Bentuk kompanion terkontrol dan teramati

4.4 Bentuk kompanion terkontrol dan teramati

Pada bagian ini dibahas suatu bentuk yang dinamakan bentuk "kompanion". Bentuk kompanion ini bermanfaat terutama untuk masalah penempatan pole-pole yang sesuai di- inginkan sehingga sistem loop-tutup "terstabilkan". Masalah ini akan dibahas pada bagian berikutnya. Selain dari pada itu pada bagian ini juga akan dimanfaatkan sifat dualitas dari keterkontrolan dan keteramatan untuk memperoleh bentuk kompanion teramati lewat ben- tuk kompanion terkontrol.

Diberikan suatu sistem masukan-tunggal keluaran-tunggal:

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t)

dan ditentukan suatu transformasi:

x(t) = P x(t), P matriks konstan non ¯ − singulir

(4.35) sehingga dengan transformasi ini, sistem ( 4.34 ) ditransformasi menjadi:

˙¯x(t) = ¯ A¯ x(t) + ¯ Bu(t)

y(t) = C¯ ¯ x(t)

dimana

¯ A = P AP −1 ,¯ B = P B dan ¯ C = CP −1 .

Berikut ini diberikan suatu teorema yang berkenaan dengan bentuk "kompanion terkon-

trol", bila sistem ( 4.34 ) terkontrol.

110 Sifat-sifat sistem..

Teorema 16 Bila sistem ( 4.34 ) terkontrol, maka sistem tsb. bisa ditransformasi kebentuk:

dimana α 1 ,α 2 ,...,α n adalah koefisien-koefisien dari polinomial karakteristik matriks A. Bukti

B bebas linear. Dibentuk suatu basis sebagai berikut: q def

Sistem ( 4.34 ) terkontrol, maka vektor-vektor B, AB, . . . , A (n−1)

= Aq n −1 +α 2 q n =A B+α 1 AB + α 2 B (4.38)

2 −1 q n =A (n−1) B+α 1 A B+...+α n −1 B

Selanjutnya dari ( 4.38 ) diperoleh: Aq n

1 = (A +α 1 A (n−−1) +...+α n −1 A+α n I)B −α n B

= −α n B= −α n q n = (q 1 q 2 ...q n −1 q n ) 

  0  −α n

Aq 

2  =q 1 −α n −1 q n = (q 1 q 2 ...q n −1 q n )  ... 

−α n −1 ............................................................................

  0  Aq n =q n

−1  −α 1 q n 1 q 2 ...q n −1 q n )  ... 

= (q

Bentuk kompanion terkontrol dan teramati.. 111 atau:

1  q  2 ...q n −1 q n ) Aq 1 =

1  2 ...q n −1 q n ) Aq 2 =

−α n −1 ..................................................................

Aq n =  ... 

(q  1 q 2 ...q n q n ) −1

Dari hasil diatas diperoleh:

dimana Q = (q 1 q 2 ...q n −1 q n ). Sehingga bila dilakukan suatu transformasi seperti yang

diberikan pada ( 4.35 ), dimana P = Q −1 diperoleh:

˙¯x

= A¯ ¯ x(t) + ¯ Bu(t)

y(t) = C¯ ¯ x(t)

dimana ¯ A = P AP −1 dan ¯ B = P B dengan

A= ¯

−α n −α n −1 −α n −2 ... −α 2 −α 1

112 Sifat-sifat sistem..

β n −1 β n −2 ...β 2 β 1 (4.41) Bentuk ( 4.37 ) dinamakan bentuk kompanion terkontrol. Telah dijelaskan bahwa bentuk

¯ C = CQ =

kompanion terkontrol ini diperoleh dari transformasi ¯x = Q −1 x, dimana matriks Q dapat diperoleh dari persamaan ( 4.35 ). Matrik Q juga bisa didapat sebagai berikut. Misalkan

2 R = [B AB A n B...A −1 B]

dan

2 R=[¯ n B¯ A¯ B¯ A B...¯ ¯ A −1 B] ¯

atau

2 R=[¯ n ¯ B¯ A¯ B¯ A B...¯ ¯ A −1 B] ¯

2 = [I ¯ n A¯ A ...¯ A −1 ]¯ B

−1 2 −1 = [Q n QQ AQ Q A Q...Q A −1 Q](Q −1 B)

2 =Q n [I A A ...A −1 ]Q(Q −1 B) =Q 2 −1

[I A A n ...A −1 ]B

2 =Q n −1 [B AB A B...A −1 B] =Q −1 R

R ⇒Q=R¯ −1 .

Dengan ¯ A dan ¯ B masing-masing diberikan oleh persamaan ( 4.39 ) dan ( 4.40 ), maka dapat ditunjukkan bahwa matriks ¯ R −1 diberikan oleh

Selanjutnya diberikan suatu teorema yang merupakan "dual" dari teorema ( 16 ) yaitu bentuk kompanion teramati.

Teorema 17 Bila sistem masukan-tunggal keluran tunggal

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t)

Bentuk kompanion terkontrol dan teramati.. 113 teramati, maka sistem ini dapat ditransformasi menjadi bentuk kompanion teramati yang

diberikan oleh: 

 β n −2     ˙¯x(t) = 

 x(t) + ¯ 

 u(t)

      y(t) = 0 0 0 . . . 0 1 x,

dimana α 1 ,α 2 ,...,α n adalah koefisien-koefisien dari polinomial karakteristik matriks A.

Bukti Karena sistem ( 4.43 ) teramati, maka berdasarkan Teorema 15 sistem dual

˙x(t) = A T x(t) + C u(t)

y(t) = B x(t)

terkontrol. Jadi dari hasil Teorema 16 , ada matriks P non-singulir sedemikian hingga

β n −1 β n −2 ...β 2 β 1 (4.47)

114 Sifat-sifat sistem..

atau didapat sistem yang diberikan oleh

 0  ˙¯z(t) =

Sistem ( 4.48 ) adalah terkontrol dualitas dari sistem ini adalah teramati yang dilakukan dengan mentranspose tiga persamaan matriks ( 4.45 ), ( 4.46 ) dan ( 4.47 ), diperoleh:

CP T =000...01

dimana Q = (P −1 T ) . Jadi dengan transformasi ¯x(t) = Qx(t) sistem teramati ( 4.43 ) menjadi:

˙¯x(t) = QAQ −1 ¯ x(t) + QBu(t)

y(t) = CQ −1

x(t) ¯

 β n −2   ˙¯x(t) =

 x(t) + ¯

 u(t)

        y(t) = 0 0 0 . . . 0 1 x,

Bentuk kompanion terkontrol dan teramati.. 115

Masing-masing sistem ( 4.43 ) dan ( 4.49 ) adalah teramati dan sistem ( 4.49 ) didapat dari sistem ( 4.43 ) dengan melakukan suatu transformasi ¯x(t) = Qx(t). Bila masing-masing matriks keteramatan dari kedua sistem ini diberikan oleh

 CQ −1 (QAQ −1 ) 

  CQ −1 (QAQ −1 )

W=WQ ¯ −1 ⇒Q=¯ W −1 W.

Dapat ditunjukkan bahwa matriks ¯ W −1 diberikan oleh matriks yang sama dalam per- samaan ( 4.42 ), yaitu

n −1

α n −2 ...α 1 1

 α n −2 α n −3 ... 1 0 

W ¯ −1 = 

116 Sifat-sifat sistem..