Kestabilan dari segi nilai karakteristik

4.1.1 Kestabilan dari segi nilai karakteristik

Definisi 2 Diberikan persamaan differensial tingkat satu ˙x(t) = f (x(t)) dengan x n ∈R ,

penyelesaan dengan keadaan awal x(0) = x 0 dinotasikan oleh x(t, x 0 ).

• Vektor ¯x yang memenuhi f(¯x) = 0 disebut suatu titik setimbang. • Suatu titik setimbang ¯x dikatakan stabil bila untuk setiap ǫ > 0 ada δ > 0 dan t δ

sedemikian hingga bila kx t δ − ¯xk < δ maka kx(t, x t δ ) − ¯xk < ǫ untuk semua t > t δ . • Suatu titik setimbang ¯x dikatakan stabil asimtotik bila ia stabil dan bila ada δ 1 >0

sedemikian hingga

lim t →∞ kx(t, x t δ ) − ¯xk = 0 bila kx t δ − ¯xk < δ 1 .

• Suatu titik setimbang dikatakan takstabil bila ia tidak stabil. Dalam definisi tsb. tanda k . k berarti norm, biasanya digunakan norm Euclidean. Secara

intuisi stabil berarti penyelesaian sangat dekat ketitik setimbang didalam suatu sekitar. Sedangkan stabil asimtotik berarti penyelesaian konvergen ke titik setimbang (asalkan titik awal adalah cukup dekat ke titik setimbang). Takstabil artinya selalu ada penyelesaian yang dimulai dari manapun dekatnya dengan titik setimbang tapi akhirnya menjauh dari titik setimbang.

82 Sifat-sifat sistem..

Untuk suatu persamaan differensial linear ˙x = Ax dengan A berukuran n × n, sebagai titik setimbang diambil titik asal ¯x = 0 meskipun mungkin ada yang lainnya asalkan

determinan matriks A sama dengan nol. Untuk selanjutnya dikatakan bahwa persamaan differensial ˙x = Ax atau bahkan matriks A itu sendiri adalah stabil asimtotik, stabil atau takstabil bila titik asal ¯x = 0 sebagai titik setimbang adalah stabil asimtotik, stabil atau takstabil.

Perlu diperhatikan bahwa, pengertian dari stabil asimtotik, stabil dan takstabil tidak bergantung pada pilihan basis. Jadi, bila suatu persamaan differensial adalah stabil asim- totik yang berkaitan dengan satu basis, maka ia stabil asimtotik terhadap pilihan basis yang lainnya. Hal ini juga berlaku untuk pengertian stabil dan takstabil. Oleh karena itu, untuk menguji masalah kestabilan, suatu hal yang terbaik adalah menggunakam basis dengan diskripsi sesederhana mungkin.

Satu contoh berikut menjelaskan diskripsi matematika yang menjelaskan pengertian suatu persamaan differensial linear adalah stabil.

Contoh 22 Selidiki kestabilan sistem ˙x(t) = −2x(t) dengan keadaan awal x(0) = 1. Jawab : Penyelesaian sistem adalah x(t, 0) = e −2t . Untuk titik setimbang ¯x = 0, sistem adalah stabil sebab diberikan sebarang ε > 0 dapat dipilih δ > 0 dan t ε

δ dengan δ = 2 dan

t 1 δ = ln( ) − 2 3 , sehingga bila

|x t δ − ¯x| = |x t δ − 0| = |x t δ |=

maka didapat

|x(t, t δ ) − ¯x| = e −2t −0 =e −2t < ε, untuk t > t δ .

Teorema berikut memberikan syarat kestabilan dari persamaan differensial ˙x = Ax, dimana matriks A mempunyai peranan penting kususnya nilai karakteristik dari matriks A yaitu bagian real dari λ yang dinotasikan oleh Reλ.

Teorema 11 Diberikan persamaan differensial ˙x = Ax dengan matriks A berukuran n ×n

dan mempunyai nilai karakteristik yang berbeda λ 1 , ···,λ k (k ≤ n).

• Titik asal ¯x = 0 adalah stabil asimtotik bila dan hanya bila Reλ i < 0 untuk semua

i = 1, · · · , k. • Titik asal ¯x = 0 adalah stabil bila dan hanya bila Reλ i ≤ 0 untuk semua i = 1, · · · , k

dan untuk semua λ i dengan Reλ i = 0 multisiplisistas aljabar sama dengan mutipli- sistas geometrinya.

• Titik asal ¯x = 0 adalah takstabil bila dan hanya bila Reλ i > 0 untuk beberapa i =

1, · · · , k atau ada λ i dengan Reλ i = 0 dan multisiplisistas aljabar lebih besar dari mutiplisistas geometrinya.

Kestabilan..

Bukti Dalam bukti digunakan formula

(4.1) dimana J adalah bentuk Jordan. Mudah diselidiki bahwa semua elemen e Jt mendekati nol

At

e Jt =Te T −1 ,

untuk t → ∞ bila semua nilai karakteristik bagian realnya lebih kecil dari nol. Maka dari

0 juga mendekati nol. Bila beberapa bagian real dari nilai karakteristik sama dengan nol hal sedikit lebih rumit.

itu e At juga mendekati nol dan akibatnya penyelesaian x(t) = e x

At

J ij Sub-blok J t ij dari J dengan Rλ i < 0 tetap tidak ada masalah (sebab e → 0 bila t → ∞), tetapi sub-blok dengan bagian real dari λ i = 0 mungkin bisa merusak kestabilan, untuk

kasus yang ini matriks

λ Terlihat bahwa e i tetap terbatas (tetapi tidak mendekati nol sebab |e t | = 1), sedangkan elemen-elemen dalam matriks tidak semuanya terbatas, yaitu elemen-elemen t, 1 2! t 2 ,dst.

Elemen-elemen ini akan muncul bila ukuran dari matriks J ij lebih besar dari 1 × 1. Untuk kasus ini suatu kondisi awal akan ada sehingga menghasilkan suatu penyelesaian menjadi takterbatas. Oleh karenya bila ukuran dari J ij adalah lebih besar dari 1 × 1, maka tak akan terjadi kestabilan. Sebaliknya bila semua matriks sub-blok J ij dengan bagian real nilai karakteristiknya sama dengan nol semuanya berukuran 1 × 1 (multiplisistas aljabar dari λ i sama dengan multiplisistas geometrinya), maka kestabilan akan dijamin. Kondisi yang diberikan dalam pernyataan ini memberikan fakta bahwa semua sub-blok mempunyai ukuran 1 × 1.

Contoh 23 Diberikan persamaan differensial ˙x = Ax dimana A:

Untuk yang pertama adalah stabil, yang kelima stabil asimtotik, sedangkan yang lainnya takstabil.

84 Sifat-sifat sistem..

Latihan 19 Selidiki kestabilan dari matriks A dalam contoh pendulum terbalik dan orbit satelit.

Contoh 24 Hasil dari Teorema 11 tidak berlaku untuk sistem varian-waktu seperti ditun- jukkan oleh penyelesaian dari persamaan defferensial berikut:

d 4a 1 8at −3ae

dt x 2 ae −8at

dimana a adalah suatu parameter real. Nilai karakteristik dari matrik sistem adalah λ 1 =

a, λ 2 = 3a. Jadi untuk a < 0 kedua nilai karakterisitik tsb. bagian realnya lebih kecil dari nol. Bagaimanapun kasus ini, penyelesaian eksak dengan kondisi awal x 1 (0) = x 1 0 ,x 2 (0) = x 2 0 adalah:

yang mana tak stabil untuk setiap a 6= 0. Hal ini bisa ditunjukkan, misalnya untuk

−e −at . Jadi ada suatu kondisi awal dimana penyelesaiannya menjauhi titik asal yang merupakan satu-satunya titik setimbang.

x 1 0 = 1, x 2 0 = −1 didapat x 1 (t) = e 7at dan x 2 (t) =

Kesimpulan ini berlaku bila a > 0 dan juga bila a < 0. Bila a = 0, maka matriks sistem sama dengan nol dan setiap titik setimbang adalah stabil.

Definisi 3 Diberikan suatu sistem dimensi-n ˙x = Ax. Ruang bagian stabil untuk sistem ini adalah ruang bagian (real) dari jumlahan-langsung dari ruang bagian linear

N i (lihat Theorema 7 ) yang berkaitan dengan nilai karakteristik dari A yaitu nilai-nilai karakteristik dengan bagian real lebih kecil dari pada nol. Ruang bagian tak-stabil didefinisikan dengan cara serupa, yaitu bekaitan dengan bagian real tak-negatif.

Dari definisi diatas diperoleh bahwa ruang keadaan R n adalah jumlahan langsung dari ruang bagian linear stabil dan tak-stabil.

Latihan 20 Tunjukkan bahwa sistem nonlinear skalar ˙x(t) = −ǫx(t) + x 2 (t) titik se- timbang ¯ x(t) = 0 adalah stabil asimptotik untuk setiap ǫ > 0 dan tidak stabil untuk

ǫ ≥ 0. Bagaimanapun pelinearan sistem disekitar titik setimbang adalah stabil untuk ǫ = 0. Bagaimanakah hal ini bisa dijelaskan?

Kestabilan..