Ide di balik penyusunan dari penduga tipe kernel λ
, ,
dari λ dapat
dijelaskan sebagai berikut: Dari 1 dan 2 untuk setiap titik s dan
maka λ
λ τ
λ τ
τ ≤ τ. 6 Nilai fungsi
λ τ di titik s dapat didekati dengan nilai rataan dari banyaknya
kejadian disekitar titik s, yaitu pada interval [
τ ,
τ ],
serta dengan menggunakan 4 dan 6 dapat ditulis λ
, ,
τ E [
τ ,
τ ]
. Dengan mengganti
E [ τ
, τ
] dengan padanan stokastiknya
[ τ
, τ
], persamaan 7 dapat ditulis: λ
, ,
τ [
τ ,
τ ]
τ I
,
[ τ
, τ
] dx τ
τ
dimana I
,
. Agar penduga lebih umum, maka digunakan fungsi kernel umum K yang memenuhi K.1, K.2 dan K.3. Akhirnya kita peroleh
persamaan 5.
3.2 Kekonsistenan
λ
, ,
Lema 1 Ketakbiasan asimtotik
Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika
kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3, ↓ dan → ∞ maka
E λ
, ,
λ ,
untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi λ
.
Bukti:
Untuk membuktikan persamaan 9 akan ditunjukkan bahwa lim
→ ∞
E λ
, ,
λ .
Dari persamaan 5 maka Eλ
, ,
E τ
τ
τ τ
E τ
τ λ
τ τ
λ x ∈ ,
. Dengan mengganti variabel, misalkan
τ , sehingga
persamaan 11 dapat ditulis menjadi τ
λ τ y
τ ∈ , τ
y τ ∈ ,
. Dengan melihat bahwa
y τ ∈ ,
τ Ο1, akibatnya diperoleh
Eλ
, ,
τ τ
Ο1 τ
τ Ο1
τ τ
Ο1 , 4
Karena kernel K memenuhi kondisi K.2 maka , adalah konstanta.
Sehingga suku pertama dari persamaan 14 dapat ditulis τ
τ Ο1
τ τ
Ο1
τ τ
Ο1 |
| .
Karena adalah titik Lebesque dari maka ruas kanan 15 adalah , jika
∞. Karena K juga memenuhi kondisi K.1 dan dengan mengganti variabel yaitu
misal: ,
maka suku kedua ruas kanan 4 dapat ditulis τ
τ Ο1
λ Ο
λ . 6
Dari 15 dan 16 maka 14 dapat ditulis λ
λ .
untuk ∞.
Sehingga kita peroleh persamaan 9. Dengan demikian Lema 1 terbukti.
Lema 2 Kekonvergenan ragam
Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika
kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3, ↓ dan → ∞ untuk
∞, maka λ
, ,
→ , untuk
∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi λ .
Bukti:
λ
, ,
τ τ
.
Untuk n yang cukup besar, karena ↓ untuk
∞, maka interval [ τ
, τ
] dan [ τ
, τ
], untuk ≠ tidak saling tumpang tindih tidak overlap. Sehingga untuk semua ≠ ,
τ dan
τ
adalah bebas. Jadi varian bagi λ
, ,
dapat ditentukan sebagai berikut λ
, ,
τ τ
. 20
Karena N adalah proses Poisson, maka VarN = EN sehingga ruas kanan persamaan 20 dapat ditulis
τ τ
E τ
τ λ
Dengan mengganti variabel, misalkan τ ,
maka 21 dapat ditulis
τ τ ∈ ,
.
τ
τ ∈ , τ
τ ∈ , .
Dengan 13, maka 22 dapat dituliskan menjadi τ
τ Ο1
τ τ
Ο1 .
Karena adalah titik Lebesque dari dan kernel K terbatas maka ,
untuk ∞, sehingga suku pertama ruas kanan 23 adalah
τ τ Ο1
1 , 4
untuk ∞.
Selanjutnya kita perhatikan suku kedua 23. Dengan mengganti variabel dan karena fungsi kernel K memenuhi K.3 maka suku kedua 23 dapat
dituliskan menjadi τ
τ Ο1
τ Ο
τ λ
Ο
τ λ Ο
, untuk
∞. Dengan mensubtitusikan 24 dan 25 ke 23, maka diperoleh
λ
, ,
1 τ λ
Ο τ λ
1 , 6
untuk ∞. Sehingga untuk membuktikan 18 cukup ditunjukkan
τ λ 1
, untuk
∞. Karena
τ adalah konstanta, ∑ untuk
, l = 1, 2, …, L, ↓ dipenuhi dan
→ ∞ untuk ∞, maka didapatkan 27. Dengan demikian
Lema 2 terbukti.
Teorema 1 Kekonsistenan
λ
, ,
Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika
kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3, ↓ dan → ∞ maka
λ
, ,
λ untuk
∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi λ . Dengan kata lain,
λ
, ,
adalah penduga konsisten dari λ
.
Bukti:
Untuk membuktikan 28, berdasarkan definisi maka akan diperlihatkan untuk setiap
ε berlaku
P λ
, ,
λ ε
→ 0, untuk
∞. Ruas kiri 29 dapat dinyatakan sebagai berikut:
P λ
, ,
λ ε
P λ
, ,
Eλ
, ,
Eλ
, ,
λ ε .
Dengan ketaksamaan segitiga maka, persamaan 30 menjadi
≤ P λ
, ,
Eλ
, ,
Eλ
, ,
λ
P λ
, ,
Eλ
, ,
Eλ
, ,
λ
.
Berdasarkan Lema 1 yaitu Eλ
, ,
→ λ , jika
∞ maka ada N sehingga
Eλ
, ,
λ ≤
ε untuk semua n
N. Dengan mensubstitusikan 32 ke ruas kanan 31 maka 31 menjadi
P Eλ
, ,
λ ε
. Kemudian dengan menggunakan ketaksamaan Chebysev Lema 11 dalam
Lampiran 1, maka P Eλ
, ,
λ ≤
ε ≤
4 λ
, ,
ε .
Berdasarkan Lema 2 yaitu λ
, ,
→ , untuk ∞ , maka
4 λ
, ,
ε → 0 .
Sehingga 29 terbukti benar. Dengan demikian Teorema 1 terbukti.
Teorema 2 Kekonvergenan MSE
Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika
kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3, ↓ dan → ∞ maka
λ
, ,
→ , untuk
∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi λ .
Bukti:
Berdasarkan definisi dari MSE, Teorema di atas merupakan akibat dari Lema 1 tentang ketakbiasan asimtotik bagi
λ
, ,
dan Lema 2 tentang kekonvergenan ragam bagi
λ
, ,
. Karena
Eλ
, ,
→ λ , yang berarti jika
∞ maka Eλ
, ,
λ → 0 dan karena
λ
, ,
→ , akibatnya dengan menggunakan definisi dari MSE maka diperoleh
λ
, ,
λ
, ,
λ
, ,
→ , untuk
∞. Jadi Teorema 2 terbukti.
3.3 Sifat-sifat Statistika