,
, 6 untuk
∞. Selanjutnya substitusikan 56 untuk pada penyebut ruas
kanan 46 dan untuk , , … , pada pembilang ruas kanan 46 dan
sehingga ruas kiri 45 dapat ditulis menjadi
, ,
,
. Sehingga 43 terbukti. Dengan demikian Lema 3 terbukti.
4.2 Perumusan
, ,
dan Kekonsistenannya
Pada kasus kedua formulasi penduga
, ,
tidak berbeda jauh dengan formulasi penduga pada kasus pertama, hanya mengganti pada kasus pertama
dengan
,
. Sehingga penduga
, ,
pada kasus kedua ini dapat diformulasikan sebagai berikut:
λ
, ,
τ
,
τ ,
dengan , i = 1, 2, …, L, K adalah suatu kernel, dan
adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol, yaitu
↓ untuk n → ∞ serta
,
adalah penduga bagi .
Ide di balik penyusunan penduga tipe kernel λ
, ,
bagi λ sama
dengan penyusunan penduga
, ,
bagi λ pada kasus pertama.
Teorema 5 Kekonsistenan
, ,
Misalkan fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K
memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3, ↓ dan → ∞ maka
, ,
, untuk
∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi . Dengan kata lain
, ,
adalah penduga konsisten bagi .
Bukti:
Dengan menggunakan hasil pada Teorema 1 pada bab III bahwa λ
, ,
λ , maka untuk membuktikan Teorema 5, cukup dibuktikan
, , , ,
, untuk
∞. Dengan 5 dan 57, maka ruas kiri 59 dapat ditulis menjadi
, , , ,
τ
,
τ
τ τ
τ
,
τ
60 Berdasarkan 60 maka untuk membuktikan 59 cukup periksa untuk setiap
, , … , ,
,
, 6 untuk
∞. Dengan 45 bahwa untuk setiap dan untuk setiap
, , … , kita mempunyai untuk
∞, sehingga ruas kiri 61 dapat ditulis menjadi
,
, 6
untuk ∞. Sehingga 61 terbukti. Dengan demikian ruas kanan 60 dapat
ditulis menjadi τ
,
τ
τ τ
, 6 untuk
∞. Sehingga 59 terbukti. Akibatnya kita peroleh 58. Dengan demikian Teorema 5 terbukti.
4.3 Sifat-sifat Statistika
, ,
Teorema 6 Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan penduga
Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal.
Misalkan pula ↓ dan
∞ serta λ memiliki turunan kedua yang
bernilai berhingga di sekitar s. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3 dan simetrik, maka untuk
, :
E
, ,
λ λ
, 64 untuk
∞.
Untuk membuktikan Teorema 6 diperlukan dua Lema berikut:
Lema 4
Misalkan fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Maka untuk
setiap , , … ,
E
,
Ο 6
dan E
,
Ο 66
untuk
∞.
Bukti:
Bukti dari Lema 4 ini dapat dilihat pada jurnal Helmers et al 2007 halaman 490.
Lema 5
Misalkan fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K
memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3, ↓ dan → ∞ maka
E τ
τ Ο
, 6 dan
E τ
τ Ο
, 6 untuk
∞.
Bukti:
Untuk membuktikan 67, maka misalkan τ
τ , 6
dengan kontanta diketahui untuk setiap i = 1, 2, …, L. Sehingga ruas kiri 67 dapat ditulis menjadi
E E
. Oleh karena itu untuk membuktikan 67, maka cukup dibuktikan bahwa ruas kiri
70 adalah sama dengan Ο
untuk ∞. Pertama menentukan suku kedua
ruas kanan 70
E E
τ τ
E τ
τ .
Dengan melihat bahwa E
τ τ
E λ
, ,
. Berdasarkan Teorema 3 pada bab III telah diperoleh bahwa
Eλ
, ,
λ λ
, untuk
∞. Sehingga ruas kanan 71 dapat ditulis menjadi λ
λ .
Dengan 73, maka suku kedua ruas kanan 70 sama dengan E
λ λ
Ο , 4
untuk ∞.
Selanjutnya menentukan suku pertama ruas kanan 70 τ
τ
τ τ
. Dengan melihat bahwa
τ τ
λ
, ,
.
Berdasarkan Teorema 4 pada bab III telah diperoleh bahwa λ
, ,
λ , 6
untuk ∞. Sehingga ruas kanan 75 dapat ditulis menjadi
λ .
Dengan 77, maka suku pertama ruas kanan 70 sama dengan λ
Ο ,
untuk ∞.
Kemudian substitusikan 74 dan 78 pada 70, maka diperoleh E
Ο Ο
Ο ,
untuk ∞. Hal ini mengakibatkan 67 terbukti.
Untuk membuktikan persamaan 68, maka lihat pada jurnal Helmers et al 2007 halaman 490. Dengan demikian Lema 5 terbukti.
Bukti Teorema 6:
Untuk membuktikan persamaan 64, maka ruas kiri 64 dapat ditulis menjadi Eλ
, ,
Eλ
, ,
E λ
, ,
λ
, ,
. Berdasarkan Teorema 3 pada bab III maka suku pertama ruas kanan 80 telah
kita dapatkan bahwa Eλ
, ,
λ λ
. Oleh karena itu untuk membuktikan 64 cukup ditunjukkan bahwa suku kedua
ruas kanan 80 adalah sama dengan . Sehingga suku kedua ruas kanan
80 dapat ditulis menjadi
E λ
, ,
λ
, ,
E
τ
, ∞
∞
τ
τ
τ
E τ
,
τ .
Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita dapatkan ruas kanan 81 tidak akan melebihi
E τ
,
τ
E
,
E τ
τ .
Berdasarkan Lema 4 dan Lema 5, maka ruas kanan pertidaksamaan 82 dapat ditulis menjadi
Ο Ο
Ο √
Ο √
, dengan asumsi
∞, maka persamaan di atas adalah berorde untuk
∞. Dengan demikian suku kedua 80 adalah sama dengan . Hal ini
mengakibatkan 64 terbukti. Dengan demikian Teorema 6 terbukti.
Teorema 7 Pendekatan asimtotik bagi ragam
Misalkan fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K
memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3, ↓ dan
∞ maka
, ,
λ ,
untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi
.
Bukti:
λ
, ,
λ
, ,
λ
, ,
λ
, ,
λ
, ,
λ
, ,
λ
, ,
λ
, ,
, λ
, ,
λ
, ,
. 4 Suku pertama ruas kanan 84 yaitu
λ
, ,
telah kita peroleh pada kasus pertama yaitu
λ
, ,
λ ,
untuk ∞.
Oleh karena itu untuk membuktikan 83 cukup ditunjukkan bahwa suku kedua dan ketiga dari 84 adalah sama dengan
. Suku kedua 84 dapat ditentukan sebagi berikut
λ
, ,
λ
, ,
E λ
, ,
λ
, ,
. 6 Dengan 5 dan 57, maka ruas kanan 86 dapat ditulis menjadi
E λ
, ,
λ
, ,
E τ
,
τ τ
τ
E τ
,
τ .
Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita dapatkan ruas kanan 87 tidak akan melebihi
E τ
,
τ
E
,
E τ
τ .
Berdasarkan Lema 4 dan Lema 5, maka ruas kanan pertidaksamaan 82 dapat ditulis menjadi
Ο Ο
Ο untuk
∞. Dengan demikian kita peroleh bahwa λ
, ,
λ
, ,
Ο ,
dengan asumsi ∞ untuk
∞, maka 90 dapat ditulis menjadi λ
, ,
λ
, ,
, untuk
∞. Dari persamaan 85, 91 dan dengan menggunakan ketaksamaan
Cauchy-Schwarz, maka suku ketiga 84 tidak akan melebihi λ
Ο ,
untuk ∞.
Dengan mensubstitusikan 85, 91 dan 92 ke persamaan 84, kita peroleh
λ
, ,
λ
λ ,
untuk ∞. Sehingga kita peroleh 83. Dengan demikian Teorema 7 terbukti.
Corollary 2 Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga
Misalkan fungsi intensitas λ seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K
memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3 dan simetrik, ↓ dan
∞ serta λ
memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s, maka
, ,
λ
4 λ
4
4 untuk
∞.
Bukti:
Pada dasarnya pembuktian Corollary 2 ini sama dengan pembuktian Corollary 1 pada bab III. Dengan mengganti
λ
, ,
dengan
, ,
, maka diperoleh persamaan 94. Dengan demikian Corollary 2 terbukti.
BAB V PENDUGAAN TIPE KERNEL BAGI FUNGSI INTENSITAS
PROSES POISSON PERIODIK DENGAN PERIODE GANDA
5.1 Perumusan