Definicija grafa i osnovna svojstva

5.1 Definicija grafa i osnovna svojstva

Veliki ˇsvicarski matematiˇcar Leonhard Euler (1707-1783) smatra se utemelji- teljem teorije grafova. On je rijeˇsio do tada nerijeˇsen problem K¨onigsberˇskih mostova. Evo prikaza tog problema.

Problem 5.1 (K¨ onigsberˇ ski mostovi) K¨onigsberg je u 18. stolje´cu bio grad u istoˇcnoj Prusiji (danas je to grad Kalingrad u Rusiji) i kroz njega su prolazila dva rukavca rijeke Pregel (Slika

5.2), koja su okruˇzivala otoˇci´c Kneiphof. Na rijeci je bilo ukupno 7 mostova, koji su povezivali 4 dijela grada odvojena rijekom. Problem glasi da li je mogu´ce napraviti ˇsetnju gradom koja bi zapoˇcela na jednom dijelu grada, obuhvatila svih sedam mostova toˇcno jedanput i zavrˇsila u poˇcetnoj toˇcki?

Slika 5.2

Euler je taj problem rijeˇsio tako da je prvo naˇcinio model, koji danas nazivamo grafom. Dijelovi grada odvojeni vodom predstavljali su vrhove, a mostovi bridove tog grafa. Problem se sada svodio na to da se poˇcevˇsi od bio kojeg vrha prode kroz sve bridove toˇcno jedanput i vrati na poˇcetak. Takvo se obilaˇzenje u teoriji grafova Euleru u ˇcast danas naziva Eulerova staza.

POGLAVLJE 5. TEORIJA GRAFOVA 193

Slika 5.3

U naˇsim razmatranjima graf ´cemo promatrati kao matematiˇcku struk- turu. Teorija grafova je matematiˇcka disciplina koja prouˇcava zakonitosti na grafovima. Definirajmo prvo graf matematiˇckom definicijom. Kod defini- ranja novih pojmova u zagradama navest ´cemo engleske termine budu´ci da je velik dio literature iz teorije grafova na engleskom jeziku, a hrvatski pri- jevodi nisu standardizirani.

Definicija 5.1 Neusmjereni graf (eng. undirected graph) G je par (V, E), pri ˇcemu je V skup vrhova (eng. vertices) grafa, a E ⊆ V × V skup neuredenih parova elemenata iz V , koji ˇcini skup bridova (eng. edges) grafa

G. U ovoj ´cemo se knjizi baviti samo s konaˇcnim grafovima tj. grafovima

kod kojih je skup vrhova V neprazan konaˇcan skup i skup bridova E konaˇcan skup. Dozvoljavamo da je skup bridova prazan skup i takav graf onda zovemo nulgrafom (eng. null graph) ili praznim grfom. Dakle, nulgraf je graf kod kojeg je skup bridova prazan skup. Neusmjereni graf ´cemo ˇcesto jednostavno zvati grafom, a napomenut ´cemo posebno ako ´cemo raditi s usmjerenim grafom.

Primjer 5.1 Neka je V = {1, 2, 3, 4} i E = {{1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , {3, 4}}. Pripadni se graf moˇze prikazati na sljede´ci naˇcin. Sa slike je vidljivo da je mogu´ce i drugaˇcije oznaˇcavanje bridova i da vrijedi 12 = a, 13 = d, 23 =

b, 34 = c.

5.1. DEFINICIJA GRAFA I OSNOVNA SVOJSTVA

4 Slika 5.4

Definicija 5.2 Za par vrhova u i v kaˇzemo da su susjedni (eng. adjacent) ako postoji brid e, koji ih povezuje. Pri tome kaˇzemo da je brid e incidentan (eng. incident) vrhovima u i v.

Primjer 5.2 Za vrhove 1 i 3 kaˇzemo da su susjedni, jer su povezani bridom. Joˇs kaˇzemo i da su vrhovi 1 i 3 incidentni bridu d.

Bridovi e i f su susjedni ako imaju zajedniˇcki barem jedan vrh. Definicija 5.3 Graf G je planaran (ravninski) graf ako se grafiˇcki moˇze

predoˇciti tako da se bridovi sijeku samo u vrhovima.

Brid koji je incidentan samo s jednim jedinim vrhom se zove petlja. Graf G je konaˇcan ako su oba skupa V i E konaˇcni. Graf je jednostavan ako nema petlje i ako ne postoje dva brida koji

spajaju isti par vrhova. Ako drugaˇcije ne kaˇzemo, pod pojmom grafa podrazumijevat ´cemo je-

dnostavni graf, a kad govorimo o grafu koji moˇze sadrˇzavati petlje, govorit ´cemo o pseudografu.

Primjer 5.3 Na slici 5.5 prikazan je poznat Petersenov graf. Primjetite da je ovdje problem kako nacrtati graf tako da se bridovi sijeku samo u vrhovima. Petersenov graf je primjer grafa koji nije planaran.

Definicija 5.4 Jednostavni graf, u kojem je svaki par vrhova spojen jednim bridom, zove se potpuni graf (eng. complete graph). Potluni graf s vrhova oznaˇcavamo s K n .

POGLAVLJE 5. TEORIJA GRAFOVA 195

Slika 5.5

Primjer 5.4 Slijedi primjer potpunog grafa K 4 .

3 Slika 5.6

5.1. DEFINICIJA GRAFA I OSNOVNA SVOJSTVA

Definicija 5.5 Bipartitni graf (eng. bipartite graph) je graf za ˇciji skup vrhova postoji particija V = {X, Y } dva skupa X i Y , tako da svaki brid ima jedan kraj u X, a drugi u Y .

Potpuni bipartitni graf (eng. complete bipartite graph) je bipartitni graf kod kojeg je svaki vrh iz X spojen sa svakim vrhom u Y toˇcno jednim bridom.

Iz prethodne definicije slijedi da je potpuni, odnosno potpuni bipartitni graf u potpunosti odreden brojem svojih vrhova, odnosno brojem vrhova u particiji skupa vrhova.

Primjer 5.5 Slijedi primjer potpunog bipartitnog grafa K 3,2 .

Slika 5.7

Zadatak 5.1 Nacrtajte grafove K 3 ,K 5 ,K 2,3 iK 3,3 .

Definicija 5.6 Stupanj (valencija) vrha v je broj d(v) bridova od G inci- dentnih sa v.

Pri tome petlja u pseudografu doprinosi stupnju vrha kao dva brida, tj. ako graf ima jednu petlju njegov stupanj podiˇzemo za 2.

Zadatak 5.2 Kolika je maksimalna valencija vrha mogu´ca u grafu s n vrhova?

Teorem 5.1 Za jednostavni graf G = (V, E) vrijedi

X d(v) = 2ǫ,

v ∈V

gdje je ǫ broj bridova grafa G.

POGLAVLJE 5. TEORIJA GRAFOVA 197

Dokaz. U grafu bez petlji sumiranje stupnjeva grafa svodi se na prebro- javanje bridova koji su incidentni svakom pojedinom vrhu. Pri tome svaki brid brojimo dva puta, jer on spaja dva razliˇcita vrha.

Korolar 5.1 U svakom grafu broj vrhova neparnog stupnja je paran broj. Dokaz. Primijetimo da je

X d(v) = 2ǫ

v ∈V

paran broj. Raspiˇsimo sumaciju

X d(v)

v ∈V

kao sumu po vrhovima parnog stupnja i vrhovima neparnog stupnja:

d(v) =

d(v) +

d(v).

je paran

v je neparan

Lijeva strana jednakosti i lijeva suma na desnoj strani su parni brojevi, pa to mora biti i desna suma na desnoj strani. Kako su u

X d(v)

v ∈V v je neparan

sumandi neparni brojevi, treba ih biti paran broj, kako bi suma bila paran broj.

Prethodna se tvrdnja u literaturi moˇze na´ci pod nazivom Handshaking lemma ili Lema o rukovanju. Razlog tom nazivu je to ˇsto se problem te tvrdnje moˇze svesti na rjeˇsenje sljede´ceg problema: u danom skupu ljudi, broj ljudi koji se rukuju s neparnim brojem drugih ljudi, je paran broj.

Zadatak 5.3 Provjerite prethodni korolar na ranije navedenim primjerima. Zadatak 5.4 Nadite primjer grafa koji nije jednostavan, ima ˇcetiri vrha i

svi su vrhovi razliˇcitog stupnja.