2.3 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik Ganda Tipe Kernel Seragam
Pendugaan fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan periode ganda dengan menggunakan metode tipe kernel seragam telah dikaji oleh Helmers et al.
2007. Dalam kajiannya beliau telah mengkontruksi dan menyelidiki penduga konsisten nonparametrik tipe kernel seragam bagi fungsi intensitas proses Poisson
periodik ganda dengan asumsi hanya sebuah realisasi proses Poisson yang diamati pada sebuah window terbatas. Membuktikan penduga adalah konsisten ketika
ukuran window diperluas sampai tak hingga. Kemudian menghitung bias asimtotik dan varian asimtotik penduga.
Untuk merumuskan
penduga λ, pertama mendefinisikan , l = 2, 3, …, L
dan pada titik s
∈ [0, τ secara berturut-turut sebagai berikut :
, ,
,
dan
,
τ ⏐
⏐
,
[ τ
, τ
] .
Dengan l = 1, 2, …, L,
,
, ; untuk
setiap i = 1, 2, …, L, dan
merupakan barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu :
↓ untuk n → ∞. Penduga λ pada titik s∈ [0, L
τ adalah
, ,
Ι τ ≤ τ .
Pembuktian bahwa penduga yang diperoleh adalah penduga yang konsisten dan menghitung bias asimtotik serta varian asimtotik penduga, hal ini
diperoleh melalui tiga teorema sebagai berikut :
Toerema 2.1 Kekonsistenan
Misalkan fungsi intensitas ∑
λ Ι
τ ≤ τ dan terintegralkan lokal. Jika
↓ dan | |→ ∞ maka
untuk n → ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi
λ. Dengan kata lain adalah penduga konsisten bagi
.
Teorema 2.2 Pendekatan asimtotik bagi nilai harapan
Misalkan fungsi intensitas ∑
λ Ι
τ ≤ τ dan terintegralkan lokal. Jika
memiliki turunan kedua terhingga di s,
↓ dan | |→ ∞ maka untuk s ∈ [0, Lτ,
E λ
6 Ι
τ ≤ τ untuk n
→ ∞.
Teorema 2.3 Pendekatan asimtotik bagi ragam
Misalkan fungsi intensitas ∑
λ Ι
τ ≤ τ dan terintegralkan lokal. Jika
↓ dan | |→ ∞ maka untuk s ∈ [0, Lτ, λ
| | Ι
τ ≤ τ | |
untuk n → ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi . Lihat Definisi 35 pada
Lampiran 1.
BAB III PENDUGAAN TIPE KERNEL BAGI
PADA PROSES POISSON PERIODIK DENGAN PERIODE GANDA UNTUK
KASUS DIKETAHUI
3.1 Perumusan Penduga
Kategori