Pengakomodasian gangguan luar yang bekerja pada suatu sistem

9.9 Pengakomodasian gangguan luar yang bekerja pada suatu sistem

Diberikan suatu plan diberikan oleh

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x0

y(t) = Cx(t)

dan pengontrol berbentuk:

(9.180) yang meminimumkan perilaku indeks:

u(t) = Kx(t)

J=

[x ′ (t)Qx(t) + u ′ Ru(t)] dt

sistem loop-tutup diberikan oleh persamaan:

(9.182) Pada keadaan stedi bila ˙x(t) = 0 maka lim t →∞ x(t) = 0. Diasumsikan suatu gangguan

˙x(t) = [A + BK]x(t).

konstan terjadi pada sistem sehingga sistem ( 9.179 ) menjadi

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) + Υw(t),

y(t) = Cx(t)

Sistem loop-tutup dengan pengontrol ( 9.180 ) menjadi

(9.184) Pada keadaan stedi ˙x(t) = 0, kedaan stedi x s (t) mempunyai hubungan sebagai berikut:

˙x(t) = [A + BK]x(t) + Υw(t)

0 = [A + BK]x s (t) + Υw(t)

atau

(9.185) Dari persamaan ( 9.185 ) terlihat peranan gangguan w(t) pada keadaan stedi x s (t). Untuk

x s (t) =

−[A + BK] −1 Υw(t).

mengatasi gangguan tsb. ditambahkan u0 pada pengontrol u(t) sehingga diperoleh:

(9.186) dengan demikian sistem loop-tutup menjadi

u(t) = Kx(t) + u0

˙x(t) = [A + BK]x(t) + Υw(t) + Bu0.

242 Linier Quadratic Regulator (LQR).. Dalam kasus ini, u0 ditentukan sedemikian hingga

(9.187) maka dari itu kedaan x(t) akan tetap mencapai nol untuk t → ∞. Dari persamaan ( 9.187 )

Υw(t) + Bu0 = 0,

diperoleh

(9.188) Selanjutnya untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan gangguan, salah satu

u0 =

−[B ′ B] −1 B ′ Υw(t).

cara adalah menggunakan umpan balik integral. Ditinjau lagi sistem ( 9.179 ), dimana x(t), u(t) dan y(t) masing-masing berukuran n × 1, p × 1 dan q × 1. Keluaran y(t) tetap

diharapkan sedapat mungkin mendekati keluaran acuan y a = 0. Diasumsikan sistem ( 9.179 ) terkontrol. Untuk maksud diatas, suatu fariabel z(t) ditambahkan pada sistem yang diberikan oleh

Z t z(t) = y(τ )dτ

sehingga diperoleh

˙z(t) = y(t)

(9.189) Dengan penambahan fariabel baru diatas, didapat sistem berbentuk

= Cx(t), z(0) = 0.

u(t)

  ˙z(t)

C0 z(t)

     y(t) = C 0 z(t)

dengan fariabel baru keadaan adalah

x(t) = ˆ

z(t)

Timbul suatu pertanyaan apakah sistem baru ( 9.190 )terkontrol bila dan hanya bila sistem ( 9.179 ) terkontrol dan rank dari matriks

sama dengan n + q. Sistem ( 9.190 ) terkontrol bila dan hanya bila matriks

B ...A +q−1 B

0 CB CAB . . . CA n +q−2

Pengakomodasian gangguan luar.. 243 mempunyai rank sama dengan n + q. Diuraikan matriks U menjadi bentuk:

2 = B AB A n B...A +q−2 B

Bila rank B AB A n 2 B...A −1 B U ) = n. Jadi U

rank

= n + q.

Maka dari itu diperoleh

rank( ¯ U ) = rank

Didefinisikan u(t) = K ˆx(t) yang meminimumkan indeks perilaku

J=

[ˆ x ′ (t)Qˆ x(t) + u ′ (t)Ru(t)] dt,

pengontrol u(t) dapat ditulis sebagai

u(t) = K 1 x(t) + K 2 z(t) Z ∞

=K 1 x(t) + K 2 y(τ )dτ.

Diperoleh sistem loop-tutup yang diberikan oleh

1 BK ˙ˆx(t) = 2

x(t) + ˆ

w(t)

dengan keluaran

y(t) = C 0

Pada keadaan stedi ˙ˆx(t) = 0, hal ini berakibat ˙z(t) → 0 dan y(t) → 0.

Contoh 68 Diberikan suatu sistem 

 ˙x(t) =  0 −0.361 0.361  x(t) +  0  u(t) +  0  w(t)

10 0      y(t) = 1 0 0

244 Linier Quadratic Regulator (LQR).. dimana

1 (t) x(t) =  x 2 (t)  .

x 3 (t)

Bisa dicek bahwa (A, B) terkontrol. Akan didesain suatu kontroller untuk mengontrol

diviasi, dalam hal ini x 1 (t) → 0. Untuk hal ini didefinisikan:

Z z(t) = x 4 (t) = x 1 (τ )dτ.

Sehingga diperoleh

˙ˆx = ˆ Aˆ x(t) + ˆ Bu(t) + ˆ Υw(t),

dimana 

 x  1 (t) −0.05 0.1 0 0 0 −0.1  x 2 (t) 

 0  x ˆ (t) = 

−0.361 0.361 0  ,ˆ B =   dan ˆ Υ=   .

1 0 0 0 0 0 Bisa dicek ( ˆ

A, ˆ

B) terkontrol, selanjutnya dipilih indeks perilaku

J= 2 (t)Qˆ x(t) + ru (t)

dengan Q = ˜ C C ˜ ′ , dimana

A) teramati. Jadi sistem loop-tutup bisa didisain stabil. Se- −1 B ˆ lanjutnya dihitung matriks gain K, yaitu K = −r ′ P , dimana matriks P diperoleh dari

Lagi, bisa dicek bahwa ( ˜ C ′ ,ˆ

penyelesaian persamaan Riccati:

A ˆ ′ P+Pˆ A −Pˆ Br −1 B ˆ ′ P + Q = 0.

optimal u(t) diberikan oleh

u(t) = −0.5703x 1 (t) − 0.1501x 2 (t) − 0.0054x 3 (t) − 0.9998 x 1 (τ )dτ.