Perumusan Sifat-sifat Statistika Pendugaan nonparametrik bagi fungsi intensitas proses poisson periodik dengan periode ganda:

, , 6 untuk ∞. Selanjutnya substitusikan 56 untuk pada penyebut ruas kanan 46 dan untuk , , … , pada pembilang ruas kanan 46 dan sehingga ruas kiri 45 dapat ditulis menjadi , , , . Sehingga 43 terbukti. Dengan demikian Lema 3 terbukti.

4.2 Perumusan

, , dan Kekonsistenannya Pada kasus kedua formulasi penduga , , tidak berbeda jauh dengan formulasi penduga pada kasus pertama, hanya mengganti pada kasus pertama dengan , . Sehingga penduga , , pada kasus kedua ini dapat diformulasikan sebagai berikut: λ , , τ , τ , dengan , i = 1, 2, …, L, K adalah suatu kernel, dan adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol, yaitu ↓ untuk n → ∞ serta , adalah penduga bagi . Ide di balik penyusunan penduga tipe kernel λ , , bagi λ sama dengan penyusunan penduga , , bagi λ pada kasus pertama. Teorema 5 Kekonsistenan , , Misalkan fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3, ↓ dan → ∞ maka , , , untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi . Dengan kata lain , , adalah penduga konsisten bagi . Bukti: Dengan menggunakan hasil pada Teorema 1 pada bab III bahwa λ , , λ , maka untuk membuktikan Teorema 5, cukup dibuktikan , , , , , untuk ∞. Dengan 5 dan 57, maka ruas kiri 59 dapat ditulis menjadi , , , , τ , τ τ τ τ , τ 60 Berdasarkan 60 maka untuk membuktikan 59 cukup periksa untuk setiap , , … , , , , 6 untuk ∞. Dengan 45 bahwa untuk setiap dan untuk setiap , , … , kita mempunyai untuk ∞, sehingga ruas kiri 61 dapat ditulis menjadi , , 6 untuk ∞. Sehingga 61 terbukti. Dengan demikian ruas kanan 60 dapat ditulis menjadi τ , τ τ τ , 6 untuk ∞. Sehingga 59 terbukti. Akibatnya kita peroleh 58. Dengan demikian Teorema 5 terbukti.

4.3 Sifat-sifat Statistika

, , Teorema 6 Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan penduga Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Misalkan pula ↓ dan ∞ serta λ memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3 dan simetrik, maka untuk , : E , , λ λ , 64 untuk ∞. Untuk membuktikan Teorema 6 diperlukan dua Lema berikut: Lema 4 Misalkan fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Maka untuk setiap , , … , E , Ο 6 dan E , Ο 66 untuk ∞. Bukti: Bukti dari Lema 4 ini dapat dilihat pada jurnal Helmers et al 2007 halaman 490. Lema 5 Misalkan fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3, ↓ dan → ∞ maka E τ τ Ο , 6 dan E τ τ Ο , 6 untuk ∞. Bukti: Untuk membuktikan 67, maka misalkan τ τ , 6 dengan kontanta diketahui untuk setiap i = 1, 2, …, L. Sehingga ruas kiri 67 dapat ditulis menjadi E E . Oleh karena itu untuk membuktikan 67, maka cukup dibuktikan bahwa ruas kiri 70 adalah sama dengan Ο untuk ∞. Pertama menentukan suku kedua ruas kanan 70 E E τ τ E τ τ . Dengan melihat bahwa E τ τ E λ , , . Berdasarkan Teorema 3 pada bab III telah diperoleh bahwa Eλ , , λ λ , untuk ∞. Sehingga ruas kanan 71 dapat ditulis menjadi λ λ . Dengan 73, maka suku kedua ruas kanan 70 sama dengan E λ λ Ο , 4 untuk ∞. Selanjutnya menentukan suku pertama ruas kanan 70 τ τ τ τ . Dengan melihat bahwa τ τ λ , , . Berdasarkan Teorema 4 pada bab III telah diperoleh bahwa λ , , λ , 6 untuk ∞. Sehingga ruas kanan 75 dapat ditulis menjadi λ . Dengan 77, maka suku pertama ruas kanan 70 sama dengan λ Ο , untuk ∞. Kemudian substitusikan 74 dan 78 pada 70, maka diperoleh E Ο Ο Ο , untuk ∞. Hal ini mengakibatkan 67 terbukti. Untuk membuktikan persamaan 68, maka lihat pada jurnal Helmers et al 2007 halaman 490. Dengan demikian Lema 5 terbukti. Bukti Teorema 6: Untuk membuktikan persamaan 64, maka ruas kiri 64 dapat ditulis menjadi Eλ , , Eλ , , E λ , , λ , , . Berdasarkan Teorema 3 pada bab III maka suku pertama ruas kanan 80 telah kita dapatkan bahwa Eλ , , λ λ . Oleh karena itu untuk membuktikan 64 cukup ditunjukkan bahwa suku kedua ruas kanan 80 adalah sama dengan . Sehingga suku kedua ruas kanan 80 dapat ditulis menjadi E λ , , λ , , E τ , ∞ ∞ τ τ τ E τ , τ . Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita dapatkan ruas kanan 81 tidak akan melebihi E τ , τ E , E τ τ . Berdasarkan Lema 4 dan Lema 5, maka ruas kanan pertidaksamaan 82 dapat ditulis menjadi Ο Ο Ο √ Ο √ , dengan asumsi ∞, maka persamaan di atas adalah berorde untuk ∞. Dengan demikian suku kedua 80 adalah sama dengan . Hal ini mengakibatkan 64 terbukti. Dengan demikian Teorema 6 terbukti. Teorema 7 Pendekatan asimtotik bagi ragam Misalkan fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3, ↓ dan ∞ maka , , λ , untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi . Bukti: λ , , λ , , λ , , λ , , λ , , λ , , λ , , λ , , , λ , , λ , , . 4 Suku pertama ruas kanan 84 yaitu λ , , telah kita peroleh pada kasus pertama yaitu λ , , λ , untuk ∞. Oleh karena itu untuk membuktikan 83 cukup ditunjukkan bahwa suku kedua dan ketiga dari 84 adalah sama dengan . Suku kedua 84 dapat ditentukan sebagi berikut λ , , λ , , E λ , , λ , , . 6 Dengan 5 dan 57, maka ruas kanan 86 dapat ditulis menjadi E λ , , λ , , E τ , τ τ τ E τ , τ . Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita dapatkan ruas kanan 87 tidak akan melebihi E τ , τ E , E τ τ . Berdasarkan Lema 4 dan Lema 5, maka ruas kanan pertidaksamaan 82 dapat ditulis menjadi Ο Ο Ο untuk ∞. Dengan demikian kita peroleh bahwa λ , , λ , , Ο , dengan asumsi ∞ untuk ∞, maka 90 dapat ditulis menjadi λ , , λ , , , untuk ∞. Dari persamaan 85, 91 dan dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, maka suku ketiga 84 tidak akan melebihi λ Ο , untuk ∞. Dengan mensubstitusikan 85, 91 dan 92 ke persamaan 84, kita peroleh λ , , λ λ , untuk ∞. Sehingga kita peroleh 83. Dengan demikian Teorema 7 terbukti. Corollary 2 Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga Misalkan fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3 dan simetrik, ↓ dan ∞ serta λ memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s, maka , , λ 4 λ 4 4 untuk ∞. Bukti: Pada dasarnya pembuktian Corollary 2 ini sama dengan pembuktian Corollary 1 pada bab III. Dengan mengganti λ , , dengan , , , maka diperoleh persamaan 94. Dengan demikian Corollary 2 terbukti. BAB V PENDUGAAN TIPE KERNEL BAGI FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN PERIODE GANDA

5.1 Perumusan