Ruang-bagian "keadaan" ditinjau dari masukan dan kelu- aran

4.2.1 Ruang-bagian "keadaan" ditinjau dari masukan dan kelu- aran

Pada bagian ini dibahas 4 ruang-bagian keadaan berdasar pada pengamatan masukan dan keluaran. Pembagian ini diberikan lewat contoh yang juga akan memberikan gambaran bahwa tidak selalu benar fungsi transfer dari suatu sistem menentukan secara lengkap perilaku dari sistemnya. Kajian yang agak lebih lengkap berkaitan dengan ruang bagian takterkontrol dan takteramati dari suatu sistem akan diberikan pada bagian yang men- datang.

Contoh 30 Misalkan suatu sistem disajikan oleh sistem persamaan differensial berikut:

˙x 

1 (t) = 2x 1 (t) + 3x 2 (t) + 2x 3 (t) + x 4 (t) + u(t)

˙x 2 (t) =

−2x  1 (t) − 3x 2 (t) − 2u(t) (4.4)

˙x 3 (t) = −2x 1 (t) − 2x 2 (t) − 4x 3 (t) + 2u(t)

˙x 4 (t) = −2x 1 (t) − 2x 2 (t) − 2x 3 (t) − 5x 4 (t) − u(t)

dan persamaan pengamatan

(4.5) Persamaan ( 4.4 ) dan ( 4.5 ) disajikan dalam bentuk persamaan matriks ruang keadaan se-

y(t) = 7x 1 (t) + 6x 2 (t) + 4x 3 (t) + 2x 4 (t).

bagai berikut:

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t), dengan x(t) = x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) x 4 (t) dan

 A=   −2 −3

 ,B=  −2  ,C=7642  −2 −2 −4 0 

Fungsi transfer dari sistem ( 4.6 ) diberikan oleh

s 3 + 9s 2 + 26s + 24

H(s) = C(sI

− A) B=

. (4.7) + 35s + 50s + 24

s 4 + 10s 3 2

Bila pembilang dan penyebut dari fungsi transfer tsb difaktorkan, diperoleh:

(s + 2)(s + 3)(s + 4)

H(s) =

(s + 1)(s + 2)(s + 3)(s + 4)

(s + 1)

Dari persamaan ( 4.8 ) terlihat bahwa ada 3 pole yang dihapus oleh 3 zeros yaitu s = −1, s = −3 dan s = −4. Jika diperhatikan fungsi transfer yang diberikan oleh persamaan ( 4.8 ),

fungsi ini berkaitan dengan persamaan differensial tingkat satu. Hal ini tentunya berbeda

94 Sifat-sifat sistem..

dengan sistem aslinya yaitu sistem persamaan differensial tingkat empat sebagaimana yang

disajikan dalam persamaan ( 4.4 ).

Untuk memperjelas apa yang telah diperoleh, yaitu fungsi transfer dari sistem de- ngan realisasi berdimensi satu yang berbeda dengan sistem aslinya yaitu dimensi empat dilakukan transformasi variabel keadaan sebagai berikut:

Dengan transformasi T , matriks A menjadi matriks diagonal:

sedangkan masing-masing matriks B dan C berubah menjadi:

B=TB=   dan ¯ C = CT −1 =1100

Persamaan keadaannya menjadi:

˙¯x 3 = −3¯x 3 +u  

= ˙¯x 

4 −4¯x 4

dan keluaranya diberikan oleh persamaan:

(4.10) Dari persamaan ( 4.9 ) dan ( 4.10 ) dapat diterangkan sebagai berikut. Jelas bahwa masukan

y=¯ x 1 +¯ x 2 .

u hanya mempengaruhi variabel keadaan ¯ x 1 dan ¯x 3 , variabel ¯x 2 dan ¯x 4 tidak dipengaruhi oleh masukan u. Keluaran y hanya bergantung pada variabel keadaan ¯x 1 dan ¯x 2 , se- dangkan variabel keadaan ¯x 3 dan ¯x 4 tidak mempunyai kontribusi terhadap keluaran y. Jadi akibat transformasi kordinat, sistem mempunyai 4 sub-sistem yang berbeda. Dalam hal ini masing-masing sub-sistem hanya disajikan oleh persamaan tingkat satu. Keempat sub-sistem tsb. adalah:

Keterkontrolan dan keteramatan..

1. Variabel keadaan ¯x 1 : dipengaruhi oleh masukan u, tampak pada keluran y.

2. Variabel keadaan ¯x 2 : tidak dipengaruhi oleh masukan u, tampak pada masukan y.

3. Variabel keadaan ¯x 3 : dipengaruhi oleh masukan u, tidak tampak pada keluaran y.

4. Variabel keadaan ¯x 4 : tidak dipengaruhi oleh masukan u, tidak tampak pada keluaran y.

1 Hanya sub-sistem pertama yang berkaitan dengan fungsi transfer H(s) =

. Disini ter- s+1 lihat fungsi transfer ini tidak mendiskripsikan secara lengkap perilaku dari seluruh variabel

keadaan sistem. Subsistem pertama merupakan subsistem yang terkontrol dan teramati, subsistem kedua merupakan subsistem takterkontrol tapi teramati, subsistem ketiga meru- pakan subsistem yang terkontrol tapi takteramati sedangkan susbsistem keempat meru- pakan subsistem yang takterkontrol dan takteramatai. Jika suatu sistem memuat subsistem takterkontrol atau takteramati, maka dikatakan sistem takterkontrol atau takteramati.

Dari contoh yang dikaji ini bisa disimpulkan; suatu sistem dengan masukan dan ke- luaran tunggal yang fungsi transfernya ditentukan oleh subsistem terkontrol dan teramati dengan dimensi lebih kecil dari dimensi ruang-keadaannya, maka dapat dipastikan sistem ini memuat subsistem takterkontrol atau memuat subsistem takteramati.

Selanjutnya, pada bagian berikut ini diberikan beberapa contoh yang membahas dari mana munculnya sistem takterkontrol atau takteramati.