BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 1 Proses stokastik
Proses stokastik X = {Xt, t T
∈ } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh
Ω ke suatu ruang state S. Ross 2007
Dengan demikian,
Xt merupakan suatu peubah acak untuk setiap t pada himpunan indeks T, dengan t menyatakan waktu dan Xt kita sebut sebagai
keadaan state dari proses pada waktu t. Dalam hal ini ruang state S dapat berupa himpunan bilangan bulat atau himpunan bagiannya atau dapat juga berupa
himpunan bilangan real atau himpunan bagiannya.
Definisi 2 Proses stokastik dengan waktu kontinu
Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval.
Ross 2007
Definisi 3 Inkremen bebas
Suatu proses stokastik {Xt, t T ∈ } dengan waktu kontinu disebut memiliki
inkremen bebas jika untuk semua ,
...
2 1
n
t t
t t
peubah acak
1
t X
- t
X ,
2
t X
-
1
t X
, … ,
n
t X
-
1 −
n
t X
adalah bebas. Ross 2007
Dengan kata lain, suatu proses stokastik X dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang
tidak tumpang tindih tidak overlap adalah bebas.
Definisi 4 Inkremen stasioner
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X t, t T
∈ } disebut memiliki inkremen stasioner jika Xt + s - Xt dengan s
∈ T, memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t.
Ross 2007 Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut
memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak
bergantung pada lokasi titik- titik tersebut. Proses Poisson merupakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan
waktu kontinu. Untuk proses Poisson, kecuali dinyatakan secara khusus, kita anggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan nyata tak negatif, yaitu
[0, ∞.
Definisi 5 Proses pencacahan
Suatu proses stokastik {Nt, t ≥ 0} disebut proses pencacahan jika Nt
menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Proses pencacahan Nt harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut.
a. Nt ≥ 0 untuk semua t [0, ∞.
b. Nilai Nt adalah integer bilangan bulat.
c. Jika s t maka Ns ≤ Nt, s, t ∈ [0, ∞.
d. Untuk s t maka Nt - Ns, sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi
pada interval s, t]. Ross 2007
Definisi 6 Proses Poisson
Suatu proses pencacahan {Nt, t ≥ 0} disebut proses Poisson dengan laju λ, λ 0,
jika dipenuhi tiga syarat berikut. a.
N0 = 0. b.
Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
c. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t,
memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan λt. Jadi untuk semua t, s 0,
P
λ
, , , ….
Dari syarat c bisa kita ketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner. Dari syarat ini juga kita peroleh bahwa
ENt = λt
yang juga menjelaskan kenapa λ disebut laju dari proses tersebut.
Ross 2007
Definisi 7 Proses Poisson homogen
Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju λ yang merupakan
konstanta untuk semua waktu t. Ross 2007
Definisi 8 Proses Poisson tak homogen
Proses Poisson tak homogen adalah suatu proses Poisson dengan laju λ pada
sembarang waktu t yang merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu λt.
Ross 2007
Definisi 9 Fungsi intensitas
Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {Nt, t 0}, yaitu λt disebut fungsi
intensitas proses Poisson pada t. Ross 2007
Definisi 10 Intensitas lokal
Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas λ pada titik s Ρ adalah λs, yaitu nilai fungsi λ di s.
Cressie 1993
Definisi 11 Fungsi intensitas global
Misalkan N[0, n] adalah proses Poisson pada interval [0, n]. Fungsi intensitas global dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai
→ ∞
E ,
jika limit di atas ada. Cressie 1993
Definisi 12 Fungsi periodik
Suatu fungsi λ disebut periodik jika
λs + l = λs untuk semua s
Ρ dan l Ζ, dengan Ζ adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi
λ tersebut. Browder 1996
Definisi 13 Proses Poisson periodik
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.
Mangku 2001
Definisi 14 Proses Poisson periodik ganda
Proses Poisson periodik ganda adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik dengan periode ganda.
Helmers et al. 2007
2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik
Kategori