BAB III PENDUGAAN TIPE KERNEL BAGI
PADA PROSES POISSON PERIODIK DENGAN PERIODE GANDA UNTUK
KASUS DIKETAHUI
3.1 Perumusan Penduga
Misalkan N
adalah proses Poisson yang diamati pada interval ,
dengan fungsi intensitas λ yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan
terintegralkan lokal dan periodik dengan periode T 0 sehingga berlaku λ
λ untuk setiap
dan dengan adalah himpunan bilangan bulat. Misalkan pula untuk setiap
, kita dapat menulis
λ sebagai:
λs = λ
; jika 0 ≤ τ λ
; jika τ ≤ τ ≈
λ ; jika
τ ≤ Τ λ
Ι τ ≤ τ
dengan Ι
τ ≤ τ ; jika
τ ≤ τ ; selainnya
dan T = L τ, λ
adalah fungsi periodik dengan periode τ 0 dan 0, l = 2,
3, … , L adalah kontanta positif yang tidak diketahui; L diasumsikan diketahui. Tanpa mengurangi keumuman, dapat diasumsikan
= 1. Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut:
λ λ
Ι τ ≤ τ
λ Ι
τ ≤ τ , dengan
= 1. Oleh karena itu diasumsikan = 1. Dalam bahasan ini tidak
diasumsikan suatu bentuk parametrik dari λ
kecuali bahwa λ
adalah periodik dengan periode
τ yaitu persamaan:
λ τ
λ ,
berlaku untuk setiap , ∞ . dan .
Misalkan untuk suatu ω ∈ Ω, kita hanya memiliki sebuah realisasi Nω
dari proses Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang Ω, Φ, P dengan
fungsi intensitas λ seperti 1 yang diamati pada interval terbatas [0, n] ⊂ [0, ∞.
Kita mengasumsikan
bahwa s adalah titik Lebesque dari
λ, sehingga berlaku:
lim |λ
λ |dx .
Syarat cukup agar s merupakan titik Lebesque dari λ adalah fungsi λ kontinu di s.
Karena λ
adalah fungsi periodik dengan periode T = L τ diketahui maka untuk
menduga λ
pada dapat direduksi menjadi masalah menduga λ pada
, .
Pada bahasan ini dapat dilihat dua kasus, yaitu pertama kita asumsikan diketahui dan kedua tidak diasumsikan diketahui. Kita mulai pada Bab III ini
dengan kasus pertama, yaitu diasumsikan diketahui. Misalkan
, ∞ merupakan fungsi bernilai real, yang disebut
kernel , yang memenuhi sifat-sifat berikut:
K.1 K merupakan fungsi kepekatan peluang K.2 K terbatas
K.3 K memiliki daerah definisi pada [-1, 1] Lihat Helmers et al. 2003, 2005.
Misalkan juga merupakan barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0,
yaitu: ↓ 4
untuk ∞.
Dengan notasi di atas, dapat didefinisikan penduga λ pada titik ,
sebagai berikut: λ
, ,
τ τ
, dengan kontanta diketahui untuk setiap i = 1, 2, …, L, dan
.
Ide di balik penyusunan dari penduga tipe kernel λ
, ,
dari λ dapat
dijelaskan sebagai berikut: Dari 1 dan 2 untuk setiap titik s dan
maka λ
λ τ
λ τ
τ ≤ τ. 6 Nilai fungsi
λ τ di titik s dapat didekati dengan nilai rataan dari banyaknya
kejadian disekitar titik s, yaitu pada interval [
τ ,
τ ],
serta dengan menggunakan 4 dan 6 dapat ditulis λ
, ,
τ E [
τ ,
τ ]
. Dengan mengganti
E [ τ
, τ
] dengan padanan stokastiknya
[ τ
, τ
], persamaan 7 dapat ditulis: λ
, ,
τ [
τ ,
τ ]
τ I
,
[ τ
, τ
] dx τ
τ
dimana I
,
. Agar penduga lebih umum, maka digunakan fungsi kernel umum K yang memenuhi K.1, K.2 dan K.3. Akhirnya kita peroleh
persamaan 5.
3.2 Kekonsistenan
