Semantika U proˇslom smo poglavlju objasnili kako se tvore jeziˇcni konstrukti jezika

2.1.2 Semantika U proˇslom smo poglavlju objasnili kako se tvore jeziˇcni konstrukti jezika

raˇcuna sudova. Ovdje ´cemo opisati njihovo znaˇcenje, odnosno semantiku. Definicija 2.3 Neka je definirano proizvoljno preslikavanje i :

A → {⊥, ⊤}. Interpretacija je proˇsirenje preslikavanja i na skup svih sudova S definirano na sljede´ci naˇcin:

Neka su F, G ∈ S sudovi. Tada vrijede sljede´ce tvrdnje: • i(¬F ) = ⊤ ako i samo ako je i(F ) = ⊥, • i(F ∨ G) = ⊥ ako i samo ako je i(F ) = ⊥ i i(G) = ⊥, • i(F ∧ G) = ⊤ ako i samo ako je i(F ) = ⊤ i i(G) = ⊤, • i(F → G) = ⊥ ako i samo ako je i(F ) = ⊤ i i(G) = ⊥, • i(F ↔ G) = ⊤ ako i samo ako je i(F ) = i(G).

Primjer 2.2 Neka je zadana interpretacija s i(A) = ⊥, i(B) = ⊥, i(C) = ⊥. Treba izraˇcunati istinosnu vrijednost za sudove iz primjera 2.1.

• i(¬C) = ⊤, pa je i(B ∧ ¬C) = ⊥, i na kraju i(A ∨ (B ∧ ¬C)) = ⊥ • i(A → B) = ⊤. Isti tako je i(¬A) = ⊤, pa je u i(¬A ∨ B) = ⊤. Dakle

i((A → B) ↔ (¬A ∨ B)) = ⊤. • i(¬B) = ⊤, pa je i(A ∧ ¬B) = ⊥. Iz toga je i(C ↔ (A ∧ ¬B)) = ⊤.

Sljede´ci vaˇzan pojam, koji treba definirati, jest pojam logiˇcke posljedice.

2.1. RA ˇ CUN SUDOVA Definicija 2.4 Sud G je logiˇcka posljedica skupa sudova

F = {F 1 ,...,F n }, ˇsto se piˇse

F |= G ili F ⇒ G ako za svaku interpretaciju za koju vrijedi i(F i )= ⊤ za svaki F i ∈ F vrijedi i i(G) = ⊤.

Primjer 2.3 Pokaˇzimo da je sud B logiˇcka posljedica skupa sudova {A → }. B, A Pretpostavimo da vrijedi i(A → B) = ⊤ i i(A) = ⊤. Kada bi bilo i(B) = ⊥, onda bi, zbog i(A → B) = ⊤, iz definicije 2.3 slijedilo da je

i(A) = ⊥, a to je u suprotnosti s pretpostavkom da je i(A) = ⊤. Dakle, zakljuˇcujemo da je i(B) = ⊤.

Uz pojam logiˇcke posljedice usko je vezan joˇs jedan semantiˇcki pojam – pojam logiˇcke ekvivalencije.

Definicija 2.5 Sudovi F i G su logiˇcki ekvivalentni, ˇsto zapisujemo F ≡G ili F ⇔ G, ako za svaku interpretaciju i vrijedi da je i(F ) = i(G).

Iz definicije pojma logiˇcke ekvivalencije proizlazi sljede´ca karakterizacija logiˇcke ekvivalencije:

Propozicija 2.1 F ≡ G ako i samo ako vrijedi da je F |= G i G |= F . Dokaz. Napravite sami za vjeˇzbu.

Nadalje, iz definicije 2.3 lako se vidi da su operacije ∨, ∧ i ↔ komutativne. Takoder se vidi da za ∨ i ∧ vrijedi svojstvo asocijativnosti. Nadalje, lagano se vidi da vrijede svojstva distributivnosti veznika ∨ prema vezniku ∧ i obrnuto, distributivnosti veznika ∧ prema vezniku ∨. Sve to i joˇs neke

ˇcinjenice koje slijede iz definicije 2.3 sadrˇzane su u sljede´coj propoziciji: Propozicija 2.2 Za proizvoljne sudove F, G i H vrijedi

1. F ∨F≡F (idempotentnost)

2. F ∧F≡F (idempotentnost)

3. F ∨G≡G∨F (komutativnost)

4. F ∧G≡G∧F (komutativnost)

5. F ∨ (G ∨ H) ≡ (F ∨ G) ∨ H (asocijativnost)

6. F ∧ (G ∧ H) ≡ (F ∧ G) ∧ H (asocijativnost)

7. F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) (distributivnost)

8. F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H) (distributivnost)

9. F ∨ ¬F ≡ ⊤

POGLAVLJE 2. MATEMATI ˇ CKA LOGIKA

10. F ∧ ¬F ≡ ⊥

11. F ∨⊤≡⊤

12. F ∨⊥≡F

13. F ∧⊤≡F

14. F ∧⊥≡⊥

15. ¬¬F ≡ F (dvostruka negacija)

16. ¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G (de Morganov zakon)

17. ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G (de Morganov zakon)

18. F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H) (distributivnost)

19. F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) (distributivnost)

20. F → G ≡ ¬G ∨ F

21. F ↔ G ≡ (F ∧ G) ∨ (¬F ∧ ¬G)

22. F ↔ G ≡ (¬F ∨ G) ∧ (F ∨ ¬G) Dokaz. Napravite sami.

Definirali smo pojam logiˇcke posljedice, no koriste´ci samo tu definiciju, ponekad nije lako odrediti je li neka formula logiˇcka posljedica nekog skupa formula ili nije. Sre´com, postoje tzv. karakterizacije logiˇcke posljedice koje nam omogu´cuju da problem logiˇcke posljedice svedemo na problem tautologiˇcnosti, odnosno antitautologiˇcnosti logiˇcke formule, ˇsto predstavlja problem koji je mnogo lakˇse rijeˇsiti. No, prije no ˇsto to izvedemo, treba definirati joˇs nekoliko pojmova.

Sud F je tautologija ako je i(F ) = ⊤ za svaku interpretaciju i. Ako je sud F laˇzan u svakoj interpretaciji i, onda se on naziva antitautologija. Za sud koji nije antitautologija, tj. za koji postoji bar jedna interpretacija i takva da je i(F ) = ⊤, kaˇze se da je ispunjiv. Za sud koji nije tautologija, odnosno za koji postoji interpretacija i u kojoj je i(F ) = ⊥ kaˇze se da je otklonjiv ili da nije ispunjiv.

Teorem 2.1 (1. karakterizacija pojma logiˇ cke posljedice) Sud G je logiˇcka posljedica skupa sudova

F = {F 1 ,...,F n } ako i samo ako je sud (F 1 ∧...∧F n ) ∧ ¬G antitautololgija.

Dokaz. Neka je

F |= G. Ako u interpretaciji i ne vrijedi da je i(F k )= ⊤ za neki F k ∈ F, onda tvrdnja trivijalno vrijedi. Naime, u svakoj je interpretaciji

i koja ne zadovoljava gore napisani uvjet i(F 1 ∧...∧F n )= ⊥, pa je i i((F 1 ∧...∧F n ) ∧ ¬G) = ⊥.

2.1. RA ˇ CUN SUDOVA Pretpostavimo stoga da je i interpretacija takva da je i(F k )= ⊤ za svaki

F k ∈ F. No, prema definiciji 2.4 onda mora biti i i(G) = ⊤. Ali, onda je prema definiciji 2.3 i( ¬G) = ⊥, pa je i i((F 1 ∧...∧F n ) ∧ ¬G) = ⊥. Prema tome, u svakoj je interpretaciji i((F 1 ∧...∧F n ) ∧ ¬G) = ⊥, odnosno (F 1 ∧...∧F n ) ∧ ¬G je antitautologija. Obrnuto, neka je (F 1 ∧...∧F n ) ∧ ¬G antitautologija. Pretpostavimo

da je i interpretacija takva da je i(F k )= ⊤ za svaki F k ∈ F. Ako takva interpretacija ne postoji, onda je tvrdnja da je G logiˇcka posljedica od F trivijalno ispunjena. Dakle, neka je i takva interpretacija. Tada je i(F 1 ∧ ... ∧F n )= ⊤. No, kako je (F 1 ∧...∧F n ) ∧ ¬G, antitautologija, onda, prema definiciji 2.3 i( ¬G) mora biti ⊥. No, onda je, opet prema definiciji

2.3 i(G) = ⊤. Kako to vrijedi za svaku interpretaciju za koju je i(F k )= ⊤ za svaki F k ∈ F, zakljuˇcujemo da je G logiˇcka posljedica od F.

Teorem 2.2 (2. karakterizacija pojma logiˇ cke posljedice) Sud G je logiˇcka posljedica skupa sudova

F = {F 1 ,...,F n } ako i samo ako je sud (F 1 ∧...∧F n ) → G tautololgija.

Dokaz. Neka je

F |= G. Ako je i interpretacija takva da ne vrijedi i(F k )= ⊤ za svaki F k ∈ F, onda za svaku intepretaciju i vrijedi i(F 1 ∧. . .∧F n )= ⊥, pa onda, prema definiciji 2.3, vrijedi i((F 1 ∧...∧F n ) → G) = ⊤. Neka vrijedi i(F k )= ⊤ za svaki F k ∈ F. Tada, zbog pretpostavke da je

G logiˇcka posljedica od

F mora biti i(G) = ⊤. No, onda je, prema definiciji

2.3 i((F 1 ∧...∧F n ) → G) = ⊤. Dakle, u svakom sluˇcaju je i((F 1 ∧...∧F n ) → G) = ⊤, pa je (F 1 ∧...∧

F n ) → G tautologija. Obrnuto, neka je (F 1 ∧...∧F n ) → G tautologija. Ako ne postoji in- tepretacija u kojoj je i(F k )= ⊤ za svaki F k ∈ F, onda trivijalno slijedi da je

F. Neka je, stoga, i takva interpretacija. U njoj je, prema definiciji 2.3 i(F 1 ∧. . .∧F n )= ⊤. Kako je sud (F 1 ∧. . .∧F n ) → G) po pretpostavci tautologija, onda prema definiciji 2.3 i(G) mora biti ⊤. Dakle,

G logiˇcka posljedica od

G je logiˇcka posljedica od F. Sliˇcno se moˇze postaviti i karakterizacija pojma logiˇcke ekvivalencije:

Teorem 2.3 (Karakterizacija pojma logiˇ cke ekvivalencije) Dva suda F i G su logiˇcki ekvivalentni ako i samo ako je sud F ↔G tautologija.

Dokaz. Izvedite sami. Formalni sustavi

Semantiˇcki izvodi, poput izvoda u primjeru 2.3, mogu biti sloˇzeni i teˇski. Stoga se uvode formalni sustavi za izvodenje, koji se sastoje od pravila izvoda, koja iz sudova izvode njihove logiˇcke posljedice.

POGLAVLJE 2. MATEMATI ˇ CKA LOGIKA

23 Ovdje ´cemo prikazati dva sustava: jedan koji se temelji na klasiˇcnom ma-

tematiˇckom izvodenju, i drugi koji je posebno pogodan za dedukciju pomo´cu raˇcunala.

Prvi sustav, koji se naziva F -sustav , sastoji se od osam pravila izvoda - po dva pravila za svaki veznik. Za svaki veznik se definira pravilo uvodenja

i eliminacije. Ovaj se sustav joˇs naziva i sustav prirodne dedukcije jer se njegovi aksiomi temelje na standardnim logiˇckim pravilima zakljuˇcivanja. Takoder, ovaj je sustav ponekad referiran kao Fitchov sustav , prema ame- riˇckom logiˇcaru Frederichu Fitchu, koji je prvi formalizirao ovaj sustav, povode´ci se za prirodnim pravilima dedukcije, koje matematiˇcari koriste u svojoj praksi. Pravila izvoda se u F-sustavu mogu prikazati grafiˇcki.

Prva dva pravila se odnose na konjunkciju. Prvo od njih je pravilo uvodenja konjunkcije ( ∧ Intro).

F n .. .

⇒F 1 ∧...∧F n Drugo je pravilo eliminacije konjunkcije ( ∧ Elim)

F 1 ∧...∧F n .. .

⇒F i Oba ova pravila su jasna i jednostavna.

Sljede´ca dva pravila bit ´ce pravila vezana uz disjunkciju. No, prije nego ih iskaˇzemo, moramo uvesti pojam poddokaza. Poddokaz je segment unutar dokaza, koji uz dodatne uvjete dokazuje odredenu tvrdnju. Treba joˇs jed- nom naglasiti da se tvrdnje unutar poddokaza izvode uz dodatne uvjete, koji op´cenito ne moraju vrijediti. Stoga tvrdnje koje su dokazane unutar pod- dokaza takoder ne moraju vrijediti op´cenito. Zbog toga koriˇstenje tvrdnji dokazanih u poddokazu izvan poddokaza nije dozvoljeno, osim ako to pravi- lo izvoda izriˇcito ne nalaˇze. Jedno takvo pravilo koje omogu´cuje koriˇstenje tvrdnje dokazane u poddokazu izvan samog poddokaza jest pravilo elimi- nacije disjunkcije.

Uvodenje disjunkcije ( ∨ Intro)

F i .. .

⇒F 1 ∨...∨F n Eliminacija negacije ( ¬ Elim)

2.1. RA ˇ CUN SUDOVA

F 1 ∨...∨F n

F 1 .. .

F n .. .

S ⇒S Pravilo eliminacije disjunkcije zahtjeva dodatno objaˇsnjenje. Naime, kao

ˇsto je ve´c reˇceno,

F sustav slijedi standardne matematiˇcke tehnike dokazi- vanja. Neka pravila su samo koraci u direktnom dokazivanju. Takva su pravila uvodenje i eliminacija konjunkcije te uvodenje disjunkcije. Druga

opet pravila predstavljaju strategije dokazivanja. Takvo je pravilo elimi- nacija disjunkcije. Pravila koja predstavljaju strategije dokazivanja imaju u matematici i druge nazive, koji su ve´c spomenuti u poglavlju 1.2, gdje se ono zove dokaz podjelom na sluˇcajeve.

Sada ´cemo uvesti dva pravila koja se odnose na negaciju. Uvodenje negacije ( ¬ Intro)

F .. .

G ∧ ¬G ⇒ ¬F Eliminacija negacije ( ¬ Elim)

¬¬F 1 .. .

⇒F Elimincija negacije je joˇs jedno pravilo koje predstavlja jednostavan ko- rak direktnog dokaza. S druge strane, uvodenje negacije je joˇs jedna, moˇzda ˇcak i najˇceˇs´ce koriˇstena, strategija dokazivanja - dokazivanje obaranjem

suprotnog ili dokazivanje svodenjem na kontradikciju, ili pak na latinskom reductio ab absurdum.

Na kraju, ostali su nam kondicional i bikondicional. Uvodenje kondicionala ( → Intro)

F .. .

G ⇒F→G Eliminacija kondicionala ( → Elim)

POGLAVLJE 2. MATEMATI ˇ CKA LOGIKA

F →G

F .. .

⇒G Uvodenje kondicionala je osnovna strategija dokazivanja sudova koji

imaju kauzalnu formu, tj. koje sadrˇze kondicional. S druge strane, elimi- nacija kondicionala je samo korak u dokazivanju. Pravilo eliminacije kondi- cionala ima, medutim, znaˇcajnu ulogu u mnogim logiˇckim sustavima, po- sebno sustavima koji se koriste u klasiˇcnoj logici. Zato ima i posebno ime - modus ponens, ˇsto u prijevodu znaˇci ”metoda potvrdivanja”.

Uvodenje bikondicionala ( ↔ Intro)

F .. .

G .. .

F ⇒F↔G

Eliminacija bikondicionala ( ↔ Elim)

F ↔G

F . ..

⇒G Sliˇcno kao ˇsto je reˇceno za uvodenje kondicionala, uvodenje bikondi-

cionala je osnovna strategija dokazivanja reˇcenica koje sadrˇze bikondicional. Definicija 2.6 Neka je

F skup sudova i neka je G sud. Tada se niz sudova

F pomo´cu formalnog sustava S ako za svaki i = 1, . . . , n vrijedi jedna od sljede´cih tvrdnji

G 1 ,...,G n : G naziva izvod suda G iz skupa sudova

•G i ∈ F, • postoje j 1 ,...,j k ≤ i takvi da je G i dobiveno primjenom nekog pravila

izvoda iz sustava S na sudove G j 1 ,...,G j k .

F pomo´cu sustava S ako postoji izvod suda G iz F pomo´cu formalnog sustava S. To se oznaˇcava sa F ⊢ S G

Sud G je izvediv iz

Za izvodenje svakog formalnog sustava bitne su dvije stvari. Prva je da je sustav korektan. To znaˇci da sve ˇsto se pomo´cu sustava moˇze izvesti jest logiˇcka posljedica onoga iz ˇcega je izvedeno. Drugim rijeˇcima, da iz F⊢ S G slijedi

F |= G. Druga stvar, koja je jednako bitna, jest potpunost sustava. Tu se radi o tome da iz

G, odnosno da sustav mora biti u stanju dokazati svaku logiˇcku posljedicu zadanih pretpostavki.

F |= G mora slijediti F ⊢ S

2.1. RA ˇ CUN SUDOVA Teorem 2.4 Neka je

F skup sudova i neka je G sud. Tada vrijedi: • Ako je F ⊢ F G onda je

F |= G.

• Ako je F |= G onda je F ⊢ F G.

Dakle, F sustav je korektan i potpun. Dokaz ovog teorema je priliˇcno dugaˇcak, pa ´cemo ga preskoˇciti. U projektima vezanim uz ovo poglavlje postoji i projekt dokazivanja ovog teorema.

Dajmo sada nekoliko primjera dokazivanja pomo´cu ovog sustava. Primjer 2.4 Dokaˇzimo da iz A i ¬A slijedi B.

( ¬ Intro: 3-4)

6. B

( ¬ Elim: 5)

Primjer 2.5 Dokaˇzimo pravilo modus tollens (metoda opovrgavanja), o- dnosno da iz A → B i ¬B slijedi ¬A.

( ¬ Intro: 3-5)

Primjer 2.6 Dokaˇzimo joˇs pravilo distributivnosti disjunkcije prema ko- njunkciji.

Za to su potrebna dva smjera dokaza, tj. treba iz F ∨ (G ∧ H) dokazati (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) i obrnuto.

1. F ∨ (G ∧ H)

2. F

4. F ∨G ( ∨ Intro: 2)

5. F ∨H ( ∨ Intro: 2)

6. (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) ( ∧ Intro: 4,5)

7. G ∧H

8. G ( ∧ Elim: 7)

9. F ∨G ( ∨ Intro: 8)

10. H ( ∧ Elim: 7)

11. F ∨H ( ∨ Intro: 10)

12. (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) ( ∧ Intro: 9,11)

13. (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) ( ∨ Intro: 1,2-6,7-12)

POGLAVLJE 2. MATEMATI ˇ CKA LOGIKA

27 Drugi sustav za dokazivanje koji ´cemo ovdje obraditi, a koji je posebno

pogodan za automatsku dedukciju, naziva se rezolucijski postupak. On je posebno pogodan za automatsku dedukciju jer se sastoji od jednog jedinog pravila izvoda – pravila rezolucije.

F ∨A

G ∨ ¬A .. .

⇒F∨G Da bi se koristio rezolucijski izvod, prvo je potrebno pretpostavke zami-

jeniti ekvivalentnim sudovima u konjunktivnoj normalnoj formi. Definicija 2.7 Neka je A atom. Tada se sudovi A i ¬A nazivaju literali.

Pri tome je A pozitivni, a ¬A negativni literal. Neka su L 1 ,...,L k literali. Tada se sud L 1 ∨...∨L k naziva disjunkt. Neka su D 1 ,...,D n disjunkti. Tada se za sud D 1 ∧...∧D n kaˇze da je u konjunktivnoj normalnoj formi.

Teorem 2.5 Za svaki sud raˇcuna sudova postoji logiˇcki ekvivalentan sud u konjunktivnoj normalnoj formi.

Umjesto dokaza ovdje ´cemo opisati kako se za zadanu formulu konstruira ekvivalentan sud u konjunktivnoj normalnoj formi. U propoziciji 2.2 dane su ekvivalencije ˇcijim se koriˇstenjem svaki sud raˇcuna sudova moˇze prevesti u ekvivalentan sud u konjunktivnoj normalnoj formi. Uz opis koraka dat ´cemo i primjer kako se pojedini koraci konkretno provode.

Primjer 2.7 Kao primjer uzet ´cemo sud (A ↔ B) ∧ ¬(A → (B ∧ ¬C)).

1. Prvo se pomo´cu posljednja tri pravila opisana u propoziciji 2.2 eli- miniraju svi kondicionali i bikondicionali koji se pojavljuju u sudu i zamijenjuju se konjunkcijama, disjunkcijama i negacijama.

(A ↔ B)∨¬(A → (B∧¬C)) ≡ ((A∨¬B)∧(¬A∨B))∧¬(¬A∨(B∧¬C))

2. Nakon toga se koriste de Morganovi zakoni i pravilo dvostruke ne- gacije kako bi se eliminirale negacije koje djeluju na sloˇzenim sudovima. Naime, u konjunktivnoj normalnoj formi negacije djeluju samo na atomima.

((A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ B)) ∨ ¬(¬A ∨ (B ∧ ¬C)) ≡ ((A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ B)) ∨ (¬¬A ∧ ¬(B ∧ ¬C))

≡ ((A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ B)) ∨ (A ∧ ¬(B ∧ ¬C)) ≡ ((A ∨ ¬B) ∨ (¬A ∨ B)) ∧ (A ∧ (¬B ∨ ¬¬C)) ≡ ((A ∨ ¬B) ∨ (¬A ∨ B)) ∧ (A ∧ (¬B ∨ C))

2.1. RA ˇ CUN SUDOVA

3. Na kraju se primjenom pravila distributivnosti i asocijativnosti sud prevodi u konjunktivnu normalnu formu.

((A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ B)) ∨ (A ∧ (¬B ∨ C)) ≡ ((A ∨ ¬B) ∨ (A ∧ (¬B ∨ C))) ∧ ((¬A ∨ B) ∨ (A ∧ (¬B ∨ C)))

≡ (((A ∨ ¬B) ∨ A) ∧ ((A ∨ ¬B) ∨ (¬B ∨ C))) ∧(((¬A ∨ B) ∨ A) ∧ ((¬A ∨ B) ∨ (¬B ∨ C))) ≡ (A ∨ ¬B ∨ A) ∧ (A ∨ ¬B ∨ ¬B ∨ C) ∧ ( ¬A ∨ B ∨ A) ∧ (¬A ∨ B ∨ ¬B ∨ C)

Nakon ˇsto se prevede u konjunktivnu normalnu formu, sud se moˇze, pri- mjenom pravila idempotencije, komutativnosti te pravila 9-14 iz propozicije

2.2 dodatno urediti. Tako se, npr., u drugom disjunktu suda iz primjera nalazi fragment ¬B ∨

¬B, ˇsto se prema idempotenciji mijenja s ¬B, a u ˇcetvrtom disjunktu se B ∨ ¬B prema pravilu 9 mijenja s ⊤, zbog ˇcega se cijeli ˇcetvrti disjunkt, prema pravilu 11, mijenja s ⊤, a onda se, prema pravilu 13, moˇze u potpunosti ukloniti iz suda. Takoder, primjenom pravila komutativnosti i idempotencije prvi disjunkt se pretvara u A ∨ B, dok se primjenom pravila komutativnosti te pravila 9 i 11 tre´ci disjunkt pretvara u ⊤, nakon ˇcega se zbog pravila 14 moˇze ukloniti iz suda.

Nakon toga ´ce formula izgledati ovako:

(A ∨ ¬B) ∧ (A ∨ ¬B ∨ C).

Sada, kad smo iznijeli naˇcin pretvaranja suda u konjunktivnu normalnu formu, moˇzemo opisati postupak dokazivanja pomo´cu rezolucijskog pravi- la. Prije nego ˇsto se krene u sam izvod, potrebno je urediti pretpostavke

i zakljuˇcak koji ˇzelimo dokazati. Kod rezolucijskog postupka nikada se za- kljuˇcak ne dokazuje izravno, ve´c se uvijek obara njegova negacija. Stoga je, prije svega, potrebno negirati zakljuˇcak koji ˇzelimo dokazati. Nakon toga se sve pretpostavke i zakljuˇcak pretvaraju u konjunktivnu normalnu formu. Time se dobija skup sudova u konjunktivnoj normalnoj formi, koji se sastoji od pretpostavki i negacije zakljuˇcka. Lako je dokazati da vrijedi {A, B} ≡ {A ∧ B}. Stoga se svaki sud u konjunktivnoj normalnoj formi u skupu moˇze zamijeniti s jednim ili viˇse sudova, koji su po svom obliku di- sjunkti. Na tako dobiven skup disjunkata se primijenjuje pravilo rezolucije, u ˇzelji da se iz skupa izvede prazan disjunkt. Prazan disjunkt ili refutacija oznaˇcava se s ⊥ i predstavlja antitautologiju. Dobije li se refutacija, negacija je zakljuˇcka oborena, a zakljuˇcak je dokazan.

Da bi se ovaj postupak mogao koristiti potrebno je imati sljede´ci teorem: Teorem 2.6 Rezolucijski postupak je potpun i korektan za raˇcun sudova.

POGLAVLJE 2. MATEMATI ˇ CKA LOGIKA

29 Primjer 2.8 Dokaˇzimo rezolucijom da iz A i ¬A slijedi B. Zakljuˇcak se

negira i dobije se ¬B. Svi su sudovi ve´c u konjunktivnoj normalnoj formi, pa moˇzemo krenuti na rezolucijski izvod:

4. ⊥ (Res: 1,2) Primjer 2.9 Dokaˇzimo pravilo modus tollens, odnosno da iz A → B i ¬B

slijedi ¬A. Negacija zakljuˇcka je ¬¬A, odnosno A. Prvi se sud pretvara u ¬A ∨ B, te imamo

Detaljnim razmatranjem rezolucijskog postupka i njegovom implementa- cijom na raˇcunalu do´ci ´ce se do dedukcijskog algoritma temeljenog na metodi pretraˇzivanja s vra´canjem (backtracking). Problem je u tome ˇsto je taj algo- ritam u najgorem sluˇcaju sloˇzenosti O(2 n ). Naˇzalost, poboljˇsanje sloˇzenosti najgoreg sluˇcaja ovog algoritma nije mogu´ce. No, mogu´ce je poboljˇsati njegovu prosjeˇcnu sloˇzenost. S tom su idejom smiˇsljena poboljˇsanja rezolu- cijskog postupka nazvana semantiˇcka rezolucija, a posebno njen specijalni sluˇcaj hiperrezolucija, te na kraju linearna rezolucija, koja se koristi u pro- gramskom jeziku Prolog. Viˇse o tim rezolucijskim postupcima ˇcitatelj moˇze na´ci u [3].