Respon impuls dan step

3.4 Respon impuls dan step

Penyelesaian dari ˙x = A(t)x + B(t)u bisa diuraikan sebagai

x(t) = Φ(t, t 0 )x 0 +

Φ(t, s)B(s)u(s)ds

Bila suatu fungsi masukan berbentuk

y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)

maka y(t) bisa diungkapkan didalam u(.) sebagai berikut:

y(t) = C(t)Φ(t, t 0 )x 0 +

C(t)Φ(t, s)B(s)u(s)ds + D(t)u(t). (3.39)

Selanjutnya didefinisikan matriks K(t, s) berukuran p × m sebagai berikut:

(3.40) Karena Φ(t, s) kontinu terdifferensial dalam argumennya dan C(t) dan B(t) diasumsikan

K(t, s) = C(t)Φ(t, s)B(s).

kontinu bagian demi bagian, maka matriks K(t, s) juga kontinu bagian demi bagian dalam argumennya.

Diasumsikan bahwa ada t 0 sedemikian hingga x(t 0 ) = 0. Dalam hal ini hanya tertarik di dalam sistem untuk t ≥ t 0 dan diasumsikan bahwa u(s) = 0 untuk s < t 0 , maka ( 3.39 ) bisa ditulis sebagai:

y(t) = (F u)(t) =

K(t, s)u(s)ds + D(t)u(t),

dimana F adalah suatu pemetaan: F : U → Y dengan U = CB p + (R ), Y = CB + (R ). Notasi CB + artinya adalah kontinu bagian demi bagian dalam argumennya dan bernilai nol untuk t ≤ t 0 . Catatan pemetaan F yang disajika oleh K(t, s) dan D(t) mengkarakter- isasi uraian luar sistem, yaitu fungsi masukan secara langsung dipetakan kedalam fungsi keluaran tanpa ’perantara’ keadaan. Dalam hal ini keadaan tereliminasi. Berikutnya dia- sumsikan bahwa D(t) = 0, menghasilkan berikut ini:

y(t) = (F u)(t) =

K(t, s)u(s)ds.

75 Matriks fungsi K(t, s) mempunyai interpretasi berikut. Misalkan fungsi masukan adalah

Respon impuls dan step..

u(t) = δ(t −t 1 )e i , dimana e i adalah vektor basis ke-i dan δ(t − t 1 ) adalah fungsi delta yang didefinisikan sebagai berikut:

Z ∞ δ(t −t 1 )φ(t)dt = φ(t 1 )

untuk setiap fungsi φ(.). Fungsi δ(t−t 1 ) bisa didefinisikan sebagai limit dari barisan fungsi untuk n → ∞

 0 untuk |t − t 1 |≥

Keluaran untuk masukan fungsi delta adalah:

y(t) =

δ(s −t 1 )e i ds = kolom ke − i K(t, t 1 ).

Kolom-kolom matriks K(t, t 1 ) bisa diinterpretasikan sebagai respon dari sistem (keluaran) pada waktu t disebabkan oleh suatu fungsi masukan berbentuk suatu impuls (yaitu suatu funfsi δ) pada waktu t 1 . Oleh karena itu K(t, s) disebut matriks respon impuls.

Yang terkait dengan respon impuls adalah respon step. Sekarang sebagai ganti fungsi masukan berbentuk impuls digunakan fungsi masukan yang berbentuk step. Fungsi step yang demikian disebut fungsi Heaviside H(t − t 1 ) yang didefinisikan sebagai berikut:

H(t 1 −t

0 untuk t < t 1 .

Perhatikan bahwa fungsi H(t − t 1 ) bukan merupakan klas fungsi masukan kontinu bagian demi bagian. Untuk fungsi impuls perlu juga diperhatikan bahwa fungsi ini bukanlah suatu fungsi seperti fungsi sebagai mana biasanya. Selain itu hubungan diantara fungsi step dan

fungsi impuls dalam versi integral diberikan oleh:

H(t −t 1 )=

δ(s −t 1 )ds.

Keluaran dari masukan fungsi step H(t−t 1 )e i dengan pengasumsian bahwa sistem dimulai

dari awal pada waktu t 0 jauh pada massa yang lalu adalah:

y(t) =

K(t, s)H(s −t 1 )e i ds =

K(t, s)e i ds.

R Matriks S(t, t t

1 )= t 1 K(t, s)e i ds berukuran p × m disebut matriks respon step. Hubun-

gan diantara S(t, t 1 ) dan K(t, t 1 ) adalah: Z d t d

S(t, s) =

K(t, τ )dτ = −K(t, s).

ds

ds s

76 Sistem differensial linier..

Untuk sistem invarian-waktu

K(t, s) = Ce A (t−s) B.

Matriks K(t, s) biasanya ditulis sebagai G(t) yaitu hanya tergantung pada satu parameter G(t A (t−s) − s) = Ce B. (3.44)

Uraian luar ( 3.42 ) tidak hanya berlaku bagi sistem differensial linear (kausal ketat) seperti ditunjukkan dalam contoh berikut.

Contoh 21 Tinjau sistem masukan-keluaran tunggal berbentuk:

y(t) =

u(s)ds,

T t −T

yang mana ada kalanya disebut rata-rata gerakan. Sistem ini adalah linear, invarian- waktu dan fungsi respon impulsnya adalah:

untuk 0 ≤τ≤T

G(τ ) =

  0 untuk τ > T. Sistem ini bukan berbentuk ( 3.12 ) seperti yang akan terlihat sebagai akibat langsung dari

teorema berikut. Bila diinginkan untuk mendefinisikan suatu keadaan pada sistem ini, maka akan jelas bahwa secara intuisi sistem tsb. mempunyai ruang keadaan berdimensi tak hingga (faktanya, keadaan x(t) sama dengan fungsi u pada interval [t − T, t)).

Teorema 10 Diberikan suatu K(t, s) sebagai matriks respon impuls dari suatu sistem lin- ear dimensi hingga (yaitu berbentuk ( 3.12 )) bila dan hanya bila ada suatu dekomposisi dipenuhi untuk semua t dan s berbentuk

K(t, s) = H 1 (t)H 2 (s),

dengan H 1 dan H 2 adalah matriks berdimensi hingga.

Bukti Syarat cukup. Misalkan bahwa pemfaktoran diberikan dalam pernyataan teo- rema adalah mungkin. Tinjau realisasi A = 0, B = H 1 danC = H 2 , yaitu

˙x(t) = H 1 (t)u(t), y(t) = H 2 (t)x(t).

Didapat:

y(t) = H 2 (t)x(t 0 )+H 2 (t)

H 1 (σ)u(σ)dσ

=H 2 (t)x(t 0 )+

K(t, σ)u(σ)dσ.

Respon impuls dan step..

77 Syarat perlu. Misalkan diberikan suatu sistem linear berbentuk ( 3.12 ). Maka untuk

sistem ini didapat:

K(t, s) = C(t)Φ(t, s)B(s).

Tetapi, bila t 1 sebarang konstanta, dari hukum komposisi untuk matriks transisi diperoleh:

Φ(t, s) = Φ(t, t 1 )Φ(t 1 , s).

Bila dibuat identifikasi

H 1 (t) = C(t)Φ(t, t 1 ) dan H 2 (t) = Φ(t 1 , s)B(s),

didapat:

H 1 (t)H 2 (t) = C(t)Φ(t, t 1 )Φ(t 1 , s)B(s) = C(t)Φ(t, s)B(s) = K(t, s).

Bila ditulis

Z +∞

Z +∞

y(t) =

K(t, s)u(s)ds, y(t) =

G(t − s)u(s)ds, (3.45)

dengan batas atas +∞ secara prinsip didapat suatu sistem tak-kausal. Catatan : Kausal berarti bahwa evolusi sistem pada saat ini tidak dapat bergantung pada

phenomena yang akan terjadi pada massa mendatang. Sistem kausal membentuk suatu sub-klas dari klas sistem yang diuraikan oleh ( 3.45 )

dengan

K(t, s) = 0 untuk t < s atau G(τ ) = 0 untuk τ < 0.

Perilaku luar dari suatu sistem differensial linear secara lengkap ditentukan oleh K(t, s) dan D(t). Adalah mungkin bahwa himpunan matriks yang berbeda (A(t), B(t), C(t)) memberikan matriks K(t, s) yang sama. Misalkan hal ini hanya dibahas untuk sistem invarian-waktu:

˙x = Ax + Bu, y = Cx + Du, G(t) = Ce At B. (3.46)

Bila S : R n →R suatu transformasi basis yang punya invers dalam ruang keadaan X=R n , maka untuk tranformasi keadaan z = Sx didapat persamaan berikut:

˙z = S ˙x = SAx + SBu = SAS −1 z + SBu y = Cx + Du = CS −1 z + Du.

Transformasi basis S mentransformasi himpunan matriks (A, B, C, D) kedalam (SAS −1 , SB, CS −1 , D). Perhitungan dari matriks respon impuls untuk sistem yang ditransformasi memberikan:

G(t) = CS At −1 e SB = CS −1 At Se S −1 SB = Ce B terlihat bahwa transformasi basis tidak mengubah G(t). Hal ini menjelaskan bahwa pemil-

SAS −1 t

ihan suatu basis baru dalam ruang keadaan tidak akan mengubah perilaku luar dari suatu sistem.

78 Sistem differensial linier..

Definisi 1 Dua sistem linear

dengan banyaknya masukan sama begitu juga banyaknya keluran sama adalah isomorpik bila

dan hanya bila ada suatu transformasi linear yang punya invers S : R n →R sedemikian hingga

¯ A = SAS −1 ,¯ B = SB, ¯ C = CS −1 ,¯ D = D.

Hubungan dari dua sistem dalam definisi diatas diberikan oleh diagram isomorpik yang

digambarkan pada Gambar 3.6 .

Gambar 3.6: Diagram isomorpik

Sebelum Defenisi 1 telah ditunjukkan bahwa dua sistem isomorpik mempunyai matriks respon impuls yang sama. Adalah jelas bahwa diberikan fungsi respon impuls ada realisasi- realisasi (A, B, C, D) yang mempunyai vektor keadaan dengan dimensi berbeda. Suatu contoh trivial dari keadaan ini adalah dengan menambah suatu persamaan vektor pada

sistem ( 3.46 ) yang tidak mempunyai pengaruh pada masukan, yaitu:

˙x = Ax + Bu ˙¯x = F ¯x + Gu

y = Cx + Du.

Kelihatannya tidak terdapat batas atas pada dimensi suatu realisasi dari suatu fungsi re- spon impuls. Bagaimanapun dengan kondisi yang bisa diterima ada batas bawah. Bila su- atu sistem diberikan oleh matriks (A, B, C, D) merealisasikan fungsi respon impuls K(t, s) dinamakan suatu minimal realisasi bila tidak ada realisasi lain dari K(t, s) yang mem- punyai vektor keadaan berdimensi lebih rendah. Dimensi minimum disebut tingkat dari fungsi respon impuls.

Cabang yang dikenal dari teori sistem yang berkaitan dengan masalah realisasi adalah diberikan uraian luar dari suatu sistem (misalnya yang ditentukan oleh pemetaan F dalam

Respon impuls dan step..

79 ( 3.41 )), tentukan/cari uraian keadaan sistem. Pada sistem invarian waktu dimensi hingga

permasalahan tsb. adalah diberikan fungsi matriks respon impuls G(t), cari/dapatkan matrks A n×n, B n×m dan C p×n sedemikian hingga G(t) = Ce At

B, n juga ditentukan. Suatu kesimpulan walaupun dengan minimal dimensi n keberadaan realisasi tidak tunggal, misalnya bila (A, B, C, D) suatu realisasi, maka (SAS −1 , SB, CS −1 , D) juga suatu realisasi berdimensi vektor keadaan sama, dimana S matriks taksingular n × n.

Latihan 18 Diberikan persamaan keadaan

 ˙x(t) =

x(t) +

+ u(t)

−2 −5

   y(t) = 10

a). Dapatkan respon impuls untuk t ≥ 0. b). Bila u(t) adalah step function dan x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 2, dapatkan responnya untuk t ≥ 0.

80 Sistem differensial linier..