Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
88
25
24 arccos
4. Buktikan bahwa jajaran genjang
ABCD yang mempunyai panjang sisi
1
z dan
2
z adalah
2 1
z z
Gambar 1.32
Luas jajaran genjang
2 1
2 1
1 2
2
sin sin
z z
z z
z z
t z
ABCD
1.17 Koordinat-koordinat Konjugat Bilangan Komplek
Suatu titik di bidang kompleks, dapat diletakkan pada koordinat tegak lurus
,
atau koordinat kutub
,
. Namun banyak juga kemungkinan yang lain, misalnya dalam bentuk
. ,
z z
Karena yi
x z
dan
yi x
z
maka akan diperoleh
2 2
__________ z
z x
x z
z yi
x z
yi x
z
dan
i z
z y
yi z
z yi
x z
yi x
z
2 2
__________
1
z
2
z
sin
1
z t
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
89 Bentuk
2 z
z x
dan i
z z
y 2
dapat disubstitusikan kedalam persamaan yanga diketahui. Koordinat
,
̅ yang menentukan letak suatu titik dinamakan koordinat-
koordinat bilangan komplek dalam konjugate atau disingkat dengan koordinat konjugate dari sustu titik.
Contoh soal 1.
Nyatakan persamaan berikut dalam bentuk koordinat konjugate a.
5 2
y
x
Misal yi
x z
sehingga
yi x
z
Dengan menggunakan metode substitusi diperoleh z
z x
2 dan
z z
iy
2
Sehingga diperoleh 2
z z
x
dan
i z
z y
2
Substitusikan
x
dan
y
sehingga
5 2
y
x
i z
z i
z iz
i z
i z
i i
z z
z z
i i
z z
i z
z i
i z
z z
z
10 2
2 10
1 2
1 2
10 2
5 2
2 2
5 2
2 2
b. 36
2 2
y
x
36 2
2
2 2
i
z z
z z
36 2
1 2
1
z z
z z
36
z z
c. 9
3
2 2
y
x
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
90 9
2 9
2 6
2
2 2
i
z z
z z
z z
9 4
2 9
2 6
4 2
2 2
2 2
z z
z z
z z
z z
z z
36 2
36 12
2
2 2
2 2
z z
z z
z z
z z
z z
2 12
2
z
z z
z z
z
12 12
z
z
d. 25
16 4
2 2
y
x 25
2 16
2 4
2 2
i
z z
z z
25 2
4 2
2 2
2 2
z
z z
z z
z z
z
25 4
8 4
2
2 2
2 2
z
z z
z z
z z
z 25
6 3
3
2 2
2
z
z z
z 25
6 3
3
2 2
2
z
z z
z
Soal-soal
1. Deskripsikan setiap locus berikut ini yang diyatakan dalam koordinat konjugate
menjadi bentuk bilangan komplek. a.
2. Ubahlah setiap persamaan berikut dalam koordinat konjugate
1.18 Himpunan-himpunan Titik
Sebarang kumpulan titik-titik di bidang kompleks dinamakan suatu himpunan titik berdimensi dua, dan setiap titiknya dinamakan suatu anggota atau unsur himpunan
tersebut. Definisi dasar berikut ini diberikan sebagai bahan rujukan.
1. Lingkungan neighbourhoods
Suatu lingkungan delta atau dari titik
adalah Himpunan semua titik sehingga
|
−
|
dimana adalah suatu bilangan positif yang diberikan.
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
91 Suatu lingkungan
–
yang dihilangkan dari adalah Suatu lingkungan dari
yang titik nya dibuang, yaitu
0 |
−
|
. 2.
Titik lserimit limit points
Suatu titik disebut titik limit, titik gabung, atau titik kumpul dari himpunan titik
. Jika setiap lingkungan
–
yang dihilangkan dari memuat titik di himpunan
,
karena adalah Suatu bilangan positif sebarang, maka himpunan harus memiliki
banyak titik yang tak berhingga. Perhatikan bahwa mungkin terletak di dalam
atau di luar himpunan . 3.
Himpunan-himpunan tertutup closed sets
Sebuah himpunan disebut tertutup jika setiap titik limit dari termasuk di dalam , yaiut memuat semua titik limitnya. Sebagai contoh, himpunan semua titik
sehingga
| |
≤
1
adalah suatu himpunan tertutup. 4.
Himpunan-himpunan terbatas bounded sets
Sebuah himpunan disebut terbatas jika kita dapat menemukan suatu konstata sehingga
| |
≤ untuk setiap titik dan . Suatu himpunan tak terbatas adalah himpunan yang tidak memiliki batas. Suatu himpunan yang terbatas dan tetutup
dinamakan Kompak. 5.
Titik dalam, titik luar, dan titik terbatas interior, exterior, and boundary points
Suatu titik disebut titik dalam dari himpunan jika kita dapat menentukan suatu
lingkungan dari
yang semua titiknya termasuk pada . Jika setiap lingkungan dari
memuat titik di dan juga titik di luar , maka dinamakan titik batas.
Jika suatu titik bukan suatu titik dalam atau titik batas dari suatu himpunan , maka titik ini dinamakan titik luar dari .
6. Himpunan-himpunan terbuka open sets
Suatu himpunan terbuka adalah suatu himpunan yang hanya terdiri dari titik dalam. Sebagai contoh, himpunan titik sehingga
| | 1
adalah suatu himpunan terbuka. 7.
Himpunan-himpunan tersambung connected sets
Suatu himpunan terbuka disebut tersambung jika untuk setiap dua titik di himpunan tersebut dapat dihubungkan oleh suatu lintasan yang berbentuk garis
lurus lintasan segi banyak yang semua titiknya terletak di dalam . 8.
Daerah terbuka atau domain open regions or domains
Suatu himpunan terbuka tersambung dinamakan suatu daerah terbuka atau domain.
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
92 9.
Closure suatu himpunan closure of a set
Jika suatu himpunan kita gabungkan semua titik limitnya, maka himpunan baru yang terbentuk disebut penutup himpunan dan merupakan suatu himpunan
tertutup. 10.
Daerah tertutup closed regions
Penutup suatu daerah terbuka atau domain disebut suatu daerah tertutup. 11.
Daerah regions
Jika pada suatu daerah terbuka atau domain kita gabungkan beberapa, semua atau tidak sama sekali titik limitnya, maka kita menemukan suatu himpunan yang
disebut daerah. Jika semua titik limitnya digabungkan, maka daerahnya tertutup dan jika tidak digabungkan sama sekali, maka daerahnyaterbuka. Dalam buku ini
bilamana kita menggunakan istilah daerah tanpa mengelompokkannya, kita akan mengartikannya sebagai daerah terbuka atau domain.
12.
Gabungan dan Irisan dari himpunan. sebuah himpunan terdiri dari semua titik
yang tergabung dalam himpunan S
1
dan himpunan S
2
atau kedua-duanya yang dinamakan uniongabungan dari himpunan S
1
dan S
2
yang ditandai dengan himpunan S
1
+ S
2
∪ Suatu himpunan terdiri dari semua titik yang terdapat dalam himpunan S
1
dan S
2
dinamakan irisan S
1
dan S
2
yang ditandai dengan S
1
, S
2
∩
13.
Komplemen dari himpunan. Suatu himpunan yang tergabung dari semua titik
yang tidak termasuk dalam himpunan S dinamakan komplemen S dan dinyatakan dengan
~
14.
Himpunan kosong dari sub himpunan. Menarik untuk memikir sebuah himpuan
yag tak bernilai, himpunan ini dinamakan himpunan kosong ∅. Jika dua himpunan
S
1
dan S
2
tidak memiliki nilai dimana kedua himpunan tersebut dinamakan himpunan yang tak berkaitansaling keterkaitan, kita dapat menjelaskannya dengan
menulis S
1
- S
2
= ∅. Setiap himpunan yang dibentuk melalui pemilihan semua nilai
tanpa nilai dari sebuah himpunan dinamakan sub himpunan dari S. bila kita menjelaskan himpunan ini dimana semua nilai S telah dipilih maka himpunan itu
dinamakan sebuah himpunan yang benar dari S.
15.
Himpunan tak terhingga. Jika bagian sebuah himpunan dapat ditempatkan dalam
sebuah persamaan dengan angka-angka 1,2,3………maka himpunan itu dinamakan
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
93 himpunan yang dapat dihitung, jika tidak dapt dihitung maka himpunan tersebut
dinamakan himpunan tak terhingga. Berikut ini ada dua teori penting mengenai nilai-nilai himpunan:
a Teorema Welerstrass-Bolzano. Teori ini menyatakan bahwa setiap himpunan
dasar terikat memiliki paling sedikit satu batas nilai. b
Teorma Heine-Borel. Teori ini menyatakn bahwa S merupakan sebuah himpunan
terpadu masing-masingnya mengandung satu atau lebih himpunan A
1
, A
2
..... yang kemudian dikatakan meliputi himpunan S tak terhingga. Kemudian akan terjadi
sejumlah himpunan dasar A
1
, A
2
yang meliputi S tak terhingga.
1.19 Soal-soal
