Metoda Frekuensi

6.4 Metoda Frekuensi

Pada bagian ini tetap dibatasi pembahasan untuk sistem dengan masukan dan keluaran tunggal, oleh karena itu fungsi transfernya dinotasikan dengan h(s). Untuk suatu respon frekuensi ditulis:

i h(iω) = arg h(iω) |h(iω)| e .

Respon stasioner dari u(t) = u iωt

ω e ,u ω ,ω ∈ R adalah:

y(t) = h(iω)u i

iω

ω e = |h(iω)| u ω e (ωt+arg h(iω)) .

Metoda Frekuensi.. 153 Bila diambil bagian imajiner dari u(t):

iφ Im (u(t)) = u iωt

ω sin(ωt + φ) = Im u ω e e

respon stasionernya menjadi:

iφ Im (y(t)) = Im h(iω)u iωt

= Im i |h(iω)| u

ω e (ωt+φ+arg h(iω))

= |h(iω)| u ω sin (ωt + φ + arg h(iω)) .

Terlihat, respon stasionernya berbentuk sinus dengan amplitudo |h(iω)| u ω . Phase dari ossilasi bertambah sebesar arg h(iω). Jadi, sistem linear invarian-waktu dengan fungsi

transfer h(s) mentransformasi suatu signal sinusiodal dengan frekuensi ω kebentuk signal sinusiodal yang lain dengan frekuensi ω, amplitudonya menjadi amplitudo asal dikalikan dengan |h(iω)| dan phasenya bertambah sebesar arg h(iω).

Contoh 47 Dikaji lagi contoh rangkaian elektrik RLC yang diberikan dalam Contoh 4 . Bentuk ruang keadaan sistem diberikan oleh:

(t)

C (t)

+ 1 u(t),

˙x 2 (t)

x 2 (t)

dimana masukan sistem u(t) = e(t). Fungsi transfer sistemnya adalah:

h(s) = C(sI

Jadi h(iω) = 1 −LCω 2 +1+iRCω . Pole-pole dari h(s) adalah akar-akar dari s 2 + L + LC = 0. Dapat ditunjukkan bahwa kedua polenya mempunyai bagian ril negatif, jadi

y(t) ∼ |h(iω)| u ω sin (ωt + φ + arg h(iω)) ,

bila digunakan signal masukan u ω sin(ωt + φ), diperoleh:

|h(iω)| =

p(1 − LCω 2 ) 2 +R 2 C 2 ω 2

−RCω

arg h(iω) = arctan

− LCω

Secara lebih umum, bila suatu signal kombinasi dari sinusiodal dengan frekuensi yang memunkinkan berbeda dikenakan pada sistem, maka keluaran merupakan signal kom- bianasi sinusiodal tang lain dengan frekuensi sama dengan frekuensi masukan.

Fungsi-fungsi respon frekuensi sering digunakan dalam analisa jaringan, kontrol otomatik dan akustik. Ada dua metoda yang dikenal untuk secara grafik menampilkan h(iω) guna memperoleh kesan dari perilaku sistem yang dikaji. Dua moteda ini secara singkat didiskusikan.

154 Penyajian masukan/keluaran..

1. Diagram Nyquist atau plot polar. Fungsi h(iω) diplot sebagai kurva dalam bidang dengan parameter ω yang bervariasi dari 0 sampai +∞. Bila dilihat h(s) sebagai fungsi dari bidang kompleks ke bidang kompleks, maka diagram Nyquist adalah "im-

age" dari h pada sumbu imajiner positif.

2. Diagram Bode atau diagram logarithma. Dalam hal ini h disajikan oleh dua grafik yaitu plot amplitudo: ln |h(iω)| sebagai fungsi dari ln ω dan plot phase: arg(h(iω)) sebagai suatu fungsi ln ω.

Amplitudo (dB)

Im

20 10 log |iω| 0.01 0.1 1

0 1 Re

0 u=Tω

-40 arg(h(iω)) 0 phase ( )

0 u=Tω

-90 0 Gambar 6.12: Diagram Nyquist dan Bode.

Sebagai contoh, pada Gambar 6.12 diagram Nyquist dan Bode dari sistem dengan fungsi transfer 1 1+τ s , τ > 0. Skala ln |h(iω)| diungkapkan dengan decibel (dB). Grafik |h(iω)|

"versus" ω mengungkapkan yang dapat melewati sistem dan gain. Jadi sistem dapat diinterpretasikan sebagai suatu filter dari signal masukan.

B gain

Gambar 6.13: Filter frekuensi rendah.

Dalam gambar yang pertama dari Gambar 6.13 hanya frekuensi-frekuensi rendah yang akan

Metoda Frekuensi.. 155 melewati sistem, sedangkan frekuensi-frekuensi tinggi dipotong. Filter-filter yang demikian

tadi dinamakan suatu filter frekuensi rendah. Gambar-gambar yang lain menunjukkan macam-macam filter yang lain. Bandwidth B dari suatu sistem didefinisikan sebagai range dari frekuensi signal masukan yang mana respon sistem akan memuaskan.

Berikut ini diuraikan suatu pemakaian sederhana dari suatu filter frekuensi rendah (lihat Gambar 6.13 ). Misalkan suatu signal gangguan yang biasanya merupakan signal- signal frekuensi tinggi. Bila diinginkan membersihkan gangguan ini, bisa digunakan suatu filter frekuensi rendah. Sebagai akibatnya, bagian signal keluran yang berkaitan dengan frekuensi tinggi dapat dihentikan.

U(s) +

Contoh 48 Tinjau konfigurasi sistem umpan balik berikut yang diberikan oleh Gam- bar 6.14 . Dalam Gambar 6.14 , sistem dengan fungsi transfer H 1 (s) biasanya dinamakan plan. Diinginkan mendisain suatu kontroler H 2 (s) sedemikian hingga keseluruhan sistem umpan balik mempunyai karakteristik yang menyenangkan. Kontroler yang dikarakteristik oleh fungsi transfernya bisa dipilih oleh disainer. Bisa ditunjukkan bahwa fungsi transfer keseluruhan sistem umpan balik diberikan oleh:

H(s) = (I + H −1

1 (s)H 2 (s)) H 1 (s)H 2 (s).

Suatu kriteria disain yang mungkin adalah Y (s) sedapat mungkin mendekati U(s). Hal ini dinamakan "tracking". Suatu kemungkinan untuk memperoleh suatu sistem track-

ing yang baik adalah mendisain H 2 (s) dengan suatu cara sehingga H 1 (s)H 2 (s) "besar", maka dari itu (I + H 1 (s)H 2 (s)) −1 H 1 (s)H 2 (s) ∼ I, hal ini berakibat Y (s) ∼ U(s). Untuk frekuensi yang dipertimbangkan s diganti dengan iω, didefinisikan S(ω) sebagai:

S(ω) = (I + H −1

1 (iω)H 2 (ω)) ,

S(ω) dinamakan operator sensitifitas. Suatu sistem dikatakan mempunyai karakterisitik sensitifitas yang baik bila

(I + H 1 (iω)H 2 (ω)) ≥ φ(ω)

untuk semua |ω| ≤ ω 0 (bandwidth yang diingini), dimana φ(ω) adalah suatu fungsi positip yang bernilai besar.

156 Penyajian masukan/keluaran.. du Contoh 49 Masalah differensiator, misalkan y(t) = (t)

dt ,t ∈ R, maka untuk u(0) = 0 diperoleh:

dt = u(t)e −st Y (s) = ∞

du(t)

e −st

0 +s u(t)e dt = sU(s).

−st

dt

Fungsi transfernya adalah h(s) = s, dalam hal ini derajad dari pembilang lebih besar dari penyebutnya, yaitu sistem adalah tak-kausal. Sistem semacam ini secara teknik tidak bisa direalisasikan, sebab bila u(s) diketahui sampai saat waktu t, maka derifatif pada titik akhir s = t tidak ada. Selanjutnya karena |h(iω)| = |ω| ini berarti frekuensi tinggi dikenakan terus menerus dengan phase arg(iω) = π

2 untuk semua frekuensi.

Berikut ini ditinjau persamaan ( 6.6 ) dengan umpan balik H 2 (s) = I dan H 1 (s) merepre- sentasikan sistem masukan-keluaran tunggal, oleh karena itu diganti H 1 (s) dengan h 1 (s). Diasumsikan fungsi transfer h(s) "sejati kuat" dan tidak mempunyai pole pada sumbu imajiner, asumsi yang akhir ini tidak begitu esensial tetapi hal ini hanya sekedar untuk

penyederhanaan. Persamaan ( 6.6 ) menjadi:

h 1 (s)

h(s) =

1+h 1 (s)

Tinjau pemetaan ω 7→ h(iω), dimana −∞ < ω < +∞ dan h(iω) adalah suatu kurva dalam domain kompleks. Untuk ω = −∞ kurva dinotasikan dengan Γ, dimulai dari titik asal, dan untuk ω = +∞ kurva berakhir pada titik asal lagi. Oleh karena itu titik asal terletak didalam kurva tertutup Γ.

Teorema 21 Dengan formulasi asumsi diatas, banyaknya putaran mengelilingi titik −1 oleh kurva tutup Γ searah dengan putaran jarum jam sama dengan banyaknya pole-pole tak-stabil dari sistem loop-tutup dikurangi banyaknya pole-pole tak-stabil dari sistem loop- buka.

Sistem loop-buka adalah sistem dengan fungsi transfer h 1 (s), sedangkan sistem loop-tutup, merujuk pada sistem dengan umpan balik satuan I. Teorema 21 adalah versi sederhana dari teorema yang lebih umum yang dikenal dengan nama kriteria Nyquist yang bisa digunakan untuk mengecek apakah sistem loop-tutup stabil.

Disini tidak diberikan bukti kriteria Nyquist. Kriteria ini berdasar pada teorema Teo- rema Cauchy dalam teori fungsi kompleks. Berikut ini, diberikan teorema Cauchy.

Metoda Frekuensi.. 157 Teorema 22 Asumsikan bahwa h suatu fungsi rasional atau lebih umumnya suatu fungsi

"meromorphic" yang tak mempunyai pole atau zeros pada suatu kurva tutup sederhana C. Lagipula diasumsikan bahwa putaran pada C searah jarum jam. Maka integral berikut:

1 Z h(s)

ds

ds

2π C h(s)

sama dengan banyaknya pole-pole dalam C dikurangi banyaknya zeros dalam C.

Pembatasan umpan balik adalah I bukan dimaksudkan untuk membatasi kajian, sebagai mana yang terlihat berikut ini. Untuk umpan balik h 2 (s), persamaan ( 6.6 ) menjadi:

h 1 (s)

h 1 (s)h 2 (s)

h(s) =

h −1 2 (s)

1+h 1 (s)h 2 (s)

1+h 1 (s)h 2 (s)

terlihat bahwa ungkapan diatas sebagai suatu sistem seri dari dua subsistem yang dikarak- teristik masing-masing oleh h 1 h 2 (1 + h 1 h 2 ) −1 dan h −1 2 asalkan keduanya terdefinisi dengan baik. Subsistem yang pertama adalah suatu sistem yang dikarakteristik oleh h 1 h 2 dengan suatu umpan balik I. Jadi kajian kestabilan dari suatu sistem dengan umpan balik bukan

I bisa ditransformasi ke kajian kestabilan suatu sistem dengan umpan balik I dengan tambahan persyaratan bahwa sistem yang dikarakteristik oleh h −1 2 ada.

158 Penyajian masukan/keluaran..