 7
335 2
2 cos
o
Sehingga
4 7
2 2
4 7
sin 4
7 cos
2 2
2 2
cis i
i z
b. 3
1 i
Gambar 1.10 Karena
3 i
i z
maka
2 4
3 1
2 2
r
z Karena titiknya terletak pada kuadran ke-2 maka
3 2
120 2
3 sin
o
Sehingga
3 2
2 3
2 sin
3 2
cos 2
3 1
cis i
i z
c. i
2 2
2 2
X Y
3 1 i
3 2
X Y
i 2
2
2
2 4
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
46 Gambar 1.11
2 2
2 2
i z
maka 4
16 2
2 2
2
2 2
r z
Karena titiknya terletak pada kuadran ke-1 maka 4
45 2
2 4
2 2
cos
o
Sehingga
4 4
4 sin
4 cos
4 2
2 2
2
cis i
i z
d.
i
Gambar 1.12
i z
maka 1
1 1
2 2
r
z Karena titiknya terletak pada sumbu -Y maka
2 3
270 1
cos
o
Sehingga
2 3
2 3
sin 2
3 cos
1
cis i
i z
e. -4
X Y
i
X Y
2 2
2 2
i
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
47 Gambar 1.13
4
z
maka 4
14 4
2 2
r
z Karena titiknya terletak pada sumbu -X maka
o
180 1
4 4
cos
Sehingga
cis i
z 4
sin cos
4 4
f. i
2 3
2
Gambar 1.14
i z
2 3
2
maka 4
16 2
3 2
2 2
r z
Karena titiknya terletak pada kuadran 3 maka
o
210 4
2 cos
Sehingga
o o
i i
z 210
sin 210
cos 4
2 3
2
g. Buktikan bahwa
2 1
tan
1
5 2
i
e i
X Y
i 2
3 2
X Y
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
48 Gambar 1.15
i z
2 maka
5 1
2
2 2
r
z Karena titiknya terletak pada kuadran 1 maka
2 1
tan
Diperoleh
2
1 arctan
Sehingga
2 1
tan 2
1 arctan
1
5 5
2 1
sinarctan 2
1 cosarctan
5 2
i i
e e
i i
z
2. Nyatakanlah bentuk polar berikut dalam koordinat tegak lurus
a. 135
sin 135
cos 6
o o
i
Karena
4 3
135
o
berarti
,
y x
dan diperoleh 2
3 2
2 1
6 135
cos 6
o
x
2 3
2 2
1 6
135 sin
6
o
y
Sehingga
2 3
, 2
3 135
6 135
sin 135
cos 6
o o
o
cis i
Catatan
4 3
6 135
sin 135
cos 6
i o
o
e i
b.
o
cis 90 12
Karena
2 90
o
berarti
,
y x
dan diperoleh Y
i
2
X
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
49 12
90 cos
12
o
x 12
1 12
90 sin
12
o
y Sehingga
12 ,
90 12
o
cis
c.
4 5
2
i
e
Karena
o
225 4
5
berarti
,
y x
dan diperoleh
2 2
2 1
2 4
5 cos
2
x 2
2 2
1 2
4 5
sin 2
y
Sehingga
2 ,
2 2
4 5
i
e
d.
6 7
5
i
e
Karena
o
210 6
7
berarti
,
y x
dan diperoleh
3 2
5 3
2 1
5 6
7 cos
5
x 2
5 2
1 5
4 7
sin 5
y
Sehingga
2 5
, 2
2 5
5
4 5
i
e
e.
3 2
3
i
e
Karena
o
60 3
2
berarti
,
y x
dan diperoleh
3 2
3 3
2 1
3 3
2 cos
3
x 2
3 2
1 3
3 2
sin 3
y
Sehingga
2 3
, 3
2 3
3
4 5
i
e
Soal-soal 1.
Tunjukkan bentuk polar dari a.
i 4
3
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
50 b.
i 2
1
c. 3
3 i
d.
i 3
2 2
e.
i 5
5
f.
2 6
i
g.
i 3
h.
5 2.
Buatlah grafik untuk titik yang dinyatakan oleh a.
240 sin
240 cos
6
o o
i
b.
4 2
cis
c.
4
7 2
2
cis d.
5 3
4
i
e
e.
4
2
i
e
3. Seseorang menempuh perjalalan wisata 12 km dalam arah timur laut northeast,
dilanjutkan 20 km dalam arah
o
30
disebelah barat dari utara kemudian 18 km
o
60
disebelah selatan dari barat. Tentukan secara analitis dan grafis jarak yang ditempuh dan bagaimana arah yang ditempuh dari titik awal.
1.9 Teorema de Moivre
