Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
25 Soal-soal
1 Misalkan
R d
c b
a
, ,
,
buktikan pernyataan berikut: a.
Jika
c b
b a
,
maka bd
ac bc
ad
b. Jika
b a
dan d
c maka
d b
c a
c.
2 2
b
a
jika dan hanya jika a = 0 atau b = 0 2
Carilah bilangan
R d
c b
a
, ,
,
yang memenuhi b
a
dan
d
a dan
berlaku a
bd ac
b
bd ac
.
3 Tentukan bilangan real
x , sedemikian sehingga: a
4 3
2
x
x
b
4 1
2
x
c
4 3
2
x x
d
6 2
1
x
x
e
1 2
2
x x
f
5 1
2 1
x
x
g
x x
3 4
1
h
x x
1
i
7 2
1 x
j
3 2
1
x
1.3 Sistem Bilangan Komplek
Persamaan kuadrat merupakan salah satu konsep dalam matematika yang telah dikenalkan sejak dini. Persamaan tersebut mempunyai bentuk umum
,
2
c
bx ax
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
26 dengan
. ,
, real
c b
a
Nilai peubah x yang memenuhi persamaan kuadrat dinamakan
selesaian. Selesaian suatu persamaan yang juga disebut dengan akar-akar persamaan kuadrat dapat berupa bilangan real atau tidak real. Misal
1
2
x
adalah sebarang persamaan kuadrat, maka persamaan tersebut akar-akarnya tidak real atau dengan kata
lain tidak ada bilangan real yang memenuhi persamaan
1
2
x
, hal ini dikarenakan
. 1
2
x
Pernyataan ini adalah sesuatu yang tidak mungkin karena tidak ada kuadrat suatu bilangan real yang hasilnya
. 1
Untuk itu perlu diperkenalkan bilangan komplek yaitu suatu bilangan yang mempunyai bentuk umum
bi a
dimana
real b
a
,
dan 1
i .
Bilangan komplek didefinisikan sebagai pasangan berurutan dari bilangan real
b a,
yang memenuhi sifat-sifat tertentu yang secara umum dituliskan sebagai
. bi
a z
Kita dapat mengangap sebuah bilangan komplek mempunyai sifat
. 1
2
i
. Untuk selanjutnya dalam bilangan komplek
. bi
a z
a
disebut bagian real dari dari z dan
b
disebut bagian bilangan imajiner dari z , secara berturut-turut keduanya dilambangkan dengan
} Re{z
a
dan
} Im{z
b
. Variable yang berlaku pada bilangan komplek disebut sebagai variabel komplek.
Dua bilangan komplek bi
a z
1
dan di
c z
2
adalah sama jika dan hanya jika
c a
dan d
b . Kita dapat mengangap bilangan asli sebagai sebuah bagian dari
susunan bilangan komplek dengan b = 0. Bilangan komplek 0 + 0i dan -3 +0i kembali ditunjukan bilangan asli 0 dan -3 berturut-turut. Jika a = 0 ,bilangan komplek 0 + bi
atau disebut bilangan imajiner sejati. Konjugate komplek atau secara singkat konjugate, suatu bilangan komplek
bi a
adalah bi
a . Konjugate bilangan bilangan komplek z sering diindikasikan
oleh atau
. z
Contoh: 1
i i
3 2
3 2
2
i i
i 4
5 4
1 4
5 1
4 5
1
3 i
i i
i i
i i
i i
4 8
4 8
2 2
6 6
2 2
6 6
2 2
3
2
4 Jika
i z
i z
i z
2 3
, 4
2 ,
1
3 2
1
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
27 Maka
a 1
} Re{
2 1
z z
b 2
} Re{
2 1
z
z c
2 }
Re{
2 1
z
z d
7 4
3 6
Im
3 2
1
z z
z
e
3 1
Im
3 2
1
z
z z
Soal-soal 1.
Tunjukkan bahwa i
z i
z
1
, 1
2 1
adalah akar-akar dari persamaan kuadrat
2 2
2
z z
2. Tunjukkan bahwa
2 2
1 ,
2 2
1
2 1
i z
i z
adalah akar-akar dari persamaan kuadrat
1
2
z z
3. Tentukan
a.
i i
3 5
2 2
3
b.
i
i 3
2 4
2 3
1.4 Operasi dasar pada bilangan Komplek
