Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
31 c.
4 3
z
d.
2 1
3 1
3
3 2
5 2
i z
z i
z z
e.
2 2
3 3
2 1
z z
z z
f.
5 3
3
z z
g.
2 2
2 2
3 2
2 2
2 1
z z
z z
h.
1 2
2 1
z z
z z
i.
3 1
3 2
z z
z z
3. Tentukan
a.
2
1 2
1 2
3 2
Re i
i i
i
b.
2
1 2
1 2
3 2
Im i
i i
i
c.
2 2
1 2
4 2
3 Im
i i
i
d.
2 2
1 2
4 2
3 Im
i i
i
e.
2 3
2 2
2 1
5 3
2 Im
z z
z
dan
2 3
2 2
2 1
5 3
2 Im
z z
z
Jika
= 2 + , = 3
−
2 =
−
+
√
,
1.5 Nilai Mutlak
Nilai Mutlak atau modulus dari suatu bilangan komplek bi
a z
dinotasikan dengan z dan didefinisikan sebagai
2 2
b a
bi a
z
Contoh
a
13 9
4 3
2 3
2
2 2
i
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
32
b
5 2
20 4
16 2
4 2
4
2 2
i
c
13 9
4 3
2 3
2
2 2
i
d
41 25
16 5
4 5
4
2 2
i
e
13 6
1 9
1 4
1 3
1 2
1 3
1 2
1
2 2
i
Jika
m
z z
z z
..... ,
, ,
3 2
1
adalah bilangan komplek, berlaku sifat-sifat berikut 1.
2 1
2 1
z z
z z
atau
m m
z z
z z
z z
... ...
2 1
2 1
Bukti
Misal di
c z
bi a
z
2 1
,
i bc
ad bd
ac di
c bi
a z
z
2 1
`
2 2
2 1
bc ad
bd ac
z z
` 2
2 2
2 2
2 2
2 2
c b
abcd d
a d
b acbd
c a
`
2 2
2 2
2 2
d a
d b
c a
`
2 2
2 2
d c
b a
2 2
2 2
d c
b a
`
2 2
2 2
d c
b a
2 1
z z
2. ,
2 1
2 1
z z
z z
jika
2
z
Bukti Dari operasi pembagian dua bilangan komplek diperoleh:
2 2
2 1
d c
i ad
bc bd
ac di
c bi
a z
z
, sehingga
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
33
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1
2 2
d c
d c
b a
d c
d a
c b
d b
c a
d c
d a
abcd c
b d
b abcd
c a
d c
ad bc
d c
bd ac
z z
Dilain pihak
Sehingga dapat disimpulakn bahwa
,
2 1
2 1
z z
z z
asalkan
2
z
3. a.
2 1
2 1
z z
z z
, b.
3 2
1 3
2 1
z z
z z
z z
, c.
2 1
2 1
z z
z z
a. Penyelesaian
Misal
2 2
2 1
1 1
, iy
x z
iy x
z
dan kita harus menunjukkan bahwa
2 2
2 2
2 1
2 1
2 2
1 2
2 1
y x
y x
y y
x x
Kuadaratkan Persamaan kedua diatas, akan benar jika
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
2 1
2 y
x y
x y
x y
x y
y x
x
jika
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
2 1
y x
y x
y y
x x
atau jika Kuadratkan Kedua persamaan lagi
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
2 2
2 1
2 y
y x
y y
x x
x y
y y
y x
x x
x
Atau
2 2
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
2 x
y y
x y
y x
x
Tetapi ini sama untuk
2 1
2 2
1
y
x y
x jika benar.
Balikkan langkah –langkah yang reversibel.
Contoh soal
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
. d
c d
c b
a d
c d
c d
c b
a d
c b
a z
z
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
34 1
Jika
i z
i z
i z
2 3
2 1
, 2
3 ,
2
3 2
1
, hitunglah a
157 11
6 11
6 8
12 3
6 2
3 4
2 3
4 3
2 2
2 1
i i
i i
i z
z
b
8 2
4 2
3 2
8 4
3
2 3
1 2
1 3
1
i i
i z
z z
8 4
8 4
4 3
. 2
. 3
. 2
. 3
2
2 3
2 2
3
i i
i i
i i
8 4
8 3
12 12
6 12
8
2 3
2
i i
i i
i i
8 4
8 3
12 12
6 12
8
i
i i
i
8 4
8 3
12 12
6 12
8
i
i i
i i
3 7
c
2 .
2 4
4 4
3
2 3
2 1
2 3
2 1
2 3
2 1
i
i i
z
4 3
2 3
4 1
4 3
2 3
4 1
2 3
2 1
4 3
2 3
4 1
2 2
2 2
2
i i
i i
i i
i 2
3 2
1
d i
i i
i i
i i
i i
z i
i i
i z
z i
z z
3 4
3 4
. 3
4 4
3 3
4 4
3 3
2 3
2 5
2 2
3 2
3 2
5 2
2 1
1 2
1 1
25 25
9 16
12 16
9 12
3 4
3 4
. 3
4 4
3
2 2
2
i i
i i
i i
i i
2 Tentukan bilangan real
x dan
y
sedemikian sehingga
i y
ix iy
x 5
7 5
2 3
Jawab
i y
ix iy
x 5
7 5
2 3
i
i x
y y
x 5
7 2
5 3
Sehingga diperoleh dua persamaan
5 2
7 5
3
y x
y x
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
35 Dengan menggunakan metode substitusi diperoleh
2 ,
1
y x
3 Tunjukkan kesamaan di bawah ini:
a
2 1
2 1
z z
z z
Bukti
i d
b c
a z
z i
d b
c a
di c
bi a
z z
2 1
2 1
Karena bi
a z
1
sehingga
bi a
z
1
di c
z
2
sehingga
di c
z
2
i d
b c
a di
c bi
a di
c bi
a z
z
2 1
Tampak bahwa sehingga
2 1
2 1
z z
z z
b
2 1
2 1
z z
z z
Bukti
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1
2 2
z z
d c
b a
d c
b a
c b
d a
d b
c a
c b
abcd d
a d
b abcd
c a
bc ad
bd ac
i bc
ad bd
ac bdi
bci adi
ac di
c bi
a z
z
Soal-soal 1.
Jika i
z 3
4
1
dan i
z 2
1
2
, hitunglah
a.
2 1
z z
b.
2 1
z z
b.
2 1
z z
d.
2 3
2
2 1
z
z
2. Jika
= 2
−
2 , = 3
−
2 =
−
+
√
,
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
36 Tentukan nilai masing-masing berikut ini.
a
2 1
4 3
z z
b
8 4
3
1 2
1 3
1
z
z z
c
4 3
z
d
2 1
3 1
3
3 2
5 2
i z
z i
z z
e 4
2 3
1 1
2 1
z
z z
f
2 1
4 3
z z
3.
Tentukan z dari: a.
2 3
2 1
i z
b.
1 2
2 i
z
c.
2 7
1 4
i i
i z
d. 3
3 3
i z
e.
3 2
i
z
1.6 Pembangun-pembangun Aksiomatis dari Sistem Bilangan Komplek
