Kontrol loop buka

9.2 Kontrol loop buka

Diberikan suatu sistem berbentuk

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t) n ×n ∈R n , u(t) ∈R ,A ∈R ,B ×p ∈R , (9.1)

200 Linier Quadratic Regulator (LQR).. dengan keadaan awal dan keadaan akhir masing-masing diberikan oleh x(t 0 )=x 0 dan

x(t 1 )=x 1 . Dapatkan u yang memenuhi ( 9.1 ) dengan syarat bentuk integral berikut

J=

u ′ (t)Ru(t)dt

mempunyai nilai minimum, dimana R matriks simetri definit positip berukuran p × p yang dipilih oleh pendisainer berdasarkan pada tujuan pengontrolan. Selanjutnya untuk

menyelesaikan masalah LQR ini, dibentuk Hamiltonian yang diberikan sebagai berikut

1 H= u ′ (t)Ru(t) + λ ′ (t) [Ax(t) + Bu(t)] .

Dari Hamiltonian ini didapat ˙λ(t) = − ∂H

A ′ (t −A 1 λ(t) −t) ⇒ λ(t) = e λ(t

∂x ∂H

A 0= ′ = Ru(t) + B ′ λ(t) −1 ⇒ u(t) = −R B ′ e (t 1 −t) λ(t

∂u Persamaan ( 9.1 ) menjadi

˙x(t) = Ax(t)

−1 B ′ A ′ (t − BR 1 e −t) λ(t 1 )

dan penyelesaiannya adalah:

(t x(t) = e (t x

A (t−t h 0 ) A A ′

e (t−τ ) BR −1 B ′ e 1 −τ ) λ(t 1 ) dτ

Untuk menghitung λ(t 1 ) didefinisikan:

dif.

P (t) i = e (t−τ ) BR −1 B ′ e (t−τ ) dτ

Dengan menggunakan aturan Leibnitz untuk integral diperoleh:

P (t) = ˙

′ A BR ′ B e dτ + e BR B e (t−t) dt

e (t−τ )

′ A ′ (t−τ )

A (t−t)

′ A ′ (t−t 0 ) dt 0

−e

A (t−t 0 )

BR B e

dt = AP (t) + P (t)A ′ + BR −1 B ′ .

Kontrol loop buka.. 201 Didapat persamaan differensial:

(9.3) yang memenuhi syarat awal P (t 0 ) = 0. Persamaan ( 9.3 ) dinamakan suatu persamaan

P (t) = AP (t) + P (t)A ˙ ′ + BR −1 B ′

Lyapunov dan P (t) adalah matriks simetri. Dilain pihak dari syarat x(t 1 )=x 1 , didapat:

(9.4) Dari persamaan ini didapat:

A =e (t 1 −t 0 ) x

0 − P (t 1 )λ(t 1 ).

Jadi kontrol optimal u(t) diberikan oleh:

x 0 (9.5) dan dengan menggunakan kesimitrian J min diberikan oleh:

1 1 −e

u(t) = R A −1 B ′ e (t 1 −t) P −1 (t ) (t 1 −t 0 )

Sebelum diberikan suatu contoh yang berkaitan dengan LQR loop buka, terlebih dahulu diberikan rinkasan hasil-hasil dari LQR loop buka.

Model Sistem:

˙x = Ax + Bu, t ≥t 0 ,

dengan x(t 0 ) = x0 diberikan. Keadaan Akhir yang diharapkan:

x(t 1 ) = x1,

dengan x1 diberikan. Indeks Perilaku:

J(t 0 )=

u ′ Ru dt, R > 0.

202 Linier Quadratic Regulator (LQR)..

Kontrol Optimal Loop-Buka: Persamaan Lyapunov:

P = AP + P A ˙ ′ + BR −1 B ′ , P (t 0 ) = 0.

Kontrol Loop-Buka:

u(t) = R −1 B ′ A ′ (t 1 A (t 1 0 e ) −t) P −1 (t 1 ) 1 −e −t x 0

Biaya Optimal:

Contoh 57 Dikaji kembali Contoh 52 yaitu sistem yang diberikan oleh:

˙x(t) =

x(t) +

u(t)

dengan kondisi awal x 1 (0) = x 2 (0) = 1, kondisi akhir x 1 (2) = x 2 (2) = 0 dan indeks perilaku J:

J=

u 2 (t)dt.

Untuk menyelesaikan persoalan ini digunakan persamaan Lyapunov, didapat:

dimana P (t) adalah matriks simetri dan P (0) = 0. Dari persamaan Lyapunov diatas didapat:

˙p 1,1 (t) = 2p 1,2 (t), ˙p 1,2 (t) = p 2,2 (t), ˙p 2,2 (t) = 1.

Dengan kondisi awal P (0) = 0, didapat:

t 3 t 2 p 1,1 (t) = ,p 1,2 (t) = ,p 2,2 (t) = t.

Jadi matriks P (t) adalah:

t 3 t 2 P (t) = 3 t 2 2

Kontrol loop buka.. 203 dan kontrol optimal u(t) diberikan oleh:

′ A ′ (t

u(t) = R A B e 1 −t) (t P −1

2 Hasil ini sama seperti yang diberikan dalam Contoh 52 .

Berikut ini diberikan suatu komentar/diskusi yang berkaitan dengan hasli-hasil dari LQR Loop-Buka.

Beberapa Komentar LQR Loop-Buka

Dalam bahasan sebelumnya telah diberikan ringkasan persamaan pendisainan kontroler LQ keadaan-akhir-tetap yang mengarahkan sistem dari suatu keadaan awal x0 kesuatu keadaan akhir tetap sesuai yang diharapkan yaitu x1 sekaligus juga meminimumkan enerji

kontrol J(t 0 ). Sesuai hasil ringkasan yang diberikan pada pembahasan sebelumnya, kontrol optimal

u(t) yang meminimumkan Indeks Perilaku J(t 0 ) sekaligus juga menjamin keadaan akhir x(t 1 ) = x1 diperoleh sebagai berikut. Pertama, integralkan persamaan Lyapunov dari t 0 sampai t 1 dengan P (t 0 ) = 0 untuk memperoleh P (t 1 ). Dari sini Indeks perilaku minimum bisa dihitung sebelum pengontrol dijalankan. Peenghitungan kontrol optimal diberikan

dalam bentuk memuat P −1 (t 1 ).

Karena kontrol u(t) tidak tergantung keadaan x(t) pada saat waktu t, tetapi hanya pada titik akhir khusus dari trayektori keadaan, hal ini adalah kontrol loop-buka. Bila untuk beberapa alasan yang memungkinkan keadaan x(t) mengganggu jejak optimal, maka

tidak ada cara bagi pengontrol untuk mengatasi hal ini, oleh karena itu keadaan akhir x(t 1 ) umumnya tidak akan sama dengan nilai yang diharapkan yaitu x1. Dalam hal ini kontrol loop-buka tidak robust terhadap gangguan atau ketidakpastian parameter dalam matriks sistem. Pada bagian berikutnya akan diturunkan LQR loop-tutup.

Karena kontrol adalah loop-buka, bila diinginkan pengontrol u(t) dapat dihitung dahulu dan dismpan didalam memory komputer sebelum kontrol dijalankan. Maka kontrol ini dapat dipakai pada plant untuk mencapai tujuan selama phase implementasi aktual.

Penyelesaian persamaan homogin pada saat waktu t 1 adalah:

x(t A

1 )=e (t 1 −t 0 ) x0,

204 Linier Quadratic Regulator (LQR)..

A (t 1 −t 0 dari sini diperoleh x1 − e ) x0 adalah beda diantara keadaan akhir yang diharapkan yaitu x1 dengan kedaan akhir sebenarnya dari sistem. Hal ini akan bermakna bahwa

kontrol optimal sebanding dengan beda tsb. Bila beda tsb. sama dengan nol, maka tidak akan ada kontrol yang diperlukan untuk membuat keadaan x(t) menuju kekeadaan akhir

x1 pada waktu t 1 . Keujudan kontrol optimal dijamin bila dan hanya bila matriks P (t 1 ) nonsingulir. Karena R diasumsikan nonsingulir dan positip hal ini berkaitan dengan keterkontrolan plan. Jadi

bila pasangan matriks (A, B) terkontrol, maka ada suatu kontrol enerji minimum yang mengarahkan sebarang keadaan awal kesebarang keadaan akhir yang diinginkan.

Perhatikan bahwa nilai optimal dari indeks perilaku hanya bergantung pada keadaan awal x0 dan keadaan akhir x1. Jadi diberikan keadaan awal keadaan akhir yang diharap- kan, kontrol enerji yang dibutuhkan dapat dihitung sebelum kontrol optimal u(t) dikenakan pada sistem. Bila kontrol ini terlalu besar, maka akan terlalu banyak enerji yang dibu- tuhkan. Dalam kejadian ini, kontrol u(t) seharusnya didisain ulang dengan pemilihan suatu

interval waktu (t 1 −t 0 ) yang lebih sebesar. Hal ini menurut ( 9.4 ) matriks Graminian P (t 1 ) menjadi lebih besar, sehingga menurut ( 9.5 ) besar dari kontrol optimal akan menjadi lebuh kecil.

Berikut ini diberikan contoh LQ kontrol loop-buka. Contoh ini adalah analitik di- dalam alamiah sebagaimana maksudnya untuk menunjukkan aspek perhitungan persamaan pendisainan dalam ringkasan yang telah diberikan.

Contoh 58 Kontrol loop-buka suatu motor DC. Asumsikan beban torsi nol, relasi transfer dari suatu kontrol dinamo motor DC adalah:

(Ls + R)(J m s+b m )+k m k m ′

dengan ω(t) kecepatan keluaran, kontrol u(t) adalah voltage dinamo, k m torsi konstan, k ′ m torsi e.m.f konstan, L adalah induktansi kumparan dinamo, R adalah resistan dinamo, J m adalah momen inersia rotor dan b m adalah damping ekivalen rotor konstan.

Pengabaian waktu konstanta elektrik L/R yang biasanya agar supaya besarnya lebih kecil dari waktu konstanta mekanik J m /b m , model ( 9.7 ) dapat ditulis sebagai:

Model variabel keadaannya diberikan oleh:

˙x = −ax + bu

Kontrol loop-tutup.. 205

1 dengan ω(t) = x(t), a = k

τ dan b = τ .

Kecepatan awal x(0) = w 0 diketahui. Tujuannya adalah mengendalikan motor kesuatu kecepatan akhir yang diharapkan yaitu x(t 1 )=ω 1 pada suatu waktu akhir yang ditentukan yaitu t 1 . Agar supaya menggunakan enerji kontrol minimum diinginkan indeks perilakunya berbentuk:

Persamaan Lyapunovnya adalah:

˙p = −2ap + ,

yang penyelesaiannya untuk p(0) = 0 diberikan oleh

p(t) = e −2a(t−τ ) dτ =

−e −2at ),

2ar

sedangkan pengontrol optimalnya diberikan oleh:

u(t) =

b sinh at 1

Disini perlu diberikan catatan bahwa kontrol u(t) tidak tergantung pada bobot pengontrol r, hal ini disebabkan u(t) adalah skalar.

Penyelesaian dari persamaan keadaan ( 9.10 ) diberikan oleh:

x(t) = e −at x(0) + e −a(t−τ ) bu(τ )dτ.

Dengan menggunakan persamaan ( 9.14 ) dan ( 9.15 ) keadaan x(t) diberikan oleh:

1 sinh at

x(t) = ω 0 e −at + (ω 1 −ω 0 e −at )

sinh at 1 dan untuk t = t 1 diperoleh x(t 1 )=ω 1 .