Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
84
= +
− atau
= 1
−
+
Soal-soal
1. Jika
i z
i z
2 1
, 3
4
2 1
Tentukan hasil secara analitis dan grafis dari
a.
2 1
z z
b.
2 1
z z
c.
2 1
z z
d. 2
3 2
2 1
z
z 2.
Vektor-vektor posisi dari titik-titik pada ABC
.
6 1
, 2
4 ,
2 1
2 1
i C
i z
B i
z A
Buktikan bahwa ABC
adalah sama sisi
dan tentukan panjang masingsegi-masing sisinya. 3.
Misal
4 3
2 1
, ,
, z
z z
z adalah vektor-vektor posisi dari segiempat
ABCD . Buktikan bahwa segiempat
ABCD jika dan hanya jika
4 3
2 1
z z
z z
4. Pesawat terbang WISATA terbang 150 km menuju arah tenggara southeast, 100
km kearah barat west 225 km dalam arah
o
30
disebelah utara dari timur, dan 323 km dalam arah timur laut northeast. Tentukan berapa jauh jarak yang ditempuh
oleh pesawat jika dihitung dari titik awal pemberangakatan penerbangan.
1.15 Representasi Spherical Bilangan Komplek, Proyeksi Stereografis
Misalnya
P
pada gambar 1.6 adalah bidang komplek dan pandang suatu unit sphere
jari-jari satu tangent
P
di .
z
Untuk diameter NS tegaklurus dengan
P
dan titik N dan S kita sebut kutub-kutub utara dan bagian selatan dari
. Beberapa korenspondensi titik A di
P
kita dapat membuat garis NA berpotongan dengan
pada titik A’. Dengan demikian setiap titik di bidang bilangan komplek berkorespondensi satu-satu dan hanya satu titik dari sphere
, dan kita dapat menggambarkan sebarang bilangan komplek oleh satu titik pada sphere. Untuk
melengkapi titik N hal itu berkorespondensi dengan “ jumlah pada titik” dari bidang
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
85 tersebut. Dari himpunan semua titik-titik termasuk bidang komplek untuk jumlah pada
titik disebut semua bidang kompleks, semua bidang z, atau bidang kompleks secara luas.
Methode yang telah dijelaskan di atas untuk memetakan bidang pada sphere disebut proyeksi stereografis. Sphphich. Sphere tersebut kadang-kadang disebut
Riemann sphere.
Gambar 1.30
1.16 Hasil Kali Titik dot dan Silang cross
Misal
1 1
1
iy x
z
dan
2 2
2
iy x
z
adalah dua bilangan komplek dan dinyatakan
sebagai vektor-vektor. Hasil kali titik antara dua bilangan komplek
1
z dan .
2
z merupakan sebuah skalar.
Hasil kali titik antara dua bilangan kompel z
1
dan z
2
didefenisikan dengan bentuk :
12 .....
2 1
Re cos
.
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
z z
z z
z z
y y
x x
z z
z z
Dimana
adalah sudut diantara z
1
dan z
2
yang mana terletak antara 0 dan .
Hasil kali silang dari z
1
dan z
2
didefenisikan sebagai N
S
A
P
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
86
14 .
13 ..........
2 1
Im sin
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
i
e z
z z
z i
z z
z z
z z
z z
i z
z x
y y
x z
z z
z
Jika
1
z dan
2
z adalah bukan nol, maka 1.
Syarat perlu dan cukup bahwa
1
z
dan
2
z tegak lurus adalah bahwa
.
2 1
z
z 2.
Syarat perlu dan cukup bahwa
1
z
dan
2
z
sejajar
adalah bahwa
2 1
z
z 3.
Magnitudo proyeksi dari
1
z pada .
2
z adalah
. .
2 2
1
z z
z
4. Luas jajarangenjang yang mempunyai sisi
z
1
dan z
2
adalah .
2 1
z z
Contoh soal 1.
Jika i
z i
z
3
, 5
2
2 1
, tentukan: a.
2 1
.z z
1 5
6 1
5 3
2 cos
.
2 1
2 1
2 1
2 1
y
y x
x z
z z
z
b.
2 1
z z
17
15 2
3 5
1 2
sin
2 1
2 1
2 1
2 1
x y
y x
z z
z z
c.
1 2
.z z
1 5
6 5
1 2
3 cos
.
1 2
1 2
1 2
1 2
y
y x
x z
z z
z
d.
1 2
z z
17
2 15
2 1
5 3
sin
1 2
1 2
1 2
1 2
x
y y
x z
z z
z
e.
2 1
.z z
f.
1 2
.z z
g.
2 1
z z
h.
1 2
z z
Soal e,f,g dan h ditinggalkan penulis untuk latihan bagi pembaca.
2. Buktikan bahwa:
a.
1 2
2 1
. .
z z
z z
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
87 Bukti
2 2
2 1
1 1
, iy
x z
iy x
z
Menurut definisi hasil kali titik diperoleh
1 2
1 2
1 2
1 2
2 1
2 1
2 1
2 1
. cos
cos .
z z
z z
y y
x x
y y
x x
z z
z z
b.
1 2
2 1
z z
z z
Bukti
2 2
2 1
1 1
, iy
x z
iy x
z
Menurut definisi hasil kali silang diperoleh
1 2
1 2
2 1
1 2
2 1
2 1
2 1
2 1
. cos
sin .
z z
z z
y x
y x
x y
y x
z z
z z
3.
Ditentukan i
z i
z 3
4 ,
4 3
2 1
tentukan besar sudut yang dibentuk oleh
1
z dan .
2
z
Gambar 1.31
Menurut definisi hasil kali titik, diperoleh
cos .
2 1
2 1
z z
z z
2 1
2 1
. cos
z z
z z
25 24
5 .
5 24
3 4
4 3
3 4
. 4
3 cos
i
i i
i
X Y
i 3
4
i 4
3
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
88
25
24 arccos
4. Buktikan bahwa jajaran genjang
ABCD yang mempunyai panjang sisi
1
z dan
2
z adalah
2 1
z z
Gambar 1.32
Luas jajaran genjang
2 1
2 1
1 2
2
sin sin
z z
z z
z z
t z
ABCD
1.17 Koordinat-koordinat Konjugat Bilangan Komplek
