Uraian dalam dan uraian luar suatu sistem

3.1 Uraian dalam dan uraian luar suatu sistem

Suatu pertanyaan secara wajar muncul adalah bagaimana hubungan antara masukan dan keluaran dari suatu sistem, atau apakah suatu keluaran yang dihasilkan bergantung secara tunggal pada masukan yang dikenakan pada sistem tsb. Ada faktor lain di dalam sistem yang menentukan suatu keluaran sistem. Misalnya, pada sistem rangkaian listrik arus masih ditentukan oleh muatan yang sudah ada dalam rangkaian sebelum tegangan di- berikan. Sesuatu didalam sistem yang ikut mempengaruhi keluaran sistem dinamakan keadaan (state) dari sistem.

Uraian "dalam" suatu sistem adalah: suatu gambaran yang diberikan sistem dimana suatu keluaran sistem pada setiap saat hanya bergantung pada "keadaan" sistem, pada saat yang sama masukan mempengaruhi keluaran lewat perubahan "keadaan" sistem tsb.

Pada suatu sistem fisika, fariabel "keadaan" lewat suatu elemen yang menyimpan en- ergi. Sedangkan suatu sistem bila disajikan dalam suatu model matematika dalam hal ini persamaan differensial, pemilihan fariabel "keadaan" dapat ditentukan lewat keluaran

dari operator integrator yang dinotasikan dengan R . Pemilihan friabel keadaan ini akan memudahkan untuk meyelesaikan model matematika dari sistem yang disajika dalam ben-

tuk persamaan differensial biasa. Pemilihan fariabel "keadaan" suatu sistem tidak tunggal. Pemilihan fariabel keadaan

baik lewat elemem-elemen yang menyimpan energi ataupun lewat keluran dari suatu inte- grator tidak akan mengubah perilaku sistem bila ditinjau dari masukan dan keluran sistem,

34 Sistem differensial linier..

artinya bahwa perilakunya memberikan diskripsi yang tepat sama. Makna matematisnya, perilaku ini akan memberikan dua sistem yang ekivalen. Perbedaan pemilihan fariabel keadaan ini bisa diilustrasikan sebagai melihat suatu benda dari dua sudut pandang atau perspektif yang berbeda. Pandangan perspektif yang berbeda ini sangat mungkin muncul dengan latar belakang dari yang memandangnya berkaitan dengan apa yang dibutuhkan- nya. Penjelasan pemilihan faribel keadaan ini akan dibahas lagi pada contoh yang berikut- nya.

Suatu sistem waktu kontinu secara umum formulasi matematikanya diberikan oleh ben- tuk persamaan :

  dx(t)  = f (x(t), u(t), t) ,

dt  dengan keadaan awal x(t 0 )=x  0 y(t) = g (x(t), u(t), t) ,

dimana • x(t) menyatakan keadaan sistem saat waktu t,

• u(t) menyataka masukan dari sistem saat waktu t, • y(t) menyatakan keluaran sistem saat waktu t.

Untuk sistem fisika, elemen-elemen yang menyimpan energi diberikan dalam tabel berikut:

Elemen

energi fariabel fisika

cv kapasitor 2

2 voltage v

Li induktor 2

2 arus i

2 kecepatan translasi v Jω momen inersia 2

mv massa m 2

2 kecepatan rotasi ω

kx pegas k 2

2 posisi x

VP L kompressibiliti fluida 2

2K B tekanan P L

ρAh kapasitor fluida 2

tinggi h

kapasitas thermal

cθ 2

2 temperatur θ

Contoh berikut menjelaskan lagi bagaimana memilih fariabel keadaan dari sudut pan- dang elemen yang menyimpan energi dan dari sudut pandang keluaran suatu integrator dari suatu sistem yang sama.

Contoh 4 Suatu rangkaian seri RLC yang diberikan dalam Gambar 3.1 voltage e(t) sama dengan jumlah dari penurunan voltage (voltage drop) bila swicth ditutup diberikan oleh persamaan berikut:

V L +V R +V C = e(t)

Uraian dalam dan uraian luar suatu sistem..

i(t)

e(t)

i(t) C

Gambar 3.1: Rangkaian seri RLC.

atau L di dt + Ri(t) + 1 C R i(t)dt = e(t). Rangkain memuat dua elemen yang menyimpan energi, yaitu induktor L dan kapasitor C. Misalkan x 1 (t) = V C dan x 2 (t) = i(t), didapat

˙x 1 (t) =

x 2 (t)

1 ˙x 2 (t) = − x 1 (t) − x 2 (t) + e(t)

atau dalam bentuk matriks

1 (t)

C 1 (t)

+ 1 e(t).

˙x 2 (t)

x 2 (t)

Bila masukan dari sistem u(t) = e(t) dan keluaran dari sistem y(t) = V C (t), didapat uraian sistem dalam fariabel keadaan sebagai berikut:

 y(t) = 10 .

i(t)dt.

Untuk y(t) = V C (t) dan e(t) = u(t) persamaan ( 3.1 ) dapat ditulis dalam bentuk:

LC ¨ y(t) + RC ˙y(t) + y(t) = u(t)

atau

RC

y(t) + ¨

˙y(t) +

y(t) =

u(t).

LC

LC

LC

36 Sistem differensial linier..

˙y

Gambar 3.2: Keluaran dari integrator.

Hasil-hasil yang didapat disini bisa dibandingkan dengan kajian pada contoh rangkain- elektrik yang telah diberikan sebelumnya. Dalam persamaan ( 3.3 ) ada dua keluaran inte- grator yaitu ˙y(t) dan y(t).

Dapat dipilih fariabel keadaan x 1 (t) = y(t) dan x 2 (t) = ˙y(t). Sehingga didapat:

˙x 1 (t) = x 2 (t) ˙x R

2 (t) =

LC x 1 (t) − L x 2 (t) + 1 LC u(t).

Untuk masukan u(t) dan keluaran y(t), didapat: 

(t)

0 1 (t)

+ 1 u(t)

 y(t) = (1 0)

Gambar 3.3: Diagram blok RLC.

Terlihat bahwa walaupun pengambilan fariabel keadaan dari dua sudut pandang yang berbeda tetapi hasil diskripsi sistemnya dalam penyajian ruang keadaan hampir mirip, hal

ini bisa dilihat dalam persamaan ( 3.2 ) dan ( 3.4 ). Diagram blok dari rangkaian listrik ini diberikan dalam Gambar 3.3

Contoh 5 Diberikan sistem dua kereta glinding sebagaimana diberikan dalam bagian 2.4.11 . Dari dua persamaan

M 1 p(t) + b ¨ 1 ˙p(t) + k 1 p(t) = u(t) + k 1 q(t) + b 1 ˙q(t),

37 dan

Uraian dalam dan uraian luar suatu sistem..

M 2 q(t) + (k ¨ 1 +k 2 )q(t) + (b 1 +b 2 ) ˙q(t) = k 1 p(t) + b 1 ˙p(t) sebagai peubah keadaan sistem dipilih keluaran dari integrator, yaitu

x 1 (t) = p(t), x 2 (t) = ˙p(t) dan x 3 (t) = q(t), x 4 (t) = ˙q(t) didapat

u(t) M 1 M 1 M 1 M 1 M 1

Dengan demikian bentuk ruang keadaan sistem adalah

˙x(t) =   x(t) +   u(t).  0 0 0 1 

k 1 b 1 k 1 +k 2 b 1 +b 2

Diagram blok dari suatu sistem dilihat dari pengertian uraian "dalam" diberikan oleh Gambar 3.4 . Tampak bahwa dalam Gambar 3.4 , keluaran y(t) tidak hanya secara langsung dipengaruhi oleh masukan u(t), tetapi juga dipengaruhi oleh keadaan "dalam" sistem itu sendiri yaitu x(t), dimana keadan x(t) ini sendiri didalamnya sistem terhadap perubahan waktu t mengalami suatu perubahan dengan laju perubahan diberiakan oleh persamaan

dx ˙x(t) = f (x(t), u(t), t), dimana tanda ˙x = (t)

dt .

❄ x 0 u(t) ✲ ˙x(t) = f (x(t), u(t), t) y(t) ✲

y(t) = g(x(t), u(t), t)

Gambar 3.4: Uraian "dalam" suatu sistem.

Walaupun dalam sistem tidak ada masukan yaitu u(t) = 0, keadaan di dalam sistem ini mengalami perubahan keadaan yang diberikan oleh persamaan ˙x(t) = f(x(t), t). Sehingga walaupun tanpa masukan, keluaran sistem y(t) = g(x(t), t) tetap dipengaruhi oleh suatu keadaan di dalam sistem yaitu x(t). Tanpa menyelesaikan persamaan keadaan ˙x(t) =

38 Sistem differensial linier..

Gambar 3.5: Uraian "luar" suatu sistem.

f (x(t), t), tidak mungkin bisa didapat keluaran y(t) = g(x(t), t). Berbeda dengan uraian "dalam" dari suatu sistem, uraian "luar" suatu sistem menguraikan

hubungan langsung antara masukan dan keluaran tanpa apa yang ada di "dalam" sistem sebagaimana mana diberikan dalam Gambar 3.5 . Sehingga hubungan diantara masukan dan keluaran dari sistem bisa ditulis sebagai persamaan Y (.) = H(.)U(.). Terlihat bahwa keluaran U(.) langsung mempengaruhi keluaran Y (.) melalui "pengali" H(.). Uraian luar ini sangat erat kaitannya dengan apa yang dinamakan fungsi transfer sistem. Pengertian

fungsi transfer ini akan dibahas lebih rinci dalam Bab 6 .