Sifat-sifat Statistika Pendugaan nonparametrik bagi fungsi intensitas proses poisson periodik dengan periode ganda:

Berdasarkan definisi dari MSE, Teorema di atas merupakan akibat dari Lema 1 tentang ketakbiasan asimtotik bagi λ , , dan Lema 2 tentang kekonvergenan ragam bagi λ , , . Karena Eλ , , → λ , yang berarti jika ∞ maka Eλ , , λ → 0 dan karena λ , , → , akibatnya dengan menggunakan definisi dari MSE maka diperoleh λ , , λ , , λ , , → , untuk ∞. Jadi Teorema 2 terbukti.

3.3 Sifat-sifat Statistika

λ , , Teorema 3 Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan penduga Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Misalkan pula ↓ dan → ∞ untuk ∞, serta λ memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3 dan simetrik, maka Eλ , , λ λ , 4 untuk ∞. Bukti: Berdasarkan bukti Lema 1 mengenai ketakbiasan asimtotik maka nilai harapan dari λ , , dapat ditulis Eλ , , τ τ E . Kita ingat kembali 12, yaitu Eλ , , τ y τ ∈ , . Dengan menggunakan persamaan 13 maka persamaan tersebut di atas dapat ditulis Eλ , , τ τ Ο1 Ο . Karena memiliki turunan kedua pada s maka kontinu pada s, mengakibatkan memiliki nilai yang terbatas disekitar s. Dengan formula Young kita peroleh , 6 λ λ λ , untuk ∞. Substitusikan 37 ke 35 sehingga diperoleh Ο λ λ λ . 38 Dengan mengganti variabel, maka 38 dapat ditulis λ λ λ Ο λ λ λ Ο , untuk → ∞. Karena K adalah simetrik dan memenuhi kondisi K.1 dan K.3 maka 39 dapat ditulis λ λ Ο λ λ Ο , untuk → ∞. Karena ∞, maka ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis menjadi λ λ , 4 untuk → ∞. Dengan demikian kita peroleh persamaan 34. Jadi Teorema 3 terbukti. Teorema 4 Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3 dan ↓ maka λ , , λ , 4 untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi λ . Bukti: Pada dasarnya pembuktian Teorema 4 ini sama dengan pembuktian Lema 2 mengenai kekonvergenan ragam. Pada pembuktian Lema 2 tersebut telah kita peroleh persamaan 26 yaitu λ , , λ untuk ∞, yang secara langsung telah membuktikan juga persamaan 41. Sehingga Teorema 4 terbukti. Corollary 1 Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3 dan simetrik, ↓ dan ∞ serta λ memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s, maka λ , , λ 4 λ 4 , 4 untuk ∞. Bukti: Berdasarkan definisi MSE maka λ , , λ , , λ , , , 4 dengan Bias λ , , Eλ , , λ . Dengan menggunakan Teorema 3 dan Teorema 4 maka diperoleh λ , , λ dan λ , , λ . Sehingga diperoleh λ , , λ λ λ 4 λ 4 , untuk ∞. Dengan demikian kita peroleh persamaan 42. Jadi Corollary 1 terbukti. BAB IV PENDUGAAN TIPE KERNEL BAGI λ PADA PROSES POISSON PERIODIK DENGAN PERIODE GANDA UNTUK KASUS TIDAK DIKETAHUI

4.1 Perumusan