Pengamat dan prinsip pemisahan

5.2 Pengamat dan prinsip pemisahan

Banyak prosedur kontrol dari suatu sistem didasarkan pada asumsi bahwa semua komponen vektor-keadaan dapat diamati. Dalam prosedur yang demikian hukum kontrol mempunyai bentuk

u(t) = F x(t) atau (u(t) = F x(t) + Gv(y)).

Bagaimanapun dalam berbagai sistem perlengkapan pengukuran yang dibutuhkan untuk mengamati keseluruhan keadaan sangat mahal, terutama dalam sistem "fisika". Dalam sis- tem ekonomi prosedur pengukuran statistika yang dibutuhkan sangat mahal, adakalanya sangatlah tidak mungkin memperoleh pengukuran dari keseluruhan keadaan bila beber- apa fariabel internal tidak bisa dicapai. Misalnya suatu satelit, karena komplek masalah peralatannya, pengukuran akan sukar dilakukan, misalnya pengukuran temperatur yang akan digunakan dalam satelit tsb. Saat satelit dalam lintasan orbit, sangatlah terlalu jauh mengukur besaran-besaran tertentu dari bumi.

Dalam keseluruhan hal tsb., kontrol harus berdasar pada suatu informasi yang digu- nakan, yakni keluaran y(t) = Cx(t) (untuk penyederhanaan dimabil D = 0, dalam hal

D 6= 0 dapat ditangani dalam keadaan standart bila y(t) − Du(t) = Cx(t) diintepre- tasikan sebagai pengukuran baru). Diperlukan suatu sistem pembantu yang dinamakan pengamat (observer) yang mempunyai masukan u(t) dan keluaran y(t) dari sistem riil dan keluran ˆx(t) suatu pendekatan dari kedaan x(t) dari sistem riil. Suatu pengamat dari sistem ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) diasumsikan berbentuk:

˙z(t) = P z(t) + Qu(t) + Ky(t) ˆ x(t) = Sz(t) + T u(t) + Ry(t).

Vektor z(t) adalah keadaan dari pengamat. Sedangkan matriks-matriks

P, Q, K, S, T

dan R

adalah matriks-matriks yang dapat ditenttukan. Bisa dibayangkan sistem rill sebagai suatu satelit dalam orbit dimana tidak semua komponen dari x(t) dengan mudah dapat diukur, tidak banyak fariabel-fariabel keluaran yang bisa membantu, misalnya hanya posisi dan jarak yang bisa memberikan informasi. Sedangkan pengamat adalah suatu sistem dibumi, misalnya saja suatu program komputer yang berfungsi untuk memperoleh semua fariabel dengan mudah.

Diagram alir pengamat dan sistem riil dan hubungan diantara sistem-sistem tsb. dis-

ajikan dalam Gambar 5.1 . Terlihat bahwa pengamat dan sistem riil tampak dalam Gambar 5.1 .

Bila kesemuanya memungkinkan, pengamat seharusnya paling tidak memenuhi per- syaratan berikut:

1. Bila ˆx(t 0 ) = x(t 0 ) pada waktu tertentu t 0 , maka didapat ˆx(t) = x(t) untuk t ≥ t 0 . Sekali pengamat mempunyai estimasi yang bagi vektor keadaan riil, maka estimasi ini akan tetap benar untuk waktu mendatang.

Pengamat dan prinsip pemisahan.. 125

pengamat

u(t)

x(t) ˆ

✲ ˙z(t) = P z(t) + Qu(t) + Ky(t)

✲ x(t) = Sz(t) + T u(t) + Ry(t) ˆ

✲ ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t)

y(t)

sistem riil Gambar 5.1: Sistem pengamat.

2. Beda ˆx(t) − x(t) harus konvergen ke nol bila t → ∞ terlepas dari kondisi awal x(0), z(0) dan kontrol u(t).

Akan dikonstruksi suatu pengamat dimana S = I, T = R = 0, hal ini memberikan x(t) = z(t) dengan demikian keadaan pengamat merupakan pendekatan keadaan x(t). ˆ Selajutnya diperoleh:

˙x(t) − ˙ˆx(t) = Ax(t) + Bu(t) − P ˆx(t) − Qu(t) − Ky(t)

= Ax(t) + Bu(t) − P ˆx(t) − Qu(t) − KCx(t) = (A − KC)x(t) − P ˆx(t) + (B − Q)u(t)

Dari formulasi persyaratan pertama pengamat menghasilkan

B = Q, A − KC = P.

Oleh karena itu pengamat mempunyai bentuk:

˙ˆx(t) = Aˆx(t) + Bu(t) + K(y(t) − ˆy(t)), dengan ˆy(t) = Cˆx(t).

(5.4) Terlihat sangat banyak kemiripan dengan sistem asal. Sistem ( 5.4 ) merupakan duplikat

dari sistem riil terlepas dari suku tambahan K(y(t) − ˆy(t)) yang bisa ditafsirkan sebagai suku koreksi. Diagram alir dari kondisi ini diberikan dalam Gambar 5.2 .

Selanjutnya agar persyaratan kedua dipenuhi, dikaji bagaimana mengestimasi kesala- han e(t) = x(t) − ˆx(t) bila t → ∞,

˙e(t) = ˙x(t) − ˙ˆx(t) = Ax(t) + Bu(t) − Aˆx(t) − Bu(t) − K(Cx(t) − cˆx(t)) = (A − KC)(x(t) − ˆx(t)) = (A − KC)e(t).

126 Umpan balik keadaan dan keluaran..

✲ y=Cˆ ˆ x

x ˆ Gambar 5.2: Diagram alir sistem pengamat.

Karena e(t) harus konvergen ke nol, persyaratannya menjadi matriks (A − KC) harus stabil asimtotik. Dalam hal ini timbul pertanyaan sebagai berikut: Dapatkah suatu ma-

triks K diperoleh sedemikian hingga persyaratan tsb. memungkinkan? Teorema berikut menyatakan bahwa hal tsb. mungin bila (C, A) teramati.

Teorema 19 Untuk setiap polinomial

w(λ) = λ n +w

1 λ (n−1) +w 2 λ (n−2) +...+w n

dengan koefisien w i riil ada suatu matriks ukuran n × p sedemikian hingga det[λI − (A − KC)] = w(λ) bila dan hanya bila (C, A) teramati.

Bukti

(C, A) teramati bila dan hanya bila (A T ,C ) terkontrol. (A ,C ) terkontrol bila dan hanya

F )] = w(λ). Pilih K = T −F , maka

bila untuk setiap polinomial w(λ) ada matriks F sedemikian hingga det[λI−(A T +C

det[λI T − (A − KC)] = det[λI − (A −C K )] = w(λ)

Contoh 37 Contoh ini merupakan kelanjutan contoh sebelumnya dari pendulum terba- lik. Di asumsikan bahwa hanya pengukuran-pengukuran skalar dan posisi kereta dibuat sedemikian hingga A dan C adalah:

Matriks keteramatan adalah:

⇒ rank M

o = 4.

Pengamat dan prinsip pemisahan.. 127 Sehingga Teorema 19 bisa digunakan. Misalkan dikonstruksi suatu pengamat sedemikian

hingga pole dari (A − KC) pada titik-titik −1 (sebanyak dua kali) dan −1 ± i. Ini berarti bahwa K = (K − 1 k T

2 k 3 k 4 ) harus dikonstruksi sedemikian hingga:

det[λI 2 − (A − KC)] = (λ + 1) (λ + 1 − i)(λ + 1 + i)

dilain pihak

λ  −1 k

det[λI − (A − KC)] = det

+( −25 − 0.6k 1 )λ + ( −0.6k 2 − 25k 4 ) sehingga dengan menyamakan koefisien yamg bersesuaian persamaan diatas, diperoleh:

Dalam hal ini pengamat mempunyai bentuk:

˙ˆx(t) = 

 ˆ x(t) +  −2.4  u(t)  0 001 

+  6  (y(t)  4 

− (0 0 1 0)ˆx(t)) .

Penyelesaian pengamat ini, memenuhi:

lim x(t) = x(t). ˆ

t →∞

Latihan 32 Tinjau kedinamikan dari trayektori satelit. Bila hanya pengukuran satu skalar yang diijinkan yaitu y 1 (t) atau y 2 (t) yang mana harus diplih supaya keteramatan dipenuhi? Konstruksikan suatu pengamat untuk pengukuran yang dipilih sedemikian hingga pole-pole dari pesamaan kesalahan

˙e(t) = (A − KC)e(t)

semuanya sama dengan −1.

128 Umpan balik keadaan dan keluaran..

Teorema 19 memberikan suatu syarat perlu dan cukup sedemikian hingga pole dari ma- triks (A − KC) bisa dipilih sekehendak kita. Suatu kemungkinan pemilihan adalah men- empatkan semua pole diseparuh bidang sebelah kiri (pole-pole tidak harus pada tempat-

tempat khusus). Ini tentunya persyaratan yang lebih lunak yang mana keteramatan meru- pakan syarat cukup, tetapi bukan merupakan syarat perlu sebagaimana yang diberikan dalam uraian berikut. Tinjau pasangan matriks:

dapat dicek bahwa (C, A) tak-teramati. Pole dari A − KC dengan K = (k T

1 k 2 ) adalah "zeros" dari

det[λI − (A − KC)] = (λ − 1 + k 1 )(λ + 1).

Bila dipilih k 1 > 1, kedua "zeros" terletak diseparuh bidang kiri, sehingga bila dikonstruksi pengamat dimana letak pole sama dengan letak zeros tsb., maka untuk t → ∞ pengamat

ini akan konvergen ke vektor keadaan riil. Salah satu polenya adalah −1, merupakan pole yang sudah tetap tidak bisa diubah.

Suatu syarat perlu dan cukup sedemikian hingga semua pole dari (A − KC) harus terletak di separuh bidang kiri adalah bila A dan C diuraikan kedalam suatu basis tertentu sedemikan hingga masing-masing mempunyai bentuk:

dimana pasangan (C 1 ,A 2,2 ) teramati. Oleh karena itu sekarang haruslah kondisi matriks

A 1,1 stabil asimtotik. Sifat dari pasangan matriks (C, A) sedemikian hingga suatu K dapat dipilih dimana pole-pole dari matriks (A −KC) terletak di separuh bidang kiri dinamakan

dapat-dideteksi. Latihan 33 Tunjukkan bahwa sistem invarian-waktu

˙x(t) = Ax)t) + Bu(t), y(t) = Cx(t)

dapat-dideteksi bila dan hanya bila ker(M o ) termuat dalam ruang stabilnya. Latihan 34 Tunjukkan bahwa keterdetesian adalah suatu konsep dual, yaitu bila (A, B)

dapat distabilkan, maka (B T ,A ) dapat-dideteksi.

Pengamat dikenalkan sebab kekurangan informasi mengenai keseluruhan komponen vektor keadaan. Vektor keadaan ini digunakan dalam suatu loop umpan balik sebagaimana untuk memberi sifat-sifat yang diharapkan sistem. Selanjutnya dikombinasi konsep umpan balik

Pengamat dan prinsip pemisahan.. 129 dengan pengamat. Bila u(t) = F x(t) suatu hukum umpan balik yang membuat sistem

˙x(t) = (A + BF )x(t) stabil asimtotik, maka diinginkan hal serupa pada hukum umpan balik u(t) = F ˆx(t). Selanjutnya secara bersama-sama perilaku sistim asli dan pengamat:

˙x(t) = Ax(t) + BF ˆ x(t) ˙ˆx(t) = Aˆx(t) + BF ˆx(t) + K(Cx(t) − Cˆx(t)).

Dengan menggunakan e(t) = x(t) − ˆx(t) persamaan diatas menjadi

˙x(t) = (A + BF )x(t) − BF e(t)

˙e(t) = (A − KC)e(t).

atau ekivalen dengan:

−BF

˙e(t)

0 A − KC

e(t)

sistem asli

v(t) ✲ u(t)

x(t)

y(t)

✲ A ✲ C ✛ y(t) ˆ

kompensator Gambar 5.3: Diagram alir pemisahan sistem.

Nilai karakteristik dari sistem diatas sama dengan nilai karakteristik dari matriks A + BF bersama-sama dengan nilai karakteristik matriks A − KC. Jadi nilai karakteristik keseluruhan sistem sama dengan nilai karakteristik yang diperoleh melalui umpan balik u(t) = F x(t) dan malalui pengkonstruksian pengamat.

Umpan balik u(t) = F x(t) dan pengamat bisa didisain secara tak bergantungan satu dengan yang lainnya. Bila diletakkan bersama sistem asli dan pengamat dengan umpan

130 Umpan balik keadaan dan keluaran..

balik u(t) = F x(t), nilai karakteristik tidak saling mempengaruhi. Prinsip ini dinamakan prinsip pemisahan. Total sistem dari sistem asli, pengamat dan loop umpan balik diberikan

ringkasannya dalam diagram alir dalam Gambar 5.3 yang tersaji dalam halaman sebelum- nya. Dua sub-sistem yang dikelilingi oleh garis-putus masing-masing adalah sistem asli dan kompensator. Kompensator disini berbeda dengan kompensator statik yang telah dikenalkan, oleh karena itu kompensator ini disebut kompensator dinamik.

+ posisi kereta

gaya dorong

25 -2.4

Gambar 5.4: Gambungan umpan balik keadaan dan pengamat.

Contoh 38 Diberikan contoh kereta dengan pendulum terbalik (lihat Gambar 5.4 ). Pada dua contoh sebelumnya didisain hukum umpan balik keadaan dan pengamat. Kombinasi pendisainan sebagai berikut, nilai numerik f i dan k i dengan i = 1, 2, 3, 4 seperti yang telah diberikan dalam dua contoh terdahulu.

Sebegitu jauh belum dipertimbangkan masukan baru v(t), yang dberikan oleh u(t) =

F x(t) + v(t), F x(t) adalah komponen umpan balik, sedangkan v(t) adalah komponen baru loop-buka. Bila diubah keseluruhan disain dari sistem asli dan pengamat dalam diagram

yang lebih ramping sebagaimana diberikan oleh Gambar 5.5 .

Penolakan gangguan.. 131

sistem asli

Gambar 5.5: Peyederhanaan diagram.

Dalam Gambar 5.5 terlihat hubungan baru bc sebagai pengganti dari hubungan ab dalam diagram sebelumnya. Dalam diagram terlihat v(t) tidak masuk ke kompensator. Hal ini tidak akan mengubah sifat kestabilan dari keseluruhan sistem disebabkan v(t) hanya bergantung pada waktu t tidak tergantung pada keadaan. Diagram yang paling akhir

secara simbolik bisa digambar sebagai mana yang diberikan dalam Gambar 5.6 . Terlihat

✲ sistem

asli ✲

sistem dinamik dalam ✛

Fˆ x

loop-umpan balik

Gambar 5.6: Simbolik diagram.

dalam Gambar 5.6 kestabilan dari suatu pengamat bisa diinterpretasikan sebagai umpan balik keluaran, dalam hal ini diperoleh suatu sistem dinamik loop-umpan balik.