Cara Hamiltonian

8.2 Cara Hamiltonian

Pada bagian ini akan diberikan suatu penyelesaian kontrol optimal dengan menggunakan cara yang dinamakan Hamiltonian. Namum sebelum diuraikan cara tsb. terlebih dahulu diberikan suatu motifasi untuk memberikan gambaran mendatang yang lebih jelas tentang cara Hamiltonian tsb. Motifasi diberikan lewat suatu kajian yang berkenaan dengan enerji kenitik dan enerji potensial dari suatu massa yang bergerak karena suatu gaya.

Misalkan suatu massa m yang digantung dengan pegas secara vertikal (lihat Gam- bar 8.2 ).

Massa pegas diabaikan sedangkan kostanta pegas adalah k. Bila x(t) adalah posisi massa pada keadaan setimbang saat t, maka dengan menggunakan hukum Hooke, gaya diberikan oleh

F = −kx(t)i,

Cara Hamiltonian.. 183

xm

Gambar 8.2: Sistem pegas.

dengan i adalah vektor satuan dengan arah kebawah. Karena

dengan V menyatakan enerji potensial. Selanjutnya dari ( 8.9 ) dan ( 8.10 ) diperoleh

∂V

= kx(t) atau V = kx (t)

∂x

dalam hal ini konstanta sebarang diambil sama dengan nol. Energi kinetik dari massa adalah

T= 2 m = m ˙x (t).

2 dt

1 2 1 Bila L = T − V = 2

2 m ˙x (t) − 2 kx (t) dan integral

Ldt

mempunyai nilai minimum, haruslah dipenuhi

m¨ x(t) + kx(t) = 0.

Hasil ini tentunya sesuai bila digunakan Hukum-hukum Newton. Selain dari pada itu persamaan ( 8.11 ) adalah persamaan Euler-Lagrange disini peranan fungsi g diganti oleh selisih diantara enerji potensial dan enerji kinetik, yaitu L.

Berikut ini diuraikan cara Hamiltonian untuk menyelesaikan masalah kontrol optimal sebagai berikut, cari kontrol optimal u ∗ (t) yang memenuhi bentuk

˙x(t) = f (x(t), u(t), t), p x(t) ∈R , u(t) ∈R

184 Formulasi masalah kontrol optimal..

sepanjang lintasan x ∗ (t) sehingga nilai integral

J = h(x(t 1 ), t 1 )+ g(x(t), u(t), t)dt

minimum. Tulis h dalam bentuk integral berikut

h(x(t 1 ), t 1 )=

[h(x(t), t)] dt + h(x(t 0 ), t 0 ).

dt

Sehingga diperoleh

J(u) = g(x(t), u(t), t) + [h(x(t), t)] dt + h(x(t 0 ), t 0 ).

dt

Karena h(x(t 0 ), t 0 ) tetap (tidak mengandung u(t)), maka permasalahan akan ekivalen den- gan meminimumkan integral

J(u) =

g(x(t), u(t), t) + [h(x(t), t)] dt.

dt

Dengan menggunakan aturan rantai differensial diperoleh

d ′ ∂h(x, t)

[h(x(t), t)] =

dimana tanda ′ menyatakan suatu transpose. Dalam hal ini didapat

∂h(x, t)

J(u) =

g(x(t), u(t), t) +

Untuk mengakomodasi persamaan ( 8.12 ) dibentuk fungsional

∂h (x, t) g a (x, ˙x, u, λ, t) = g(x(t), u(t), t) + λ ′ [f (x, u, t) − ˙x] +

˙x +

∂t dimana λ = (λ 1 ,λ 2 ,...,λ n ) adalah suatu pengali Langrange. Sekarang masalahnya men-

∂x

jadi meminimumkan

J a (u) = g a (x, ˙x, u, λ, t)dt.

Cara Hamiltonian.. 185 Persamaan diatas akan memberikan dua persamaan Euler-Lagrange dalam x dan u. Per-

tama ditinjau dulu persamaan Euler-Langrange dalam x ∗ yaitu

bila disubstitusikan persamaan ( 8.16 ) kedalam persamaan ( 8.17 ) didapat: 

Dari aturan rantai untuk turunan didapat

d ′ ∗ 2 , t) 2 h(x ∗ , t) ∂ h(x ∗ , t)

∗ 2 ˙x dt ∗ ∂x ∗ + ∂x ∂t∂x ∗ .

(8.20) Dari dua persamaan ( 8.19 ) dan ( 8.20 ) serta karena urutan pendeferensialan dapat diper-

tukarkan diperoleh persamaan

∗ [g(x ,u , t) + λ f (x ,u , t)] .

Selanjutnya ditinjau persamaan Euler-Langrange dalam u ∗ yaitu

Dengan kenyataan

= 0, maka diperoleh persamaan ∂g a (x ∗ , ˙x ∗ ,u ∗ ,λ ∗ , t)

∗ [g(x ∗ ,u ∗ , t) + λ f (x ∗ ,u ∗ , t)] = 0.

Persamaan ( 8.12 ), ( 8.21 ) dan ( 8.22 ) memberikan kondisi perlu untuk menentukan kontrol optimal u ∗ (t) supaya nilai J pada persamaan ( 8.13 ) minimum. Kondisi perlu ini ter- diri dari (2n + p) persamaan yang mana sebanyak 2n persamaan differensial tingkat satu merupakan n persamaan dari persamaan ( 8.12 ) dan n persamaan dari persamaan ( 8.22 ) dan p persamaan dari persamaan ( 8.21 ). Penyelesaian dari 2n persamaan differensial tsb.

186 Formulasi masalah kontrol optimal..

akan memuat sebanyak 2n konstatanta. Untuk menghitung konstanta-konstanta ini, ada

sebanyak n kondisi batas di t = t 0 yang diberikan oleh persamaan x(t 0 ) = x0,

dan tambahan sebanyak n kondisi batas (sebanyak (n+1) kondisi batas bila waktu akhir

t 1 bebas) dari keadaan akhir pada t = t 1 .

Bila diperhatikan kuantitas dalam differensial parasial pada persamaan ( 8.21 ) dan ( 8.22 ) adalah sama. Digunakan hal ini untuk mendifinisikan suatu Hamiltonian sebagai berikut:

H(x, u, λ, t) def = g(x, u, t) + λ ′ f (x, u, t),

maka dari persamaan ( 8.21 ), ( 8.22 ) dan ( 8.23 ) dipereroleh ˙λ = − ∂

[H(x, u, λ, t)]

[H(x, u, λ, t)]

∂u dan persamaan ( 8.12 ) menjadi

˙x =

[H(x, u, λ, t)].

Untuk menyelesaikan kontrol optimal menggunakan cara Hamiltonian, harus diselesaikan persamaan ( 8.24 )-( 8.26 ) secara serempak. Cara yang mudah, pertama diselesaikan per- samaan ( 8.25 ) sehingga diperoleh kontrol optimal u ∗

u ∗ =u ∗ (x, λ, t)

selanjutnya substitusikan ke persamaan ( 8.23 ) sehingga diperoleh

H ∗ (x, λ, t) = H(x, u ∗ (x, λ, t), λ, t).

(8.28) Persamaan differensial ( 8.24 ) dan ( 8.25 ) menjadi sekumpulan dari 2n persamaan differen-

sial tingkat satu serentak:

Trayektori x ∗ (t) dan λ ∗ (t) diperoleh dengan menyelesaikan persamaan ini dengan sebanyak 2n kondisi batas, sedangkan kontrol optimal diperoleh dari persamaan ( 8.27 ).

Cara Hamiltonian.. 187 Contoh 52 Diberikan suatu sistem

˙x 1 (t) = x 2 (t) ˙x 2 (t) = u(t)

dengan keadaan awal x 1 (0) = x 2 (0) = 1 dan keadaan akhir x 1 (2) = x 2 (2) = 0. Dapatkan u ∗ supaya

J(u) =

u (t)dt

minimum. Jawab. Dibentuk Hamiltonian

1 2 H(x, u, λ, t) = u +λ 1 x 2 +λ 2 u.

Jadi H(x, u, λ, t) mencapai nilai minimum. Selanjutnya diperoleh

2 = − ∂x 2 = −λ 1 ⇒ ˙λ 2 = −c 1 ⇒λ 2 = −c 1 t+c 2 . Dari dua persamaan ( 8.31 ) dan ( 8.32 ), penylesaian x 1 dan x 2 masing-masing diberikan

oleh

x 1 (t) =

t − t +c 3 t+c 4

x 2 (t) =

t −c 2 t+c 3 .

188 Formulasi masalah kontrol optimal..

Dengan memasukkan nilai-nilai keadaan awal dan keadaan akhir pada x 1 (t) dan x 2 (t), diperoleh

x 1 (t) =

t − t +t+1

2 (t) =

t − t + 1.

Dalam hal ini juga diperoleh

Berikut ini diberikan beberapa ringkasan apa yang telah dibahas mengenai cara menye- lesaikan masalah kontrol optimal dengan menggunakan cara Hamiltonian sebagai berikut: Cari u ∗ (t) yang memenuhi persamaan ˙x(t) = f (x, u, t) dengan meminimumkan indeks perilaku

J = h(x(t 1 ), t 1 )+ g(x, u, t)dt.

Langka penyelesaian adalah

1 Bentuk Hamiltonian, yaitu H(x, u, λ, t) = g(x, u, t) + λ ′f(x, u, t).

2 Selesaikan persamaan kontrol

∂ H(x, u, λ, t) = 0 ∂u

untuk memperoleh u ∗ =u ∗ (x, λ, t).

3 Dapatkan Hamiltonian H ∗ (x, λ, t) = H(x, u ∗ , λ, t).

4 Selesaikan 2n persamaan 

 ˙x(t) = ∂λ H (x, λ, t)

(persamaan keadaan)

∂x H ∗ (x, λ, t) (persamaan ”ko − keadaan”) dengan kondisi batas diberikan oleh keadaan awal dan keadaan akhir.

˙λ(t) = − ∂

Cara Hamiltonian.. 189

5 Substisusikan hasil-hasil langka 4 kedalam u ∗ untuk memperoleh kontrol optimal yang dicari.

Sebegitu jauh kajian terdahulu diasumsikan bahwa kontrol u tak dibatasi. Dari asumsi ini kalkulus variasi dapat langsung digunakan untuk menyelesaikan masalah kontrol opti- mal. Turunan parsial dari H(x, u, λ, t) terhadap u yang diberikan dalam persamaan ( 8.25 ) adalah merupakan syarat perlu agar H(x, u, λ, t) mencapai minimum. Turunan parsial tsb. langsung bisa digunakan hanya untuk sebarang x, u, t dan bila u tak dibatasi.

Dalam kajian berikut ini kontrol u dibatasi sebagai berikut

(8.33) Pembatasan pada persamaan ( 8.33 ) tentunya untuk memberikan perbedaan dengan ka-

u(t) p ∈U⊂R .

jian yang terdahulu, disini u(t) hanya merupakan anggota sebagian dari himpunan R p . Selain itu pembatasan yang dilakukan mempunyai arti yang penting karena kontrol yang

dikenakan pada berbagai sistem harus dibatasi besarnya, juga biasanya banyaknya kontrol fisibel yang digunakan.

Jelas bahwa dalam hal tsb. diatas tidak memadai lagi memproses dengan metoda yang telah disajikan terdahulu. Pontryagin sudah menunjukkan bahwa yang berkaitan dengan adanya pembatasan dari u, kontrol optimal u ∗ dipilih tetap harus meminimumkan H. Hasil kerja keras Pontryagin memberikan suatu kontribusi yang berarti dalam teori kontrol optimal yang telah membuktikan fakta bahwa u ∗ yang dipilih harus meminimumkan H. Untuk alasan ini, pembahasan yang disajikan disini dinamakan sebagai Prinsip Minimum Pontryagin.

Dalam hal daerah kontrol "terbatas" dan "tertutup" kontrol optimal u ∗ (x, λ, t) diperoleh dengan meminimumkan H(x, u, λ, t) terhadap semua kontrol u dalam daerah kontrol U, sedangkan fariabel yang lainnya diperlakukan sebagai konstanta. Dengan kata lain, H(x, u, λ, t) mempunyai nilai minimum untuk vektor kontrol u ∗ (x, λ, t) yang sesuai. Dalam hal ini fungsi keadaan Pontryagin menjadi

H ∗ (x, λ, t) = H(x, u ∗ (x, λ, t), λ, t)

= min H(x, u, λ, t).

u ∈U

Bila U tidak dibatasi, jelas persamaan kontrol menjadi

∂ H(x, u, λ, t) = 0 ∂u

sebagaimana seperti yang telah dibahas. Berikut ini diberikan ringkasan prosedur menyelesaikan masalah kontrol optimal dengan

menggunakan cara minimum Pontryagin. Diberikan persamaan plant: ˙x(t) = f(x, u, t).

190 Formulasi masalah kontrol optimal..

R Diberikan indeks perilaku: J = h(x(t 1

1 ), t 1 )+ g(x, u, t)dt.

Diberikan konstraian fariabel kontrol: u ∈ U untuk semua t ∈ [t 0 ,t 1 ].

Langkah 1. Bentuk fungsi Pontryagin: H(x, u, λ, t) = g(x, u, t) + λ ′ f (x, λ, t). Langkah 2. Minimumkan H(x, u, λ, t) terhadap semua vektor kontrol untuk memperoleh

u ∗ =u ∗ (x, λ, t). Langkah 3. Dapatkan fungsi Pontryiagin H ∗ (x, λ, t) = min H(x, u, λ, t).

u ∈U

Langkah 4. Selesaikan sekumpulan 2n persamaan 

∂H ∗ (x, λ, t)

˙x(t) =

persamaan keadaan

persamaan ko − keadaan

∂x

dengan kondisi-kondisi batas diberikan. Langkah 5. Untuk memperoleh kontrol optimal substitusikan hasil Langkah 4 kedalam

ekspresi u ∗ . Contoh 53 Misalkan suatu sistem diberikan oleh persamaan keadaan

˙x 1 (t) = x 2 (t) ˙x 2 (t) = −x 2 (t) + u(t).

Indeks perilaku yang diminimumkan adalah

2 J= 2 (x

1 +u )dt.

Sedangkan kontrol yang dibatasi diberikan oleh pertidaksamaan

|u(t)| ≤ 1, t ∈ [t 0 ,t 1 ].

Dalam hal ini fungsi Pontryagin adalah

1 2 1 2 H(x, u, λ, t) = x 1 + u +λ 1 x 2 −λ 2 x 2 +λ 2 u.

Persamaan Hamilton-Jacobi.. 191 ∂

Dari H(x, u, λ, t) = 0, diperoleh u ∗ (t) = −λ 2 (t). Selanjutnya ditinjau beberapa keadaan ∂u untuk memperoleh kontrol optimal yang memenuhi pembatasan yang telah ditentukan.

Untuk |λ 2 (t)

| ≤ 1, diperoleh u ∗ (t) = −λ 2 (t). Sedangkan untuk |λ 2 (t) | > 1 diperoleh

2 (t) > 1 u ∗ (t) =

1, untuk λ 2 (t) < 1

Kontrol optimal strategi yang diperoleh diberikan dalam Gambar ??. Dalam hal ini kontrol optimal u ∗ (t) yang memenuhi kondisi pembatas diberikan oleh

untuk λ 2 (t) > 1

u ∗ (t) =

−λ 2 (t), untuk |λ 2 (t) |≤1

untuk λ 2 (t) < 1