Kekonsistenan Pendugaan nonparametrik bagi fungsi intensitas proses poisson periodik dengan periode ganda:

Ide di balik penyusunan dari penduga tipe kernel λ , , dari λ dapat dijelaskan sebagai berikut: Dari 1 dan 2 untuk setiap titik s dan maka λ λ τ λ τ τ ≤ τ. 6 Nilai fungsi λ τ di titik s dapat didekati dengan nilai rataan dari banyaknya kejadian disekitar titik s, yaitu pada interval [ τ , τ ], serta dengan menggunakan 4 dan 6 dapat ditulis λ , , τ E [ τ , τ ] . Dengan mengganti E [ τ , τ ] dengan padanan stokastiknya [ τ , τ ], persamaan 7 dapat ditulis: λ , , τ [ τ , τ ] τ I , [ τ , τ ] dx τ τ dimana I , . Agar penduga lebih umum, maka digunakan fungsi kernel umum K yang memenuhi K.1, K.2 dan K.3. Akhirnya kita peroleh persamaan 5.

3.2 Kekonsistenan

λ , , Lema 1 Ketakbiasan asimtotik Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3, ↓ dan → ∞ maka E λ , , λ , untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi λ . Bukti: Untuk membuktikan persamaan 9 akan ditunjukkan bahwa lim → ∞ E λ , , λ . Dari persamaan 5 maka Eλ , , E τ τ τ τ E τ τ λ τ τ λ x ∈ , . Dengan mengganti variabel, misalkan τ , sehingga persamaan 11 dapat ditulis menjadi τ λ τ y τ ∈ , τ y τ ∈ , . Dengan melihat bahwa y τ ∈ , τ Ο1, akibatnya diperoleh Eλ , , τ τ Ο1 τ τ Ο1 τ τ Ο1 , 4 Karena kernel K memenuhi kondisi K.2 maka , adalah konstanta. Sehingga suku pertama dari persamaan 14 dapat ditulis τ τ Ο1 τ τ Ο1 τ τ Ο1 | | . Karena adalah titik Lebesque dari maka ruas kanan 15 adalah , jika ∞. Karena K juga memenuhi kondisi K.1 dan dengan mengganti variabel yaitu misal: , maka suku kedua ruas kanan 4 dapat ditulis τ τ Ο1 λ Ο λ . 6 Dari 15 dan 16 maka 14 dapat ditulis λ λ . untuk ∞. Sehingga kita peroleh persamaan 9. Dengan demikian Lema 1 terbukti. Lema 2 Kekonvergenan ragam Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3, ↓ dan → ∞ untuk ∞, maka λ , , → , untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi λ . Bukti: λ , , τ τ . Untuk n yang cukup besar, karena ↓ untuk ∞, maka interval [ τ , τ ] dan [ τ , τ ], untuk ≠ tidak saling tumpang tindih tidak overlap. Sehingga untuk semua ≠ , τ dan τ adalah bebas. Jadi varian bagi λ , , dapat ditentukan sebagai berikut λ , , τ τ . 20 Karena N adalah proses Poisson, maka VarN = EN sehingga ruas kanan persamaan 20 dapat ditulis τ τ E τ τ λ Dengan mengganti variabel, misalkan τ , maka 21 dapat ditulis τ τ ∈ , . τ τ ∈ , τ τ ∈ , . Dengan 13, maka 22 dapat dituliskan menjadi τ τ Ο1 τ τ Ο1 . Karena adalah titik Lebesque dari dan kernel K terbatas maka , untuk ∞, sehingga suku pertama ruas kanan 23 adalah τ τ Ο1 1 , 4 untuk ∞. Selanjutnya kita perhatikan suku kedua 23. Dengan mengganti variabel dan karena fungsi kernel K memenuhi K.3 maka suku kedua 23 dapat dituliskan menjadi τ τ Ο1 τ Ο τ λ Ο τ λ Ο , untuk ∞. Dengan mensubtitusikan 24 dan 25 ke 23, maka diperoleh λ , , 1 τ λ Ο τ λ 1 , 6 untuk ∞. Sehingga untuk membuktikan 18 cukup ditunjukkan τ λ 1 , untuk ∞. Karena τ adalah konstanta, ∑ untuk , l = 1, 2, …, L, ↓ dipenuhi dan → ∞ untuk ∞, maka didapatkan 27. Dengan demikian Lema 2 terbukti. Teorema 1 Kekonsistenan λ , , Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3, ↓ dan → ∞ maka λ , , λ untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi λ . Dengan kata lain, λ , , adalah penduga konsisten dari λ . Bukti: Untuk membuktikan 28, berdasarkan definisi maka akan diperlihatkan untuk setiap ε berlaku P λ , , λ ε → 0, untuk ∞. Ruas kiri 29 dapat dinyatakan sebagai berikut: P λ , , λ ε P λ , , Eλ , , Eλ , , λ ε . Dengan ketaksamaan segitiga maka, persamaan 30 menjadi ≤ P λ , , Eλ , , Eλ , , λ P λ , , Eλ , , Eλ , , λ . Berdasarkan Lema 1 yaitu Eλ , , → λ , jika ∞ maka ada N sehingga Eλ , , λ ≤ ε untuk semua n N. Dengan mensubstitusikan 32 ke ruas kanan 31 maka 31 menjadi P Eλ , , λ ε . Kemudian dengan menggunakan ketaksamaan Chebysev Lema 11 dalam Lampiran 1, maka P Eλ , , λ ≤ ε ≤ 4 λ , , ε . Berdasarkan Lema 2 yaitu λ , , → , untuk ∞ , maka 4 λ , , ε → 0 . Sehingga 29 terbukti benar. Dengan demikian Teorema 1 terbukti. Teorema 2 Kekonvergenan MSE Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3, ↓ dan → ∞ maka λ , , → , untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi λ . Bukti: Berdasarkan definisi dari MSE, Teorema di atas merupakan akibat dari Lema 1 tentang ketakbiasan asimtotik bagi λ , , dan Lema 2 tentang kekonvergenan ragam bagi λ , , . Karena Eλ , , → λ , yang berarti jika ∞ maka Eλ , , λ → 0 dan karena λ , , → , akibatnya dengan menggunakan definisi dari MSE maka diperoleh λ , , λ , , λ , , → , untuk ∞. Jadi Teorema 2 terbukti.

3.3 Sifat-sifat Statistika