Definisi 11 Fungsi intensitas global
Misalkan N[0, n] adalah proses Poisson pada interval [0, n]. Fungsi intensitas global dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai
→ ∞
E ,
jika limit di atas ada. Cressie 1993
Definisi 12 Fungsi periodik
Suatu fungsi λ disebut periodik jika
λs + l = λs untuk semua s
Ρ dan l Ζ, dengan Ζ adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi
λ tersebut. Browder 1996
Definisi 13 Proses Poisson periodik
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.
Mangku 2001
Definisi 14 Proses Poisson periodik ganda
Proses Poisson periodik ganda adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik dengan periode ganda.
Helmers et al. 2007
2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik
Fungsi intensitas dari proses Poisson merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dapat dibedakan menjadi dua, yaitu fungsi intensitas
lokal dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal menyatakan laju proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global menyatakan rata-rata
laju dari suatu proses Poisson pada suatu interval dengan panjang menuju tak hingga.
Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s ialah menaksir rata-rata terjadinya kejadian proses
Poisson tersebut dalam interval waktu di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan
, jika n → ∞ dan N[0,t] menyatakan banyaknya kejadian yang
terjadi pada [0,t], maka intensitas lokal di titik s dapat dihampiri oleh ,
. Sedangkan pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas global dari
suatu proses Poisson ialah menaksir rata-rata terjadinya kejadian proses Poisson tersebut pada interval waktu [0, n]. Secara matematis, intensitas global dapat
dihampiri dengan ,
. Pada proses Poisson periodik, ada beberapa metode nonparametrik untuk
menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang diberikan, diantaranya adalah penduga tipe kernel dan metode penduga titik terdekat nearest neighbor
estimation. Pendugaan fungsi intensitas ini dapat dibedakan berdasarkan diketahui
atau tidaknya periode dari proses tersebut. Untuk periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitas lebih sulit dibandingkan jika periodenya diketahui.
Meskipun demikian, sifat-sifat statistika untuk penduga tersebut dengan pendekatan tipe kernel telah dirumuskan pada Helmers et al. 2005. Selain itu,
pembuktian kekonsistenan penduga fungsi intensitas lokal menggunakan metode titik terdekat telah dikaji pada Mangku 1999. Pemodelan suatu fenomena
dengan proses Poisson periodik berkembang dengan menyertakan tren linear Helmers dan Mangku 2007 maupun menggunakan periodik ganda dalam fungsi
intensitasnya. Penduga nonparametrik pada fungsi intensitas Poisson periodik ganda dengan menggunakan tipe kernel seragam telah dikaji pada Helmers et al.
2007.
2.3 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik Ganda Tipe Kernel Seragam
