Persamaan Hamilton-Jacobi
8.3 Persamaan Hamilton-Jacobi
Dalam bagian ini diberikan suatu cara lain untuk menyelesaikan masalah kontrol optimal dengan menggunakan apa yang dinamakan Hamilton-Jacobi. Dinyatakan lagi masalah
kontrol optimal yaitu diberikan persamaan ( 8.12 ), dicari kontrol u(t), dimana t ∈ [t 0 ,t 1 ] memenuhi ( 8.12 ) dengan meminimumkan integral pada ( 8.13 ). Diformulasikan lagi per- samaan ( 8.13 ) sebagai berikut
J(x(t), u t , t) = h(x(t 1 ), t 1 )+ g(x(τ ), u(τ ), τ )dτ,
dimana t ≤ t def
1 ,u t = {u(τ)|t ≤ τ ≤ t 1 }. Persamaan ( 8.35 ) dapat ditulis t 1
J ∗ (x(t), t) = min
g(x(τ ), u(τ ), τ )dτ + h(x(t ), t ) (8.36)
atau
Z +△t
J ∗ (x(t), t) = min
(x(τ ), u(τ ), τ )dτ +
(x(τ ), u(τ ), τ )dτ + h(x(t 1 ), t 1 )
(x(τ ), u(τ ), τ )dτ + J ∗ (x(t + △t), t + △t)
192 Formulasi masalah kontrol optimal..
dimana J ∗ (x(t+ △t), t+△t) adalah J minimum pada interval t+△t ≤ τ ≤ t 1 . Dideretkan J ∗ (x(t + △t), t + △t) dengan deret Taylor disekitar (x(t), t), didapat
t +△t
J ∗ (x(t), t) = min
g (x(τ ), u(τ ), τ )dτ + J ∗ (x(t), t) +
(x(t), t)
△t
∂t
∗ (x(t), t) ′
△x + suku tingkat tinggi dalam △t dan △x . Untuk △t → 0 dan △x → 0 didapat
∂x
∂J ∗ (x(t), t)
t +△t
△x ∂t
0= △t 1 (x(t), t)
+ min
g (x(τ ), u(τ ), τ )dτ +
∂J ∗ (x(t), t)
∗ (x(t), t) ′
f (x(t), u(t), t) . ∂t
+ min g (x(t), u(t), t) +
∂x
Persamaan ( 8.36 ) memenuhi kondisi batas: J ∗ (x(t 1 ), t 1 ) = h(x(t 1 ), t 1 ). Bila didefinisikan Hamiltonian sebagai berikut
(x(t), t)
H x(t), u(t),
f (x(t), u(t), t) ∂x
J (x(t), t), t = g(x(t), u(t), t) +
∂x
didapat
∂J ∗ (x(t), t)
+ min
H(x(t), u(t),
J (x(t), t), t) . (8.37)
∂t
∂x
Bila u(t) dibatasi, maka kontrol optimal didapat dengan meminimumkan Hamiltonian H. Bila tidak, maka syarat perlu u adalah optimal haruslah memenuhi
H x(t), u(t),
J ∗ (x(t), t) =0
∂u
∂x
sedangkan syarat cukupnya adalah
H x(t), u(t),
J ∗ (x(t), t) > 0.
∂u 2
∂x
Kontrol optimal diberikan oleh
u ∗ =u ∗
x(t),
J ∗ (x(t), t), t .
∂x
Substitusikan u ∗ optimal tsb. kedalam persamaan ( 8.37 ) didapat persamaan
0= J ∗ (x(t), t) + H ∗ x(t),
J ∗ (x(t), t), t .
∂t
∂x
Persamaan Hamilton-Jacobi.. 193 Persamaan ( 8.38 ) dinamakan persamaan Hamilton-Jacobi.
Berikut ini diberikan ringkasan prosedur Hamilton-Jacobi untuk menyelesaikan masalah kontrol optimal.
Diberikan persamaan plant: ˙x(t) = f(x, u, t).
R t 1 Diberikan indeks perilaku: J = h(x(t 1 ), t 1 )+ g(x, u, t)dt.
Diberikan konstrain variabel kontrol: u ∈ U untuk semua t ∈ [t 0 ,t 1 ].
Langkah 1. Bentuk Hamiltonian
∂J ∗ (x, t)
(x, t) ′
H(x, u,
, t) = g(x, u, t) +
∂J ∗ Langkah 2. Minimumkan H(x, u, (x,t)
, t) terhadap semua vektor kontrol untuk mem- ∗ =u ∗
peroleh u ∂J (x, ∂x , t). Langkah 3. Dapatkan Hamiltonian:
, t) = H(x, u ∗ (x,
Langkah 4. Selesaikan persamaan Hamilton-Jacobi
dengan kondisi batas yang sesuai untuk memperoleh J ∗ (x, t). Langkah 5. Substitusikan hasil Langkah 4 kedalam ekspresi u ∗ untuk memperoleh kontrol
optimal.
Contoh 54 Diberikan ˙x(t) = u(t), x(0) = x 0 . Dapatkan kontrol u supaya
2 J= 2 x (t) + u (t)
1 tertentu
194 Formulasi masalah kontrol optimal..
minimum. Jawab :
Syarat batas diberikan oleh
J ∗ (x(t 1 ), t 1 ) = h (x(t 1 ), t 1 )=0
Sedangkan Hamiltonian adalah
2 ∂J 2 ∗ (x(t), t)
H x(t), u(t),
J ∗ (x(t), t) =x (t) + u (t) +
u(t).
∂x
∂x
Karena u(t) tak dibatasi maka
Jadi H mempuyai nilai minimum. Persamaan Hamilton-Jacobi diberikan oleh:
dengan kondisi batas J ∗ (x(t 1 ), t 1 ) = 0. Misalkan penyelesaian ( 9.17 ) adalah J ∗ (x(t), t) =
K(t)x 2 . Didapat ∂x = 2K(t)x dan ∂t =˙ K(t)x . Dari sini didapat persamaan ( 8.39 ) menjadi
2 ∂J ∗
∂J ∗
K(t)x (t) + x (t) −
4K (t)x (t) =0
2 K(t) 2 −K (t) + 1 x (t) = 0.
Dari persamaan yang paling akhir diatas, didapat persamaan differensial
K(t) 2 ˙ −K (t) + 1 = 0.
Karena J ∗ (x(t 1 ), t 1 ) = 0, maka K(t 1 ) = 0. Oleh karena itu penyelesaian persamaan differensial diatas adalah
K(t) = tanh(t 1 − t).
Sedangkan kontrol optimal u ∗ (t) diberikan oleh
1 ∂J ∗
(t) = −
= − tanh(t 1 − t)x(t).
2 ∂x
dn nilai J minimum diberikan oleh:
J 2 ∗ = tanh(t
1 − t)x (t).
Masalah optimal kontrol dengan syarat keadaan akhir bebas.. 195