Umpan balik dan terstabilkan

5.1 Umpan balik dan terstabilkan

Melaui suatu kompensator pengaruh dinamik dari suatu sistem bisa dipengaruhi. Di- inginkan untuk menggunakan pengaruh ini untuk menstabilkan sistem disekitar titik kese- timbangan tak-stabil. Penstabilan merupakan pokok bahasan pada bagian ini, walaupun ada sifat-sifat sistem yang lain yang dapat dipengaruhi oleh suatu kompensator. Kondisi pada matriks A dan B akan diberikan sedemikian hingga matriks A + BF stabil asimtotik bila matriks F dipilih sesuai dengan apa yang diinginkan.

Definisi 7 Sistem ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) bisa distabilkan bila ada suatu matriks F ukuran m × n sedemikian hingga semua nilai-karakterisrik λ dari matriks A + BF , ℜ(λ) < 0.

Berikut ini diberikan suatu teorema yang memberikan syarat suatu sistem bisa distabilkan. Teorema 18 Sistem ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) terkontrol bila dan hanya bila untuk setiap

polinomial

p(λ) = λ n +p

1 λ (n−1) +p 2 λ (n−2) +...+p n ,

Umpan balik dan terstabilkan.. 119 dengan koefisien p i real, ada matriks F ukuran m × n sedemikian hingga det[λI − (A +

BF )] = p(λ)

Bukti Asumsikan bahwa untuk setiap sebarang p(λ) yang mempunyai bentuk seperti diberikan dalam teorema ada suatu matriks F sedemikian hingga det[λI − (A + BF )] = p(λ) dan andaikan sistem ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) tak-terkontrol. Maka ada basis di R n sedemikian hingga:

Bila dipartisi sebarang matriks umpan-balik F sebagai (F 1 F 2 ), maka

Gunakan bentuk persamaan berikut

untuk menentukan polinomial karakteristik dari matriks

(A + BF ),

yaitu: 1,1 +B 1 F 1 ) −(A 1,2 +B 1 F 2 )

det[λI − (A + BF )] = det 0 λI −A 2,2

= det(K) det(L) det(M ),

dengan matriks K, L dan M masing-masing adalah

1,1 +B 1 F 1 )] −1 [A 1,2 +B 1 F 2 ][λI

dan

M=

0 λI −A 2,2

120 Umpan balik keadaan dan keluaran..

Sehingga diperoleh det[λI − (A + BF )] = det[λI − (A 1,1 +B 1 F 1 )] det[λI −A 2,2 ] Terlihat bahwa apapun pilihan terhadap F , polinomial dari det[λI −A 2,2 ] tidak bisa dipilih

sebarang dan polinomial ini selalu merupakan suatu bagian dari polinomial karakteristik dari matriks (A + BF ). Akibatnya polinomial karakteristik dari matriks (A + BF ) tidak akan bisa dipilih sebarang. Hal ini kontradiksi dengan kenyataan asumsi. Jadi haruslah sistem ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) terkontrol.

Sebaliknya, asumsikan (A, B) terkontrol. Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap poli- nomial p(λ) = λ n +p

1 λ (n−1) +p 2 λ (n−2) +...+p n ada tunggal suatu matriks F sedemikian hingga det[λI −(A+BF )] = p(λ). Sistem (A, B) terkontrol, maka berdasarkan Teorema 16

A dan B mempunyai bentuk kompanion: 

Pilih F = (α n −p n α n −1 −p n −1 ...α 1 −p 1 ), maka

+   (α n −p n α n −1 −p n −1 ...α 1 −p 1 )

−p n −p n −1 −p n −2 ... −p 2 −p 1

Umpan balik dan terstabilkan.. 121 Dari hasil diatas diperoleh

det[λI n − (A + BF )] = λ +p

1 λ (n−1) +p 2 λ (n−2) +...+p n = p(λ).

Teorema 18 menyatakan bahwa bila (A, B) terkontrol, polinomial karakteristik dari (A + BF ) bisa dipilih sebarang untuk suatu pilihan F yang sesuai. Maka dari itu "zeros" dari polinomial karakteristik yang identik dengan nilai-karakteristik dari matriks A+BF dapat diletakkan pada setiap lokasi sesuai dengan yang dikehendaki. Suatu lokasi khusus adalah separoh bidang kompleks sebelah kiri sedemikian hingga ˙x(t) = (A + BF )x(t) stabil asim-

totik. Suatu kesimpulan dari Teorema 18 adalah bila ˙x(t) = Ax(t)+Bu(t) terkontrol maka terstabilkan (kebalikan pernyataan ini tidak benar). Teorema 18 adakalanya dinamakan "pole assignment".

Contoh 34 Diberikan sistem

1 (t)

1 (t)

u(t).

˙x 2 (t)

0 1 x 2 (t)

Sistem tak-terkontrol. Bilih dipilih

1 (t) u(t) = (0 − 2) x 2 (t)

diperoleh sistem loop-tutup

Terlihat bahwa sistem loop-tutup stabil asimtotik. Contoh ini menunjukkan bahwa walaupun sistem tak-terkontrol tapi sistem bisa distabilkan.

Contoh 35 Kembali pada Contoh 8 pendulum terbalik. Hasil pelinearan disekitar peye- lesaian sama denagn nol serta dengan memberikan nilai-nilai tertentu pada beberapa kon- stanta yang tidak diketahui, matriks A dan B masing-masing diberikan oleh

 dan B =  −2.4

Dapat dicek bahwa sistem terkontrol. Polinomial karakteristik dari A adalah λ 4 − 25λ 2 , dari polinomial ini terlihat bahwa salah satu nilai karakteristik dari A sama dengan 5, jadi

122 Umpan balik keadaan dan keluaran..

sistem tak-stabil. Misalkan diinginkan memilih umpan balik F supaya nilai-karakteristik dari A + BF adalah: −1, −2 dan −2 ± i, dalam hal ini polinomial p(λ) diberikan oleh:

(λ + 1)(λ + 2)(λ 2 + 4λ + 5) = λ 4 + 7λ 3 + 19λ 2 + 23λ + 10. Misalkan F = (f 1 f 2 f 3 f 4 ), maka diperoleh suatu persamaan yang diberikan oleh:

det[λI − (A + BF )] = p(λ). Tetapi

λ  −1 0 0  −25 + 2.4f 1 λ + 2.4f 2 2.4f 3 2.4f 4 

det[λI − (A + BF )] = det  

−1  0.6 −f 1 −f 2 −f 3 λ −f 4

=λ 4 + (2.4f

2 2 −f 4 )λ 3 +( −f 3 − 25 + 2.4f 1 )λ +(25f 4 − 1.44f 4 )λ + (25f 3 − 1.44f 3 ).

Dengan menyamakan koefisien-koefisien yang bersesuaian dari polinomial det[λI −(A+ BF )] dan p(λ) diperoleh:

Contoh 36 Diberikan sistem dalam bentuk kanonik terkontrol:

˙x(t) =  0 0 1  x(t) +  0  u(t).

1 Bila masukan dipilih sebagai u(t) = (f 1 f 2 f 3 )x(t). Untuk nilai f i , i = 1, 2, 3 yang mana

sistem loop-tutup stabil asimtotik? Dari hukum umpan balik yang diberikan menghasilkan:

˙x(t) =  0 0 1  x(t). 2+f 1 −3 + f 2 1+f 3

Polinomial karakteristik dari matriks sistem ini adalah:

λ 3 +( −1 − f 3 )λ 2 + (3 −f 2 )λ + ( −2 − f 1 ) = 0.

Umpan balik dan terstabilkan.. 123 Karena lokasi yang tepat dari "zeros" tidak penting, digunakan kriteria Routh-Hurwitz

untuk memperoleh kondisi-kondisi f i yang akan menjamin kestabilan asimtotik. Skemanya adalah:

1 3 −f 2 0 −1 − f 3 −2 − f 1 0

(−1−f 3 )(3−f 2 )−(−2−f 2 )

−1−f 3 0 0

−2 − f 1 0

Maka dari itu, kondisi syarat perlu dan cukup untuk stabil asimtotik adalah: −1 − f 3 > 0, −2 − f 1 > 0, ( −1 − f 3 )(3 −f 2 )>( −2 − f 1 ). Latihan 28 Berikan contoh sistem linear invarian-waktu yang tidak dapat dikontrol tapi

dapat distabilkan. Latihan 29 Tunjukkan bahwa sistem ivarian waktu

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)

dalam hal ini u(t) tidak harus suatu skalar adalah bisa distabilkan bila ruang bagian tak- stabilnya termuat didalam ruang bagian

Latihan 30 Tinjau realisasi takterkontrol:

 0 −2 0 0  +  1  u(t).  0 0 −1 0   1 

   ˙x(t) = 

Apakah realisasi ini dapat distabilkan? Apakah memungkinkan mendapatkan suatu vektor

F sedemikian hingga hukum umpan balik u(t) = F x(t) menyebabkan nilai karakteristik dari sistem umpan balik adalah: −2, −2, −1, −1 atau −2, −2, −2, −2, −1 atau −2, −2, −2, −2?

Latihan 31 Sistem linear terkontrol dan teramati diberikan oleh persamaan berikut:

˙x =

x+

u, y = (1 2)x.

Bila umpan balik keadaan u = (k 1 k 2 )x+r. Tentukan nilai k 1 dan k 2 supaya sistem umpan balik keadaan tetap terkontrol tetapi tak dapat diamati.

124 Umpan balik keadaan dan keluaran..