Perumusan Sifat-sifat Statistika Teorema 8 Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan penduga

BAB V PENDUGAAN TIPE KERNEL BAGI FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN PERIODE GANDA

5.1 Perumusan

, dan Kekonsistenannya Dengan 1, 44 dan 57 kita dapat mendefinisikan penduga dari λ pada titik , sebagai berikut: λ , , λ , , Ι τ ≤ τ . Teorema 7 Kekonsistenan , Misalkan fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika ↓ dan ∞ maka , , 6 untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi λ. Dengan kata lain adalah penduga konsisten bagi . Bukti: Untuk membuktikan Teorema 7, cukup dibuktikan untuk setiap , , … , , , , , , , , , , , , dan , , λ , untuk ∞. Berdasarkan Teorema 1 pada bab III tentang kekonsistenan , , maka kita telah mendapatkan 99. Sedangkan 98 telah dibuktikan pada 59 bab IV. Jadi untuk membuktikan Teorema 7 hanya tinggal membuktikan persamaan 97. Untuk membuktikan persamaan 97, maka ruas kiri 97 dapat ditulis menjadi , , , , , , , , . Dengan 98 dan 99, maka kita mendapatkan bahwa , , Ο untuk ∞. Kemudian dengan 45, maka ruas kanan 100 dapat ditulis menjadi Ο , untuk ∞. Sehingga 97 terbukti. Akibatnya kita peroleh 96. Dengan demikian Teorema 7 terbukti.

5.2 Sifat-sifat Statistika Teorema 8 Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan penduga

Misalkan fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3, ↓ dan ∞ serta λ memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s, maka untuk , : E , λ λ Ι τ ≤ τ , untuk ∞. Untuk membuktikan Teorema 8 diperlukan Lema berikut: Lema 6 Misalkan fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Maka untuk setiap , , … , E , Ο untuk ∞. Bukti: Bukti dari Lema 6 ini dapat dilihat pada jurnal Helmers et al 2007 halaman 490. Bukti Teorema 8: Untuk membuktikan persamaan 102, pertama untuk setiap , , , … , maka ruas kanan 102 dapat ditulis menjadi E , E , λ , , Ι τ ≤ τ E , λ , , Ι τ ≤ τ E , λ , , λ , , λ , , Ι τ ≤ τ E , λ , , λ , , Ι τ ≤ τ E λ , , Ι τ ≤ τ , 4 Berdasarkan Teorema 6, untuk setiap , , , … , maka suku kedua ruas kanan 104 dapat ditulis menjadi λ λ Ι τ ≤ τ λ λ Ι τ ≤ τ , untuk ∞. Selanjutnya cukup ditunjukkan bahwa suku pertama ruas kanan 104 adalah sama dengan . Sehingga suku pertama ruas kanan 104 dapat ditulis menjadi E , λ , , Ι τ ≤ τ . 6 Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schawrz, kita dapatkan E , λ , , E , E λ , , . Berdasarkan Teorema 6 dan Teorema 7 maka diperoleh E λ , , λ , , E λ , , λ λ λ Ο Ο Ο , untuk ∞. Sehingga didapat E , , Ο . Dengan menggunakan Lema 6 dan 108, maka ruas kanan 107 dapat ditulis menjadi Ο Ο Ο √ Ο √ , untuk ∞. Dengan asumsi ∞, maka persaman di atas adalah berorde untuk ∞. Sehingga kita peroleh bahwa 114 adalah E , λ , , Ι τ ≤ τ , untuk ∞. Dengan mensubstitusikan 105 dan 109 pada 104 maka diperoleh persamaan 102. Dengan demikian Teorema 8 terbukti. BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN

6.1 Kesimpulan