Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
59 i.
1 sec
cos cos
sin
p
p p
p
j. 1
cot 1
cos 1
2 2
x
x k.
t t
t t
2
cos sin
csc sin
l. t
y y
2 2
2
sec 1
csc csc
1
1.10 Akar-akar Bilangan Komplek
Suatu bilangan w disebut akar
n ke
bilangan komplek z jika
z w
n
atau dapat kita tulis dalam bentuk
n
w z
1
. Berdasarkan teorema de Moivre kita dapat menunjukkan bahwa jika
n adalah bilangan bulat positip,
n n
yi x
z
1 1
n
i r
1
} sin
cos {
}
sin cos
{
1
n i
n r
n
6 ......
1 ...
2 ,
1 ,
, 2
sin 2
cos
1
n
k n
k i
n k
r
n
Berdasarkan bentuk di atas, untuk n nilai yang berbeda untuk
n
z
1
, yaitu n akar yang
berbeda dari z . asalkan .
z
Contoh soal 1.
a Temukan semua nilai
, z
sehingga
32
5
z ,
b Tempatkan atau masukkan nilai ini dalam bidang kompleks.
Jawab a
5 1
5 1
5
32 32
32 i
z z
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
60 Dalam bentuk polar
,... 3
, 2
, 1
, ,
2 sin
2 cos
32 32
k k
i k
i
Sehingga Dalam bentuk polar
5 1
5 1
sin cos
32 32
i i
Dengan menggunakan teorema de Moivre diperoleh
4 ,
3 ,
2 ,
1 ,
, 5
2 sin
5 2
cos 32
sin cos
32
5 1
5 1
k k
i k
i
Untuk
5 sin
5 cos
2 5
sin 5
cos 32
5 1
1
i i
z k
Untuk
5 3
sin 5
3 cos
2 5
3 sin
5 3
cos 32
1
5 1
2
i i
z k
Untuk
2 1
2 sin
cos 32
2
5 1
3
i z
k
Untuk
5 7
sin 5
7 cos
2 5
7 sin
5 7
cos 32
3
5 1
4
i i
z k
Untuk
5 9
sin 5
9 cos
2 5
9 sin
5 9
cos 32
4
5 1
5
i i
z k
Dengan mempertimbangkan
= 5, 6
serta nilai-nilai negatif, -1, -2, ..., pengulangan dari lima nilai di atas diperoleh. Oleh karena itu ini adalah satu-
satunya solusi atau akar dari persamaan yang diberikan. lima akar ini disebut lima akar dari – 32 ” dan secara kolektif ditunjukkan dengan
−
32 .
Pada umumnya, mewakili Akar ke-
dari dan . Dan terdapat akar.
b
X Y
,
32
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
61 Gambar 1.16
2.
Tentukan
3 1
1 i
Jawab
Dalam bentuk polar
k i
k i
2 4
3 sin
2 4
3 cos
2 1
Sehingga
3 1
3 1
4 3
sin 4
3 cos
2 1
1
i
3 1
2 4
3 sin
2 4
3 cos
2
k i
k
2
, 1
, ,
3 2
4 2
sin 3
2 4
3 cos
2
3 1
k k
i k
X Y
i
1
X Y
6 2
cis
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
62
4
2 3
4 3
sin 3
4 3
cos 2
6 1
3 1
1
cis i
z k
12
11 2
3 2
4 3
sin 3
2 4
3 cos
2 1
6 1
3 1
1
cis i
z k
4
19 2
3 4
4 3
sin 3
4 4
3 cos
2 2
6 1
3 1
1
cis i
z k
Sem ua akar – akar ini dapat t erlihat pada gam bar berikut ini
y 11π12
Z
1
Z
2 π4
19π12
Z
3
Gambar 1.17
3.
4 1
2 3
2 i
Jawab
Dalam bentuk polar
k i
k i
2 6
7 sin
2 6
7 cos
4 2
3 2
Sehingga
3 1
4 1
6 7
sin 6
7 cos
4 2
3 2
i i
X Y
i 2
3 2
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
63
4 1
2 6
7 sin
2 6
7 cos
4
k i
k
3
, 2
, 1
, ,
4 2
6 7
sin 4
2 6
7 cos
4
3 1
k k
i k
24
7 4
24 7
sin 24
7 cos
4
4 1
4 1
1
cis i
z k
24
19 4
24 19
sin 24
19 cos
4 1
4 1
4 1
2
cis i
z k
24
45 4
24 45
sin 24
45 cos
4 2
4 1
4 1
3
cis i
z k
24
71 4
24 71
sin 24
71 cos
4 3
4 1
4 1
4
cis i
z k
Pernyataan di atas dinyatakan dalam gambar di bawah ini :
Gambar 1.18
4. Mencari akar – akar kuadrat dari
– 15 −
8i Jawab
z z
z z
X Y
43 24
31 24
19 24
7 24
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
64 Gambar 1.19
Dalam bentuk polar
Cara 1
– 15
−
8i = 17 {cos
θ
+ 2k
π
+ i sin
θ
+ 2k
π
}
Dimana,
cos
θ
=
−
dan sin
θ
=
− Maka akar – akar kuadrat dari
– 15
−
8i
adalah : √
17 cos
θ
+ i sin
θ
1 √
17 cos
θ
+
π
+ i sin
θ
+
π
=
−√
17 cos
θ
+ i sin
θ
2 Jadi,
Cos
θ
2 = ±
1 + cos
θ
2 =
1
−
15 17
2 = ±
1
√
17
Sin
θ
2 = ±
1
−
cos
θ
2 =
1 + 15
17 2
= ± 4
√
17
Karena θ adalah sudut yang berada di kuadran ketiga, maka
θ
adalah sudut yang berada di kuadran kedua. Sehingga
Cos
θ
=
−
√
dan Sin
θ
=
√
Dan dari persamaan 1 dan 2 di atas, diketahui bahwa akar–akar kuadratnya adalah
– 1 + 4i dan 1
−
4i
Untuk membuktikannya, coba cek bahwa :
– 1 + 4i = 1
−
4i =
−
15
−
8i X
Y
i 18
15
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
65
Cara 2
Misalkan kita ambil p + iq, dimana p dan r adalah anggota bilangan Real yang mewakili akar – akar kuadrat dari
– 15
−
8i
Kemudian dikuadratkan menjadi
p + iq = p
−
q + 2pqi =
−
15
−
8i
Atau
p
−
q =
−
15
3 Dan
pq =
−
4
4
Substitusikan gantilah
q =
− dari persamaan 4 ke persamaan 3 Menjadi
p
−
=
−
15
atau
p + 15p
−
16 = 0
Sebagai contohnya,
p + 16 p
−
1 = 0
atau
p =
−
16 , p = 1
5.
2 1
2 3
2 i
Jawab
Gambar 1.20
Dalam bentuk polar
k i
k i
2 6
7 sin
2 6
7 cos
4 2
3 2
Sehingga
2 2
6 7
sin 2
2 6
7 cos
4 2
3 2
2 1
2 1
k i
k i
2
6 7
sin 2
6 7
cos 4
2 1
i k
2
2 6
7 sin
2 2
6 7
cos 4
1
2 1
i k
X Y
i 2
3 2
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
66 4.
5 1
4 4
i
Gambar 1.20
4 3
sin 4
3 cos
2 4
4 4
i i
5 1
5 1
4 3
sin 4
3 cos
2 4
4 4
i i
4 ,
3 ,
2 ,
1 ,
, 5
2 4
3 sin
5 2
4 3
cos 2
4
5 1
k
k i
k
Untuk
20
3 sin
20 3
cos 2
4
10 1
5 1
1
i z
k
Untuk
5
2 4
3 sin
5 2
4 3
cos 2
4 1
10 1
5 1
2
i z
k
Untuk
5
4 4
3 sin
5 4
4 3
cos 2
4 2
10 1
5 1
3
i z
k
Untuk
5
6 4
3 sin
5 6
4 3
cos 2
4 3
10 1
5 1
4
i z
k
Untuk
5
8 4
3 sin
5 8
4 3
cos 2
4 4
10 1
5 1
4
i z
k
Soal-soal Hitunglah
X Y
i 4
4
4 3
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
67
1.
6 6
1
3 1
3 1
i i
Dibaca : Akar pangkat 6 dari
3 1 i
2.
4 1
i
3.
6 1
3 1
4 i
4.
` 2
2 3
5 1
i
5.
8 1
2 4
i
6.
2 1
4 4
i
7.
2 1
12 5
i
8.
2 1
5 4
8 i
9.
3 1
2 2
2 i
10.
6 1
2 1
i
11.
7 1
3 1
i
12.
8 1
4 4
i
13.
9 1
4 4
i
14.
3 1
2 11
i
15.
3 1
1 2
1.11 Rumus Euler
Berdasarkan asumsi perluasan deret berhingga ....
3 2
1
3 2
x
x x
e
x
dari kalulus elementer ketika
,
i x
kita dapat mengambil hasil:
1 .....
5 4
3 2
1
1 5
4 3
2
n i
i i
i i
i e
n i
1 ...
5 3
2 ...
4 2
1
1 1
5 5
3 3
2 2
4 4
2 2
n i
i i
i n
i i
i
n n
n n
1 ...
5 3
2 ...
4 2
1
1 5
3 2
4 2
n i
i i
i n
n n
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
68
1 ...
5 3
2 ...
4 2
1
1 5
3 2
4 2
n i
n
n n
Dengan menggunakan definisi jumlah deret tak hingga diperoleh: 7
....... 71828
, 2
sin cos
e
i e
i
Yang mana 7 kita sebut sebagai rumus Euler’s yang sesuai ,bagaimanapun secara sederhana kita mendefinisikan
.
i
e
umumnya kita definisikan
8 `.........
sin cos
y i
x e
e e
e e
x iy
x iy
x z
Misalnya untuk contoh dimana
y
menghasilakan
x
e
Perlu dicatat bahwa bentuk dari 7 pada dasarnya merupakan hasil dari teorema de Moivre untuk
in n
i
e e
Contoh soal 1.
Tentukan rumus Euler untuk 3
1 i
Gambar 1.21
3 1 i
z
maka
2 3
1 3
1
2 2
r
z Karena titiknya terletak pada kuadran 1 maka
2 1
cos
Diperoleh
3 60
2 1
o
arc
3 1 i
X Y
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
69 Sehingga
3
2 3
2 3
sin 3
arccos 2
3 1
i
e cis
i i
z
Sehingga
3
2 3
1
i
e i
z
i 2
3 2
Gambar 1.22
i z
2 3
2
m aka
4 16
2 3
2
2 2
r z
Karena titiknya terletak pada kuadran 3 maka
o
210 4
2 cos
Sehingga
i o
o o
e cis
cis i
i z
6 7
2 6
7 2
210 2
210 sin
210 cos
4 2
3 2
2 1
tan
1
5 2
i
e i
Gambar 1.23 Y
i
2 X
Y
i 2
3 2
X
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
70 i
z
2 maka 5
1 2
2 2
r
z Karena titiknya terletak pada kuadran 1 maka
2 1
tan
Diperoleh
Sehingga
2 1
tan 2
1 arctan
1
5 5
2 1
sinarctan 2
1 cosarctan
5 2
i i
e e
i i
z
2 6
i
Gambar 1.24
i z
2 6
m aka
2 2
8 2
6
2 2
r
z
Karena titiknya terletak pada kuadran 2 maka
6
5 150
2 2
sin
o
Sehingga
i o
o o
e cis
cis i
i z
6 5
2 6
5 2
210 2
210 sin
210 cos
4 2
3 2
2. Nyatakan hasil akhirnya dengan rumus Euler
5 4
1 1
3 3
i i
i i
Jawab
5 4
5 4
315 sin
315 cos
2 45
sin 45
cos 2
30 sin
30 cos
2 330
sin 330
cos 2
1 1
3 3
o o
o o
o o
o o
i i
i i
i i
i i
5
315 .
5 sin
315 .
5 cos
2 45
. 5
sin 45
. 5
cos 2
4 30
. 4
sin 30
. 4
cos 16
330 .
4 sin
330 .
4 cos
16
o o
o o
o o
o o
i i
i i
X Y
2 6
i
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
71
o o
o o
o o
o o
i i
i i
1575 sin
1575 cos
2 4
225 sin
225 cos
2 4
120 sin
120 cos
16 1320
sin 1320
cos 16
2
2 1
2 2
1 2
4 2
2 1
2 2
1 2
4 3
2 1
2 1
16 3
2 1
2 1
16 i
i i
2
2 1
2 2
1 2
2 1
2 2
1 3
2 1
2 1
3 2
1 2
1 i
i i
i
2
2 1
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2 1
2 2
1 3
2 1
2 1
3 2
1 2
1 3
2 1
2 1
3 2
1 2
1 i
i i
i i
i i
i
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
4 1
3 1
3 4
1 3
4 1
4 1
i i
i i
2 3
2 1
3 2
1 2
1
i
i i
i i
i i
i i
2 1
4 3
2 3
2 1
1 1
3 3
5 4
1 2
1 2
3
2 2
r
Karena titik di kuadaran ke-3 maka
4 1
arctan 2
2 1
arctan ,
4 1
2 2
1 tan
Sehingga
4 1
arctan
4 1
sinarctan 4
1 cosarctan
1 2
1 4
3
i
e i
i
3. Nyatakan hasil akhir soal di bawah ini dengan rumus Euler
a.
4 1
3 2
cis
Jawab
4 1
4 1
4 1
2 3
sin 2
3 cos
2 3
sin 3
cos 2
3 2
i
i cis
Dengan menggunakan teorema de Moivre diperoleh ,
2 ,
1 ,
, 4
2 3
sin 4
2 3
cos 2
3 sin
3 cos
2
4 1
4 1
k k
i k
i
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
72
i
e i
k
12 4
1 4
1
2 12
sin 12
cos 2
i
e i
k
12 7
4 1
4 1
2 12
7 sin
12 7
cos 2
1
i
e i
k
12 13
4 1
4 1
2 12
13 sin
12 13
cos 2
2
i
e i
k
12 19
4 1
4 1
2 12
19 sin
12 19
cos 2
3
b.
4 3
2 2
cis cis
Jawab
4 sin
4 cos
3 2
sin 2
cos 2
4 3
2 2
i i
cis cis
i
e cis
i i
4 3
6 4
3 6
4 3
sin 4
3 cos
6 4
2 sin
4 2
cos 3
. 2
c.
7 2
3 i
i
Jawab
17 19
2 17
21 2
14 3
21 7
2 3
2
i i
i i
i i
i
Dalam bentuk polar
19 17
tan sin
19 17
arctan cos
26 5
17 19
acr i
i
Bentuk Euler
i
e acr
i
19 17
arctan
26 5
19 17
tan sin
19 17
arctan cos
26 5
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
73 Soal-soal
Tentukan rumus Euler yang bersesuaian dengan hasil akhir dari operasi di bawah ini 1.
7 2
3 i
i
2.
2 3
7 i
i
3.
7 2
6 8
i
i
4.
5 7
2 1
3 5
i i
i
5.
5 7
2 1
3 5
i i
i
6.
2 4
3 2
i i
7.
3 2
2 4
i i
8.
4 5
2 3
2 i
i i
9.
4 5
2 3
2 i
i i
10.
4 3
5 7
2 1
i i
i
11.
i i
1
2 3
12.
i i
i 3
4 20
4 3
5 5
13. 1
2 3
19 10
i i
i
14.
2
3 3
2 1
i
15.
3 2
1 1
2 1
1 3
i
i i
i
16.
15 10
5 16
9 4
2 i
i i
i i
i
1.12 Persamaan-persamaan Polinomial
