Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
39 disebut inver perkalian dari
1
z dan dilambangkan dengan
1 1
z
atau
1
1 z
Secara umum suatu himpuan sedemikian sehingga seperti pada S yang anggota-
anggotanya memenuhi sifat di atas disebut dengan field lapangan. Contoh
1. Gunakan defenisi dari sebuah bilangan kompleks sebagai pasangan orderdari
bilangan real dan defenisi pada halaman tiga untuk membuktikan bahwa a,b=a1,0,b0,1dimana 0,1,0,1=-1,0=a,c + c,b=a,b
Dari defenisi jumlah dan produk atau hasil di halaman 3, kita mendapatkan
, = , 0 + 0, =
1,0 + 1,0
dimana
0,1 0,1 = 0
∗ −
1
∗
1,0
∗
1 + 1
∗
0 =
−
1,0
Dari identifikasi
1,0
dengan 1 dan
0,1
dengan , kita melihat bahwa
, = +
2. Jika
= ,
, =
,
dan
=
,
, membuktikan hukum persamaan distribusi
3 1
2 1
3 2
1
z z
z z
z z
z
Kita mendapatkan
,
= ,
{ ,
+ ,
} = ,
, +
, = {
+
−
, ,
, +
+ }
=
−
+
−
,
+ +
+ =
−
, +
+
−
, +
= ,
, +
, ,
=
,
+
,
1.7 Representasi secara Grafis Bilangan Komplek
Jika skala-skala bilangan real dipilih pada dua sumbu yang saling tegak lurus, yaitu
XOX dan YOY selanjutnya disebut sumbu x dan sumbu
y
secara berturut- turut seperti pada gambar 1.2 dibawah ini.
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
40 Gambar 1.4
Selanjutnya kita dapat meletakkan sebarang titik pada bidang dengan cara menarik garis yang sejajar masing-masing dan kedua garus dapat b ertemu di satu titik, titik tersebut
dinamakan koordinat tegak lurus dan dinotasikan dengan
. ,
y x
Pada gambar di atas dipilih titik
. 5
, 3
P
Karena suatu bilangan komplek yi
x z
dapat dipandang sebagai pasangan berurutan bilangan real sehingga kita dapat merepresentasikan bilang komplek dengan
suatu titik pada bidang
xy
. Bidang
xy
sebagai representasi bilangan komplek dinamakan bidang komplek atau argand. Bilangan komplek yang ditunjukkan titik
5 ,
3 P
seperti pada gambar 1.2 dapat dipandang sebagai i
5 3
. Setiap bilangan komplek berkorepondesni satu dan hanya satu dengan setiap titik pada bidang,
sebaliknya setiap satu titik pada bidang berkorespondensi dengan satu dan hanya satu bilangan komplek. Karena hal ini sering dan biasa kita menyatakan bilang komplek
, z
sebagai titik .
z Kadang-kadang kita dapat menyatakan sumbu
x dan sumbu
y
sebagai sumbu real dan sumbu imajiner secara berturut-turut dan bidangnya dinamakan bidang
. z Jarak
antara dua titik i
y x
z
1 1
1
dan i
y x
z
2 2
2
pada bidang komplek diberikan oleh
2 2
1 2
2 1
2 1
y y
x x
z z
Contoh soal 1
Bentuklah operasi-operasi berikut secara analitik dan grafik.
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
41 a
5 4
3 2
i i
Secara analitis
Secara grafis
Gambar 1.5
b 31 + 2i – 22 – 3i
Secara analitis
i i
i i
i i
12 1
6 6
4 3
6 4
6 3
3 2
2 2
1 3
Secara grafis
gambar 1.6
c 7 + i – 4 – 2i
d 31 + i + 24 – 3i – 2 + 5i
e
4
−
3 + 5 + 2 X
Y
i 6
3
i 6
4
i
12 1
i 3
2
i 5
4
i 2
6
X Y
i i
i i
i i
2 6
5 3
4 2
5 4
3 2
5 4
3 2
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
42 Contoh 1.c,d dan e ditinggalkan penulis sebagai latihan bagi pembaca.
2.
Jika z
1
,z
2
dan z
3
merupakan vektor yang ditunjukan dalam gambar 1.7, buatlah grafik :
a. 2z
1
+ z
3
c. z
1
+ z
2
+ z
3
e.
3 1
2
3 2
4 3
3 1
z z
z
b. z
1
+ z
2
+ z
3
d. 3z
1
- 2z
2
+ 5z
3
Gambar 1.7
3. Jika z
1
= 4 – 3i dan z
2
= -1 + 2i, buatlah grafik dan analitik:
a.
2 1
z z
b.
2 1
z z
b.
2 1
z z
d.
2 3
2
2 1
z
z
4. Letak vektor dari titik
B A,
dan C dari segitiga ABC masing-masing diberi
1
z = 1 + 2i, z
2
= 4 - 2i dan z
3
= 1 – 6i. Buktikan bahwa ABC merupakan segitiga
samakaki dan hitunglah panjang sisinya.
5. Misalkan z
1
,z
4 3
2
, ,
z z
,letak vektor tegak lurus untuk segi empat ABCD . Buktikan
bahwa ABCD adalah sebuah jajaran genjang jika dan hanya jika
.`
4 3
2 1
z z
z z
6. Jika diagonal sebuah segi empat saling membagi dua,buktikan bahwa segi empat
merupakan sebuah jajaran genjang.
X Y
1
z
2
z
3
z
Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-
43 7.
Buktikan bahwa median dari sebuah segitiga dihubungkan dalam satu titik.
8. Misalkan segi empat
ABCD dan H
G F
E ,
, ,
titik tengah dari sisinya. Buktikan bahwa
EFGH adalah sebuah jajaran genjang. 9.
Dalam jajar genjang ABCD , titik
E
membagi dua sisi
AD
. Buktikan bahwa dimana titik
BE
dihubungkan dengan titik AC membagi AC .
10. Letak vektor dari titik
B A,
berturut-turut adalah 2 + i dan 3 – 2i. a. carilah sebuah persamaan garis
AB
. b. carilah sebuah persamaan garis yang tegak lurus ke
AB
pada titik tengahnya.
11. Gambar dan grafik bentuk manakah yang ditunjukan di bawah ini:
a.
, 2
i
z
b.
, 6
2 2
i x
i z
c.
, 4
3 3
z z
d. ,
3 2
z z
e.
. 4
Im
2
z
12. Carilah sebuah persamaan a. sebuah lingkaran jari-jarinya 2 dengan titik pusat -
3,4 , b. panjang lingkaran dengan titik pusat pada 0,2 dan 0,-2 yang mana sumbu utama mempunyai panjang 10.
1.8 Bentuk Polar Bilangan Komplek
