Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
36 Tentukan nilai masing-masing berikut ini.
a
2 1
4 3
z z
b
8 4
3
1 2
1 3
1
z
z z
c
4 3
z
d
2 1
3 1
3
3 2
5 2
i z
z i
z z
e 4
2 3
1 1
2 1
z
z z
f
2 1
4 3
z z
3.
Tentukan z dari: a.
2 3
2 1
i z
b.
1 2
2 i
z
c.
2 7
1 4
i i
i z
d. 3
3 3
i z
e.
3 2
i
z
1.6 Pembangun-pembangun Aksiomatis dari Sistem Bilangan Komplek
Dari suatu segi pandangan yang logis dapat digambarkan angka-angka complex sebagai pasangan
, b
a
dari bilangan real a dan
b menunjuk pada yang definisi yang beragam ternyata sama dengan definisi diatas. Semua definisi yang digambarkan ini,
dimana semua angka menggantikan bilangan-bilangan real. a. Persamaan
, ,
d c
b a
jika dan hanya jika
d b
c a
,
b. Penjumlahan
, ,
, d
b c
a d
c b
a
c. Produk
, ,
, bc
ad bd
ac d
c b
a
dan
, ,
mb ma
b a
m
Dari ini kita dapat menunjukkan bahwa
1 ,
, 1
, b
a b
a
dan kita berhubungan dengan ini
bi a
di mana lambang untuk
1 ,
dan mempunyai
, 1
1 ,
1 ,
2
i
yang dipertimbangkan setara dengan bilangan riil - 1 dan 1, 0
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
37 jadilah setara dengan bilangan real 1. Pasangan yang diinginkan
,
sesuai dengan bilangan real 0.
Dari pernyataan di atas kita dapat membuktikan bahwa jika
3 2
1
, ,
z z
z bagian dari
bilangan komplek .
S 1.
2 1
z z
dan
2 1
z z
terdapat di S
Hukum tertutup 2.
2 1
z z
=
1 2
z z
Bukti
i d
b c
a i
b d
a c
bi a
di c
bi a
di c
z z
i d
b c
a di
c bi
a di
c bi
a z
z
1 2
2 1
Hukum Komutatif Penjumlahan
3.
3 2
1 3
2 1
z z
z z
z z
3 2
1
z z
z fi
e di
b c
a i
f d
b e
c a
i f
d e
c bi
a i
f d
e c
bi a
fi e
di c
bi a
fi e
di c
bi a
Hukum Asosiatif Penjumlahan
4.
1 2
2 1
z z
z z
Bukti
i ad
bc bd
ac bdi
bic adi
ac di
c bi
a z
z
2 2
1
i ad
cb db
ca dbi
dia cbi
ca bi
a di
c z
z
2 1
2
Hukum komutatif
Perkalian
5.
3 2
1 3
2 1
z z
z z
z z
Hukum assosiatif
Perkaliam
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
38
i bdf
bce ade
acf bde
bcf adf
ace i
bdf bce
ade acf
bde bcf
adf ace
i de
cf bi
df ce
bi i
de cf
a df
ce a
i de
cf df
ce bi
a df
die cfi
ce bi
a fi
e di
c bi
a z
z z
2 3
2 1
i bdf
acf ade
bce adf
bcf bde
ace i
bdf acf
i ade
bce adf
bcf bde
ace ifi
ad bc
fi bd
ac ie
ad bc
e bd
ac fi
e i
ad bc
bd ac
fi e
bidi adi
bic ac
fi e
di c
bi a
z z
z
3 2
1
6.
3 1
2 1
3 2
1
z z
z z
z z
z
i af
be bc
ad bf
bd ae
ac bifi
bidi afi
adi bie
bic ae
ac i
f d
bi i
f d
a e
c bi
e c
a i
f d
e c
bi a
fi e
di c
bi a
fi e
di c
bi a
z z
z
3 2
1
i af
be bc
ad bf
ae bd
ac i
af be
bf ae
i bc
ad bd
ac bifi
afi bei
ae bidi
bic adi
ac fi
e bi
a di
c bi
a z
z z
z
3 1
2 1
Hukum Distributif
Perkalian terhadap Penjumlahan
7.
1 1
1
z z
z
1 1
1
1 .
. 1
z z
z
0 disebut identintas
penjumlahan 1 disebut identintas
perkalian 8.
Untuk suatu bilangan komplek
1
z ada satu bilangan S
z
yang tunggal sedemikian sehingga
1 1
z z
z z
. Untuk selanjutnya z disebut invers balikan penjumlahan
dari
1
z dan dilambangkan dengan
1
z .
9. Untuk suatu
1
z
ada satu bilangan S
z yang tunggal
sedemikian sehingga 1
1 1
zz
z z
. Untuk selanjutnya z
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
39 disebut inver perkalian dari
1
z dan dilambangkan dengan
1 1
z
atau
1
1 z
Secara umum suatu himpuan sedemikian sehingga seperti pada S yang anggota-
anggotanya memenuhi sifat di atas disebut dengan field lapangan. Contoh
1. Gunakan defenisi dari sebuah bilangan kompleks sebagai pasangan orderdari
bilangan real dan defenisi pada halaman tiga untuk membuktikan bahwa a,b=a1,0,b0,1dimana 0,1,0,1=-1,0=a,c + c,b=a,b
Dari defenisi jumlah dan produk atau hasil di halaman 3, kita mendapatkan
, = , 0 + 0, =
1,0 + 1,0
dimana
0,1 0,1 = 0
∗ −
1
∗
1,0
∗
1 + 1
∗
0 =
−
1,0
Dari identifikasi
1,0
dengan 1 dan
0,1
dengan , kita melihat bahwa
, = +
2. Jika
= ,
, =
,
dan
=
,
, membuktikan hukum persamaan distribusi
3 1
2 1
3 2
1
z z
z z
z z
z
Kita mendapatkan
,
= ,
{ ,
+ ,
} = ,
, +
, = {
+
−
, ,
, +
+ }
=
−
+
−
,
+ +
+ =
−
, +
+
−
, +
= ,
, +
, ,
=
,
+
,
1.7 Representasi secara Grafis Bilangan Komplek
