Berdasarkan definisi dari MSE, Teorema di atas merupakan akibat dari Lema 1 tentang ketakbiasan asimtotik bagi
λ
, ,
dan Lema 2 tentang kekonvergenan ragam bagi
λ
, ,
. Karena
Eλ
, ,
→ λ , yang berarti jika
∞ maka Eλ
, ,
λ → 0 dan karena
λ
, ,
→ , akibatnya dengan menggunakan definisi dari MSE maka diperoleh
λ
, ,
λ
, ,
λ
, ,
→ , untuk
∞. Jadi Teorema 2 terbukti.
3.3 Sifat-sifat Statistika
λ
, ,
Teorema 3 Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan penduga
Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal.
Misalkan pula ↓ dan
→ ∞ untuk ∞, serta λ memiliki turunan
kedua yang bernilai berhingga di sekitar s. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3 dan simetrik, maka
Eλ
, ,
λ λ
, 4 untuk
∞.
Bukti:
Berdasarkan bukti Lema 1 mengenai ketakbiasan asimtotik maka nilai harapan dari
λ
, ,
dapat ditulis Eλ
, ,
τ τ
E .
Kita ingat kembali 12, yaitu
Eλ
, ,
τ y
τ ∈ , .
Dengan menggunakan persamaan 13 maka persamaan tersebut di atas dapat ditulis
Eλ
, ,
τ τ
Ο1
Ο .
Karena memiliki turunan kedua pada s maka
kontinu pada s, mengakibatkan memiliki nilai yang terbatas disekitar s. Dengan formula Young kita peroleh
, 6 λ
λ λ
, untuk
∞. Substitusikan 37 ke 35 sehingga diperoleh
Ο λ
λ λ
.
38 Dengan mengganti variabel, maka 38 dapat ditulis
λ λ
λ
Ο
λ λ
λ
Ο ,
untuk → ∞.
Karena K adalah simetrik dan memenuhi kondisi K.1 dan K.3 maka 39 dapat ditulis
λ
λ Ο
λ
λ Ο
, untuk
→ ∞. Karena ∞, maka ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis
menjadi
λ
λ , 4
untuk → ∞. Dengan demikian kita peroleh persamaan 34. Jadi Teorema 3
terbukti.
Teorema 4 Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga
Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika
kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3 dan ↓ maka
λ
, ,
λ , 4
untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi λ
.
Bukti:
Pada dasarnya pembuktian Teorema 4 ini sama dengan pembuktian Lema 2 mengenai kekonvergenan ragam. Pada pembuktian Lema 2 tersebut telah kita
peroleh persamaan 26 yaitu λ
, ,
λ
untuk ∞, yang secara langsung telah membuktikan juga persamaan 41.
Sehingga Teorema 4 terbukti.
Corollary 1 Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga
Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika
kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3 dan simetrik, ↓ dan
∞ serta λ memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s, maka
λ
, ,
λ
4 λ
4
, 4 untuk
∞.
Bukti:
Berdasarkan definisi MSE maka λ
, ,
λ
, ,
λ
, ,
, 4 dengan Bias
λ
, ,
Eλ
, ,
λ .
Dengan menggunakan Teorema 3 dan Teorema 4 maka diperoleh λ
, ,
λ
dan λ
, ,
λ .
Sehingga diperoleh λ
, ,
λ
λ
λ
4 λ
4
, untuk
∞. Dengan demikian kita peroleh persamaan 42. Jadi Corollary 1 terbukti.
BAB IV PENDUGAAN TIPE KERNEL BAGI
λ PADA PROSES POISSON PERIODIK DENGAN PERIODE GANDA UNTUK
KASUS TIDAK DIKETAHUI
4.1 Perumusan