Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
73 Soal-soal
Tentukan rumus Euler yang bersesuaian dengan hasil akhir dari operasi di bawah ini 1.
7 2
3 i
i
2.
2 3
7 i
i
3.
7 2
6 8
i
i
4.
5 7
2 1
3 5
i i
i
5.
5 7
2 1
3 5
i i
i
6.
2 4
3 2
i i
7.
3 2
2 4
i i
8.
4 5
2 3
2 i
i i
9.
4 5
2 3
2 i
i i
10.
4 3
5 7
2 1
i i
i
11.
i i
1
2 3
12.
i i
i 3
4 20
4 3
5 5
13. 1
2 3
19 10
i i
i
14.
2
3 3
2 1
i
15.
3 2
1 1
2 1
1 3
i
i i
i
16.
15 10
5 16
9 4
2 i
i i
i i
i
1.12 Persamaan-persamaan Polinomial
Sering dalam hal-hal praktis kita menemukan selesaian persamaan pangkat banyak polinomial dengan bentuk umum :
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
74
9 .........
...
1 2
2 1
1
n
n n
n n
a z
a z
a z
a z
a
Dimana
n
a a
a ....,
,
1
adalah bilangan komplek dan n adalah bilangan bulat positip
yang disebut pangkat dari persamaan. Selesesaian dari persamaan polinomial juga disebut pembuat nol zeros ruas kiri persamaan 9 akar-akar persamaan.
Teorema ini sangat penting sehingga disebut teorema mendasar dari aljabar yang menyatakan bahwa setiap persamaan polinomial dari bentuk 9 mempunyai paling
sedikit satu akar bilangan. Berdasarkan fakta ini kita dapat polinomial mempunyai n
akar bilangan komplek yang kadang-kadang beberapa ada yang sama dan bahkan mungkin semua akar-akarnya sama.
Jika
n
z z
z z
, ...
, ,
,
3 2
1
dengan n akar-akar persamaan polinomial maka 9 dapat di tulis sebagai:
10 ..........
.....
3 2
1
n o
z z
z z
z z
z z
a yang mana di sebut bentuk pemfaktoran dari persamaan polynomial, sebaliknya jika
kita dapat menulis 9 pada bentuk 10 kita dapat menentukan akar-akarnya dengan mudah.
Contoh soal 1.
Selesaikanlah persamaan kuadrat berikut ,
2
a c
bz az
Dengan menukar c dan membaginya dengan
a
diperoleh bentuk persamaan
a c
a bz
z
2
Jika masing-masing ruas ditambahkan dengan
2
2
a
b
Diperoleh bentuk kuadrat sempurna
2 2
2
2 2
a
b a
c a
b a
bz z
2 2
2
2 2
a
b a
c a
b a
bz z
a ac
b a
b z
2 4
2
2 2
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
75 a
ac b
a b
z 2
4 2
2
a ac
b b
z a
ac b
b z
a ac
b a
b z
2 4
, 2
4 2
4 2
2 2
2 .
1 2
Untuk selanjutnya a
ac b
b z
2 4
2 2
. 1
Disebut akar-akar ,
2
a c
bz az
2. Tentukan selesaian persamaan polinomial berikut:
a. 5
3 2
2
i
z i
z Jawab
Dengan menggunakan rumus pada soal nomor 1 diperoleh
2 8
15 3
2 2
4 20
9 12
4 3
2 2
5 .
1 .
4 3
2 3
2 2
4
2 2
2 2
. 1
i i
i i
i i
i i
i a
ac b
b z
Sehingga
2 8
15 2
3
1
i i
z
dan
2 8
15 2
3
2
i i
z
b. 3
2
2
i
z i
z Jawab
Dengan faktorisasi diperoleh
2 1
1 3
2
2
i z
i z
i z
i z
Sehingga i
z i
z 2
1 ,
1
2 1
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
76 c.
Jabarkanlah
1
−
= 16
Jawab Dengan menggunakan metode 1. Persamaan pada soal diatas jika dijabarkan akan
menghasilkan persamaan berikut. −
+ 16 = 0
, bisa juga
+ 8 + 16
−
9 = 0
, supaya menghasilkan persamaan
+ 4
−
9 = 0,
+ 4 + 3 + 4
−
3 = 0
Maka akan menghasilkan jawaban dari
+ 4 + 3 = 0, + 4
−
3 = 0
, yaitu −
±
√
±
√
.
Dengan menggunakan metode 2. Kita bisa misalkan
= ,
maka persamaan diatas bisa kita jabarkan menjadi
−
+ 16 = 0
dan ganti z menjadi w maka
−
+ 16 = 0
atau
= ±
√
7 .
untuk mendapatkan jawabannya bisa digunakan cara pada soal 30.
d.
1
2 4
z z
Jawab Atau
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1 1
2 2
2 2
2 2
4
i z
z z
z z
Sehingga diperoleh
3 2
1 2
1
2
i z
dan
3 2
1 2
1
2
i z
3 2
1 2
1 3
2 1
2 1
2 2
i z
i z
Atau
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
77
3 2
1 2
1
2 .
1
i z
3 2
1 2
1 ,
3 2
1 2
1
2 1
i z
i z
2 1
2 1
1
3 2
sin 3
2 cos
1 3
2 1
2 1
3 2
1 2
1
i i
i z
1 ,
, 3
2 3
2 sin
2 2
3 2
cos 1
2 1
k
k i
k
3 1
2 1
3 2
1 2
1 1
3 3
2 sin
2 3
2 cos
1
2 1
i i
i z
k
3 1
2 1
3 7
3 2
3 2
sin 2
2 3
2 cos
1 1
2 1
i cis
i z
k
2 1
2
3 2
1 2
1 3
2 1
2 1
i z
1 ,
, 3
2 3
2 sin
2 2
3 2
cos 3
2 sin
3 2
cos 1
2 1
2
k k
i k
i z
3 7
3 2
3 2
sin 2
2 3
2 cos
1 3
1 2
1 3
2 1
2 1
1
cis i
z k
i i
z k
Soal-soal Selesaikanlah
1.
4 6
2
3 4
5
z
z z
z
2.
10 3
32 25
6
2 3
4
z
z z
z
3.
10 2
5
2
z z
4. 3
2
2
i
z i
z 5.
Carilah dua bilangan komplek yang jumlahnya 4 dan hasil kalinya 8. 6.
81
4
z
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
78 7.
3 1
6
i z
8.
2 3
z
z z
9. 8
12 6
2 3
4
z z
z z
10.
2 4
z
z 11.
4 12
13 6
2 3
4
z
z z
z 12.
16 24
9
2 4
6
z z
z 13.
6 8
z
z 14.
64
2 3
z 15.
120 274
225 85
15
2 3
4 5
z z
z z
z 16.
4 4
2 3
z z
z
17.
4
z
z 18.
5 2
5 2
z z
19. 36
5
2 4
z z
20.
4 8
7 5
2 3
4 5
z z
z z
z
21.
1 3
3
2 3
z z
z
22. 3
4 4
2
z z
z
1.13 Akar-akar
