Ruang-bagian terkontrol dan teramati

4.2.5 Ruang-bagian terkontrol dan teramati

Pada pembahasan keterkontrolan dan keteramatan sebagaimana yang telah dibahas pada dua bagian sebelumnya keduanya erat kaitannya dengan keadaan awal x(0) = x0. Jadi dalam hal sistem terkontrol mempunyai arti bahwa semua komponen (n komponen) dari vektor x(0) harus bisa dikontrol, bila ada setidaknya satu komponen dari x(0) yang tidak bisa dikontrol ini sudah menyatakan bahwa sistem tak-terkontrol. Begitu juga halnya bila ada setidaknya satu komponen dari x(0) yang tidak dapat ditentukan dari pengukuran keluaran sistem maka dikatakan sistem tidak bisa diamati.

Keterkontrolan dan keteramatan.. 105 Pada bagian ini dikaji pengelompokan semua komponen dari x(0) yang terkontrol, be-

gitu juga yang teramati. Untuk maksud ini dibutuhkan suatu transformasi linear yang akan mentransformasi sistem yang ada ke bentuk sistem linear yang lain. Transformasi linear ini tidak akan mengubah sifat-sifat sistem yang asli; misalnya saja bila sistem terkontrol, maka hasil sistem yang dilakukan transformasi linear tetap terkontrol.

Telah dikenal dari teori matriks bahwa bila suatu "ruang bagian linear" V ⊂ R n adalah invarian-A, maka bisa didapatkan suatu basis (a n

1 ,a 2 ,...,a n ) dari R sedemikian hingga span{a 1 ,a 2 ,...,a n } − dimV = k < n; selajutnya dengan basis ini pemetaan A mempunyai

Basis yang disebutkan diatas bisa didapatkan dengan prosedur Gram-Schmidt. Kesimpulan disini adalah bila

dim(Im M c ) = k < n,

maka bisa didapat suatu basis (a n

1 ,a 2 ,...,a n ) dari R sedemikian hingga

Im M c = span {a 1 ,a 2 ,...,a k };

dengan basis tsb. matriks A mempunyai bentuk ( 4.29 ). Karena Im B ∈ Im M c , maka dengan basis baru tsb. B mempunyai bentuk

B=  ... 

0 ln−k

Dengan basis tsb. matriks terkontrol mempunyai bentuk:

M c = B | AB | . . . | A (n−1) B

dan rank (B (n−1)

1 |A 1,1 B 1 | . . . |A 1,1 B 1 ) = k, jadi pasangan (A 1,1 ,B 1 ) terkontrol. Dalam hal ini mempunyai arti bahwa pada sistem yang asli sebanyak k komponen dari keadaan awal x(0) = x0 yang bisa dikontrol sedangkan sisanya tidak.

Pemilihan basis baru adalah ekivalen dengan memperlakukan suatu transformasi basis. Maka dari itu ada suatu matriks T yang punya invers sedemikian hingga T −1 AT dan T −1 B

masing-masing mempunyai bentuk ( 4.29 ) dan ( 4.30 )

106 Sifat-sifat sistem..

Dengan cara serupa bila dim(Ker M o ) = k < n, maka bisa didapat suatu basis (a n

1 ,a 2 ,...,a n ) dari R sedemikian hingga

Ker M c = span {a 1 ,a 2 ,...,a k };

dengan basis tsb. matriks A mempunyai bentuk:

Matriks A pada persamaan ini secara umum berbeda dengan ( 4.29 ). Karena Ker C ∈ Ker M o , maka dengan basis baru tsb. C mempunyai bentuk

Dengan basis tsb. matriks teramati mempunyai bentuk:

CA (n−1)

0 (n−1) |C

CA (n−1)

jadi pasangan (C 1 ,A 2,2 ) teramati.

Contoh 33 Diberikan pasangan matriks

A= 

 ,B=    0 0 01 

Keterkontrolan dan keteramatan.. 107 Matriks terkontrol (A, B) pada contoh ini sama dengan matriks M c1 pada contoh ter-

dahulu. Telah ditahu bahwa sistem tak-terkontrol sebab rank M c1 = 3. Dari matriks M c1

didapatkan tiga vektor bebas linear yang membangun Im M c1 , yaitu:       0 1 0  1   0   −1 

Vektor ke-4 dipilih sehingga bebas linear terhadap ketiga vektor tsb. Dipilih vektor ke-4 sebagai:

Didapat transformasi linear T sebagai berikut:

dan invers dari matriks T adalah:

sedangkan T −1 AT dan T −1

B masing-masing diberikan oleh:

A=T  ¯ AT =

dan

  0  B=T ¯ −1 B=  0  .

108 Sifat-sifat sistem..

Partisi matriks ¯ A dan ¯ B masing-masing berdasarkan ( 4.29 ) dan ( 4.30 ), dengan pasangan (¯ A 1,1 ,¯ B 1 ) diberikan oleh:

A ¯ 1,1 =  10 −0.5  , B ¯ 1 =  0  .

Pasangan ( ¯ A 1,1 ,¯ B 1 ) terkontrol sebab,

100  rank  010  = 3.

Latihan 27 Tulis pasangan terkontrol dalam Latihan 24 kedalam bentuk persamaan ( 4.29 ) dan ( 4.30 ).