Kestabilan Lyapunov

4.1.3 Kestabilan Lyapunov

Menentukan apakah semua penyelesaian dari suatu persamaan differensial (invarian atau tak-invarian waktu) tetap terbatas atau menuju nol bila t mendekati ∞ adalah suatu

89 masalah yang cukup sulit. Tetapi, hal ini tetaplah mungkin untuk menurunkan syarat

Kestabilan..

cukup yang berguna untuk menjamin bahwa semua penyelesaian yang dimaksud akan terbatas atau bahkan menuju nol. Untuk tujuan ini, diperkenalkan fungsi skalar dari x dan t dan dikaji evolusinya terhadap perubahan waktu. Ide asli dasarnya dalam mekanika klasik dimana kriteria kestabilan yang berkaitan dengan pengertian skalar dari energi sangat berguna. Suatu sistem mekanika yang didifinisikan stabil bila energinya tetap terbatas. Lyapunov mengembangkan ide ini, oleh karena itu teori yang muncul berkaitan dengan masalah tsb. menggunakan namanya.

Selanjutnya pembahasan difokuskan pada persamaan differensial invarian-waktu berben- tuk ˙x(t) = Ax(t). Fungsi skalar V (x(t)) secara langsung tak-bergantung dengan t dan difinisikan sebagai

V (s(t)) T =x (t)P x(t)

def

untuk matriks definit-positif P dapat dipandang sebagai energi tergeneralisir dari sis- tem. Perhatikan bahwa suatu matriks dikatakan definit-positip bila matriks ini simetri dan a T P a > 0 untuk semua vektor a dengan a 6= 0. Karena keinvarianan-waktu, maka

V (x(t)) secara langsung tidak bergantung pada waktu t. Bila sistem stabil asimtotik, maka energi harus menurun dengan bertambahnya waktu, oleh karena itu, derivatif

V (x(t)) = ˙x T (t)P x(t) + x (t)P ˙x(t) = x (t)[P A + A P ]x(t), dt

harus bernilai negatif. Jadi, bila Q T = −[P A + A P ] definit-positif, maka energi menurun dengan bertambahnya waktu. Bahkan akan ditunjukkan bahwa bila Q > 0, maka sistem

def

stabil asimtotik, yaitu lim

V (x(t)) = 0.

t →∞

Teorema 12 Semua nilai-karakteristik dari matriks A bagian realnya bernilai negatif bila dan hanya bila untuk setiap matriks definit-positif Q, ada suatu matriks definit-positif P yang memenuhi

A T P+PA= −Q

(4.3) Bukti Misalkan terdapat matriks P sedemikian hingga memenuhi ( 4.3 ), maka

V (x(t)) = x T (t)P x(t)

adalah tak-negatif dan merupakan fungsi turun asalkan

x(t) 6= 0 (sebab

V (x(t)) < 0).

dt

Jadi lim d V (x(t)) dijamin ada. Hal ini berakibat bahwa

V (x(t)) menuju ke nol bila t menuju ke takhingga. Maka dari itu limit berikut

t →∞

dt

lim T x (t)Qx(t) = 0,

t →∞

90 Sifat-sifat sistem..

selanjutnya dengan fakta bahwa Q > 0, maka haruslah lim t x(t) = 0. Dengan menggunakan

Teorema 11 hasil lim x(t) = 0 berakibat bahwa semua nilai karakteristik dari matriks A

t →∞

bagian realnya adalah negatif. Sebaliknya, bila semua nilai karakteristik dari A bagian realnya bernilai negatif; diberikan matriks definit-positif Q, dipilih matriks P dengan

P= At e Qe dt.

Nilai integral diatas ada, sebab matriks A stabil asimtotik yaitu Reλ i < 0 untuk semua R ∞ A T t At

nilai karakteristik λ i dari matriks A. Selajutnya dengan mensubtitusikan P = e Qe dt diperoleh: 0

At

A At P+PA= A e Qe dt + e Qe Adt

Latihan 22 Sistem dengan input dan output tunggal mempunyai model keadaan:

Apakah sistem tsb. stabil jika a). a = c = 0, b 6= 0. b). a < 0, c = 0.

Latihan 23 Diberikan persamaan keadaan berbentuk

˙x(t) = Ax(t)

dan x(t) =

x 2 (t)

91 Bila energi dari sistem diberikan oleh

Selidiki apakah energi ini menurun dengan bertambahnya waktu. Dari hasil ini selidiki apakah keadaan setimbang x(t) = 0 merupakan keadaan stabil. Selanjutnya tuliskan V (x)

dalam bentuk V (x) = x T P x serta dt =x ( −Q)x dan tunjukkan bahwa A P+PA= −Q.

dV T