BAB V PENDUGAAN TIPE KERNEL BAGI FUNGSI INTENSITAS
PROSES POISSON PERIODIK DENGAN PERIODE GANDA
5.1 Perumusan
,
dan Kekonsistenannya
Dengan 1, 44 dan 57 kita dapat mendefinisikan penduga dari λ pada
titik ,
sebagai berikut: λ
, ,
λ
, ,
Ι τ ≤ τ .
Teorema 7 Kekonsistenan
,
Misalkan fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika ↓ dan
∞ maka
,
, 6 untuk
∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi λ. Dengan kata lain adalah penduga konsisten bagi
.
Bukti:
Untuk membuktikan Teorema 7, cukup dibuktikan untuk setiap , , … ,
, , ,
, ,
,
, , , ,
, dan
, ,
λ ,
untuk ∞.
Berdasarkan Teorema 1 pada bab III tentang kekonsistenan
, ,
maka kita telah mendapatkan 99. Sedangkan 98 telah dibuktikan pada 59 bab IV. Jadi
untuk membuktikan Teorema 7 hanya tinggal membuktikan persamaan 97. Untuk membuktikan persamaan 97, maka ruas kiri 97 dapat ditulis menjadi
, , ,
, , ,
, ,
. Dengan 98 dan 99, maka kita mendapatkan bahwa
, ,
Ο untuk
∞. Kemudian dengan 45, maka ruas kanan 100 dapat ditulis menjadi Ο
, untuk
∞. Sehingga 97 terbukti. Akibatnya kita peroleh 96. Dengan demikian Teorema 7 terbukti.
5.2 Sifat-sifat Statistika Teorema 8 Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan penduga
Misalkan fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K
adalah simetrik dan memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3, ↓ dan
∞ serta
λ memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s, maka
untuk ,
: E
,
λ λ
Ι
τ ≤ τ
, untuk
∞.
Untuk membuktikan Teorema 8 diperlukan Lema berikut:
Lema 6
Misalkan fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Maka untuk
setiap , , … ,
E
,
Ο untuk
∞.
Bukti:
Bukti dari Lema 6 ini dapat dilihat pada jurnal Helmers et al 2007 halaman 490.
Bukti Teorema 8:
Untuk membuktikan persamaan 102, pertama untuk setiap , , , … , maka
ruas kanan 102 dapat ditulis menjadi E
,
E
,
λ
, ,
Ι τ ≤ τ
E
,
λ
, ,
Ι τ ≤ τ
E
,
λ
, ,
λ
, ,
λ
, ,
Ι τ ≤ τ
E
,
λ
, ,
λ
, ,
Ι
τ ≤ τ
E λ
, ,
Ι τ ≤ τ ,
4 Berdasarkan Teorema 6, untuk setiap
, , , … , maka suku kedua ruas kanan 104 dapat ditulis menjadi
λ λ
Ι τ ≤ τ
λ λ
Ι τ ≤ τ
,
untuk ∞. Selanjutnya cukup ditunjukkan bahwa suku pertama ruas kanan
104 adalah sama dengan . Sehingga suku pertama ruas kanan 104 dapat
ditulis menjadi E
,
λ
, ,
Ι τ ≤ τ .
6
Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schawrz, kita dapatkan E
,
λ
, ,
E
,
E λ
, ,
. Berdasarkan Teorema 6 dan Teorema 7 maka diperoleh
E λ
, ,
λ
, ,
E λ
, ,
λ
λ λ
Ο Ο
Ο ,
untuk ∞. Sehingga didapat
E
, ,
Ο .
Dengan menggunakan Lema 6 dan 108, maka ruas kanan 107 dapat ditulis menjadi
Ο Ο
Ο √
Ο √
, untuk
∞. Dengan asumsi
∞, maka persaman di atas adalah berorde untuk
∞. Sehingga kita peroleh bahwa 114 adalah E
,
λ
, ,
Ι τ ≤ τ
, untuk
∞. Dengan mensubstitusikan 105 dan 109 pada 104 maka diperoleh persamaan
102. Dengan demikian Teorema 8 terbukti.
BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN
6.1 Kesimpulan