Diskretna matematika s teorijom grafova

Predgovor

Ova je knjiga nastala u ˇzelji da se kolegij Diskretne strukture s teorijom grafova, koji autori predaju na poslijediplomskom studiju informacijskih znanosti na Fakultetu organizacije i informatike Sveuˇciliˇsta u Zagrebu od 2002. godine, opermi prikladnom literaturom. Stoga je ova knjiga prilago- dena studentima kojima je glavno podruˇcje izuˇcavanja informatika, i to ne samo onima koji studiraju na Fakultetu organizacije i informatike.

Grada ove knjige birana je tako da daje skup matematiˇckih formalizama koji imaju ˇsiroku primjenu u informatici i raˇcunalstvu. Stoga ova knjiga moˇze biti od pomo´ci i inˇzenjerima koji se profesionalno bave raˇcunarstvom i informatikom. Zbog toga autorima nije bio glavni cilj da uvijek, pod svaku cijenu gradivo predoˇce u svoj matematiˇckoj strogosti i sa svim matematiˇckim aspektima koji se mogu razmatrati. Odrˇzavˇsi dovoljno matematiˇcke egzak- tnosti, autori su pokuˇsali gradivo izloˇziti tako da ga bude ˇsto lakˇse primijeniti na konkretne probleme, koji se u informatici i raˇcunalstvu susre´cu.

Sadrˇ zaj knjige Prvo poglavlje ove knjige je naslovljeno Uvod, i predstavlja skup osnovnih

pojmova koje je nuˇzno definirati da bi sljede´ca poglavlja mogla biti korektno predstavljena. Ona sadrˇzi opis metoda koje se koriste u matematici, modela te op´cenite tehnike koje matematiˇcari koriste u dokazivanju. Uvodno je poglavlje napisala Blaˇzenka Divjak.

Sljede´ce poglavlje predstavlja produˇzetak prvog, uvodnog poglavlja i donosi opis matematiˇcke logike, a isto tako dva formalna dedukcijska susta- va - F-sustav i rezolucijsku proceduru. F-sustav predstavlja formalizaciju pravila dokazivanja opisanih u poglavlju 1.2. S druge strane, rezolucijska procedura predstavlja deduktivni sustav, koji je posebno pogodan za dokazi- vanje teorema pomo´cu raˇcunala. Poglavlje o matematiˇckoj logici napisao je Alen Lovrenˇci´c.

U tre´cem poglavlju se uvode pojmovi koji pripadaju diskretnoj mate- matici - relacije, funkcije, skupove, pojam rekurzivne jednadˇzbe, rjeˇsavanje rekurzivnih jednadˇzbi, te na kraju, diskretnu teoriju vjerojatnosti. Ovo je poglavlje napisala Blaˇzenka Divjak, osim dijelova o rekurzijama i diskretne U tre´cem poglavlju se uvode pojmovi koji pripadaju diskretnoj mate- matici - relacije, funkcije, skupove, pojam rekurzivne jednadˇzbe, rjeˇsavanje rekurzivnih jednadˇzbi, te na kraju, diskretnu teoriju vjerojatnosti. Ovo je poglavlje napisala Blaˇzenka Divjak, osim dijelova o rekurzijama i diskretne

teorije vjerojatnosti, koje je napisao Alen Lovrenˇci´c. Ovo je ujedno i poglav- lje koje sadrˇzi raznolike sadrˇzaje - sve ono iz podruˇcja diskretne matematike

ˇsto se intenzivno koristi u informatici i raˇcunalstvu. U ˇcetvrtom se poglavlju obraduje vrlo vaˇzan pojam, kako u matematici, tako i u raˇcunalstvu i informatici - pojam algoritma. Poglavlje se sastoji od tri dijela. U prvom se dijelu uvodi i objaˇsnjava pojam algoritma. Drugi dio daje pregled teorije sloˇzenosti algoritama, dok je tre´ci dio primjeran i daje algoritme iz jednog vrlo vaˇznog podruˇcja - podruˇcja pretraˇzivanja i sortiranja niza elemenata. Ovo je poglavlje napisao Alen Lovrenˇci´c.

Peto poglavlje daje teoriju grafova, koja je iznimno vaˇzna i koriˇstena matematiˇcka teorija u raˇcunarstvu i informatici, ali i u mnogim drugim znanstvenim i struˇcnim granama. Poglavlje sadrˇzi niz vrlo vaˇznih proble- ma, kako u informatici i raˇcunarstvu, tako i u drugim srodnim granama, od problema pronalaˇzenja puteva, ˇsetnji i ciklusa te razapinju´cih stabala, pa do protoka i rezova te bojenja vrhova i bridova grafa. Autor ovog poglavlja je Blaˇzenka Divjak.

ˇ Sesto poglavlje daje opis osnovnih algebarskih struktura. One su znaˇcaj- ne u teoriji raˇcunalstva, optimizaciji, teoriji algoritama, teoriji inteligentnih

agenata itd. Algebarske strukture su matematiˇcki okvir u koji se, zbog njihovih dobro definiranih svojstava uklapaju mnogi problemi, koji na taj naˇcin dobijaju novi kut glediˇsta pa se tako ˇcesto dobijaju novi rezultati vezani uz problem. Ovo je poglavlje napisala Blaˇzenka Divjak.

Posljednje poglavlje je zamiˇsljeno, na neki naˇcin, kao poanta cijele knjige. Ono sadrˇzi matematiˇcki sadrˇzaj, koji je nastao tijekom godina iz pokuˇsaja

da se matematiˇcki opiˇse intuitivni pojam algoritma. Tako je nastala cijela teorija automata i jezika, ˇcije su osnove opisane u ovom poglavlju. No, ovo poglavlje ima joˇs jednu vaˇznost za ovu knjigu - ono na neki naˇcin opravdava izbor sadrˇzaja cijele knjige, koriste´ci mnogo od prije opisanog sadrˇzaja. Ovo zavrˇsno poglavlje napisao je Alen Lovrenˇci´c.

Kako koristiti knjigu Ova knjiga sadrˇzi zaista razliˇcite matematiˇcke sadrˇzaje, koji se mogu zasebno

prouˇcavati. Pri tome ne ˇzelimo re´ci da su poglavlja u potpunosti nezavisna

i da se ni u jednom od njih ne koriste rezultati iz prethodnih poglavlja, no ta veza nije toliko snaˇzna da bi zahtjevala slijedno prouˇcavanje sadrˇzaja. ˇ Stoviˇse, tre´ce poglavlje napisano je tako da se njegova podpoglavlja mogu

i sama izuˇcavati zasebno. ˇ Sto se tiˇce ostalih poglavlja, ona, uglavnom, za- htjevaju slijedno prouˇcavanje.

Neki su dijelovi knjige napisani manjim slovima. To su dijelovi koji se odnose na nadogradnje osnovnog materijala i na naprednije gradivo, koje se moˇze izostaviti kod prvog ˇcitanja. Ti se dijelovi nikako ne mogu smatrati nevaˇznima, ve´c onima koji zahtjevaju ve´ci angaˇzman i detaljnije poznavanje

PREDGOVOR iii

podruˇcja. Pri izlaganju teksta su neki dijelovi izostavljeni i ostavljeni za samostalan rad ˇcitatelja, bilo kao zadaci unutar teksta, bilo kao izostavljeni dokazi ili problemi. U svakom sluˇcaju, izostavljeni dijelovi su paˇzljivo odabrani, tako

da bi ih ˇcitatelj tijekom ˇcitanja morao mo´ci bez ve´cih problema i priprema samostalno izraditi. Autori preporuˇcuju da se zadaci unutar teksta, kao i dokazi za koje je napomenuto da su ostavljeni za samostalan rad ˇcitatelju, svakako tijekom ˇcitanja izrade, jer na taj naˇcin ˇcitatelj ve´c tijekom samog ˇcitanja poˇcinje baratati pojmovima koje prouˇcava, ˇsto znatno pove´cava nji- hovu razumljivost.

Na kraju svakog poglavlja nalaze se zadaci. Zadaci pokrivaju sadrˇzaj poglavlja uz koje su vezani i svakako se preporuˇcuje da se zadani zadaci rijeˇse. Oni ne sluˇze samo za ponavljanje gradiva poglavlja, ve´c djelomiˇcno i nadograduju sadrˇzaj. Zadaci mogu ˇcitatelju pokazati koliko je zaista shvatio ono ˇsto je proˇcitao, ali mu mogu i dodatno objasniti neke detalje koji iz samog teksta nisu bili jasni.

Osim toga, svako je poglavlje opskrbljeno i problemima. Od ˇcitatelja se ne oˇcekuje da izradi rjeˇsenje svakog problema u knjizi, jer su problemi zamiˇsljeni kao studijski zadaci, koji zahtjevaju duˇzi rad detaljnije prouˇca- vanje literature i dublje upoznavanje podruˇcja na koje se odnose. Svakako, ovi problemi su pogodni za izradu seminarskih radova studenata koji sluˇsaju kolegije koji pokrivaju podruˇcje opisano u ovoj knjizi, ali oni predstavljaju

i ideje za daljnji samostalan rad svim ˇcitateljima zainteresiranim za nado- gradnju znanja iz danog podruˇcja. Svako poglavlje ima i literaturu koja je koriˇstena pri izradi sadrˇzaja, ali koja isto tako predstavlja smjernice za daljnji rad ˇcitateljima koji su posebno zainteresirani za sadrˇzaj dotiˇcnog poglavlja.

Zahvale i pokude Uobiˇcajeno je da se u predgovoru popiˇsu ljudi koji su autorima pomogli u

izdavanju knjige te da se pokude autori ˇsto je u knjizi ostalo joˇs pogreˇsaka

i ˇsto su neki sadrˇzaji moˇzda ostali nedovoljno pokriveni, pa ´cemo se i mi drˇzati tog obiˇcaja. No, uprkos naˇsem pristajanju na obiˇcaj, napravit ´cemo, matematiˇcki reˇceno, inverziju, pa ´cemo na poˇcetku zahvaliti naˇsim obiteljima. Oni su nas podupirali pri pisanju ove knjige, ˇcesto i ne znaju´ci toˇcno o ˇcemu se radi, imaju´ci puno povjerenje u nas i ono ˇsto radimo, odriˇcu´ci se onoga ˇsto im pripada - naˇse paˇznje.

Zahvaljujemo naˇsim recenzentima Mirku ˇ Cubrilu, Tihomiru Hunjaku

i Mariu Krni´cu (abecednim redom) koji su svojim sugestijama doprinijeli poboljˇsanju ove knjige, ali koji su, isto tako, garantiraju´ci svojim imenima kvalitetu ove knjige, omogu´cili da ona bude izdana. Knjiga je izdana uz i Mariu Krni´cu (abecednim redom) koji su svojim sugestijama doprinijeli poboljˇsanju ove knjige, ali koji su, isto tako, garantiraju´ci svojim imenima kvalitetu ove knjige, omogu´cili da ona bude izdana. Knjiga je izdana uz

potporu projekta TEMPUS ”Aspects of Information and Organization Sys- tems: Curriculum Development” (CD-JEP-16086-2001), na kojem su oba autora predano radila.

Zahvaljujujemo naˇsim izdavaˇcima: Fakultetu organizacije i informatike i TIVA-i. Posebno zahvaljujemo Mireli Ostroˇski, na ˇcitenju teksta i na izradi nekih zadataka, te Renati Horvatek, koja je napravila lekturu teksta.

Na kraju, sve pokude za pogreˇske koje su ”opstale” nakon svih isˇcitavanja knjige, nedostatke teksta, nejasno´ce i bilo koje probleme na koje ´ce ˇcitatelj nai´ci zadrˇzavamo iskljuˇcivo za sebe.

Svim ˇcitateljima ˇzelimo ugodan i plodonosan rad uz ovu knjigu.

B. Divjak,

A. Lovrenˇci´c Varaˇzdin, 2005.

Sadrˇ zaj

Predgovor i

1 Uvod

1.1 Matematiˇcke metode i modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Znanstvena metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Matematiˇcki model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3 Struktura matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Tehnike dokazivanja u matematici . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Sudovi i matematiˇcka logika kao okvir za matematiˇcke tvrdnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Dokazivanje matematiˇckih tvrdnji . . . . . . . . . . .

1.2.3 Matematiˇcka indukcija i skup prirodnih brojeva . . . .

1.2.4 Princip dobrog uredaja u skupu N . . . . . . . . . . . 11

1.3 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Matematiˇ cka logika

2.1 Raˇcun sudova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 Sintaksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.2 Semantika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Predikatni raˇcun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1 Sintaksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2 Semantika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.3 Formalni sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Diskretna matematika

3.1 Skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.1 Zadavanje skupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.2 Relacije medu skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.3 Partitivni skup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.4 Operacije na skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.5 Kartezijev produkt skupova . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.5 Kartezijev produkt skupova . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2 Binarne relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.1 Binarne relacije na diskretnim skupovima . . . . . . . 49

3.2.2 Obrat relacije, komplement relacije i dualna relacija . 51

3.3 Relacija ekvivalencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.1 Definicija i svojstva relacija ekvivalencije ....... 51

3.3.2 Kongruencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.3 Aritmetika u Z k ..................... 60

3.3.4 Joˇs neka svojstva binarnih relacija . . . . . . . . . . . 62

3.4 Uredajne binarne relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4.1 Relacija parcijalnog uredaja . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4.2 Relacija djeljivosti na skupu cijelih brojeva . . . . . . 67

3.5 Funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5.1 Kompozicija funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5.2 Bijekcija. Inverzna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5.3 Funkcije kao relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5.4 Realne funkcije realne varijable . . . . . . . . . . . . . 72

3.6 Graf funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6.1 Neka svojstva realnih funkcija realne varijable . . . . 73

3.6.2 Konaˇcni i beskonaˇcni skupovi . . . . . . . . . . . . . . 78

3.7 Rekurzivne relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.7.1 Uvod ........................... 79

3.7.2 Rjeˇsavanje rekurzija - karakteristiˇcna jednadˇzba ... 82

3.7.3 Rjeˇsavanje rekurzivnih jednadˇzbi - funkcije izvodnice . 91

3.8 Diskretna teorija vjerojatnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.8.1 Osnove kombinatorike . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.8.2 Osnovne definicije i teoremi diskretne teorije vjerojat- nosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.8.3 Uvjetna vjerojatnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.8.4 Sluˇcajne varijable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.1 Pojam algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.2 Sloˇzenost algoritama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.3 Pretraˇzivanje i sortiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.3.1 Pretraˇzivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.3.2 Sortiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.3.3 Donja meda sloˇzenosti algoritama usporedivanja i sor- tiranja temeljenih na usporedivanju . . . . . . . . . . 176

4.3.4 Sortiranje u vremenu O(n) . . . . . . . . . . . . . . . 179

4.4 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4.5 Projekti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

SADR ˇ ZAJ vii

5 Teorija grafova 191

5.1 Definicija grafa i osnovna svojstva . . . . . . . . . . . . . . . 192

5.2 Izomorfizam grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.3 Regularni grafovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.4 Setnje i ciklusi u grafu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ 200

5.4.1 Eulerova staza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5.5 Matrica incidencije i matrica susjedstva . . . . . . . . . . . . 204

5.6 Hamiltonovi ciklusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.7 Teˇzinski grafovi. Algoritmi najkra´ceg puta . . . . . . . . . . . 209

5.7.1 Dijkstrin algoritam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

5.7.2 Problem kineskog poˇstara . . . . . . . . . . . . . . . . 212

5.8 Stabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

5.8.1 Osnovno o stablima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.8.2 Binarno stablo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

5.8.3 Minimalno razapinju´ce stablo . . . . . . . . . . . . . . 222

5.8.4 Pretraˇzivanje stabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

5.9 Usmjereni grafovi i mreˇze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

5.9.1 Usmjereni graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

5.9.2 Turnir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

5.9.3 Mreˇze i kritiˇcni putevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

5.9.4 Problem rasporeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

5.9.5 Protoci i rezovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

5.9.6 Max-flow min-cut teorem . . . . . . . . . . . . . . . . 233

5.10 Bojenje grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

5.10.1 Problem ˇcetiri boje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

5.10.2 Bojenje vrhova grafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

5.10.3 Bojenje bridova grafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

5.11 Sparivanje u grafovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

5.12 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

5.13 Projekti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

6 Algebarske strukture 253

6.1 Definicija i primjeri algebarskih struktura . . . . . . . . . . . 254

6.2 Grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

6.2.1 Definicija grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

6.2.2 Konaˇcne i cikliˇcke grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

6.2.3 Primjeri grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

6.2.4 Podgrupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

6.3 Izomorfizam grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

6.4 Primjena grupa u kodiranju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

6.4.1 Teorija kodiranja kao grana matematike . . . . . . . . 265

6.4.2 Problemi prijenosa informacija . . . . . . . . . . . . . 267

6.4.3 Metrika na kodnim rijeˇcima . . . . . . . . . . . . . . . 267

6.4.4 Grupa koda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 6.4.4 Grupa koda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

6.4.5 Matrica izvodnica kodiraju´ce funkcije . . . . . . . . . 272

6.5 Prsteni i polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

6.5.1 Prsten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

6.5.2 Primjeri prstena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

6.5.3 Polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

6.5.4 Primjeri polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

6.6 Vektorski prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

6.7 Primjeri vektorskog prostora .................. 283

6.8 Algebarske strukture polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

6.8.1 Prsten polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

6.8.2 Vektorski prostor polinoma . . . . . . . . . . . . . . . 285

6.9 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

6.10 Projekti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

7 Matematiˇ cka teorija raˇ cunalstva 293

7.1 Jezici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

7.1.1 Regularni izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

7.1.2 Kontekstno slobodne gramatike . . . . . . . . . . . . . 298

7.2 Konaˇcni automati ........................ 299

7.3 Potisni automati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

7.4 Turingovi strojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

7.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

7.6 Projekti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

Poglavlje 1

Uvod

Matematika je vrata, ali i kljuˇc ulaznih vrata u znanost.

Roger Bacon

1.1 Matematiˇ cke metode i modeli

U ovom uvodnom poglavlju iznijet ´cemo kratki uvod u znanstvenu metodu, te njezine moderne inaˇcice. Nadalje, pokuˇsat ´cemo predstaviti vaˇznost ma- tematike u znanstvenim problemima i svakodnevnom ˇzivotu i radu. Medu- tim, da bismo pravilno koristili matematiˇcke metode, treba poznavati osnove njezine strukture kao i metode dokazivanja hipoteza u matematici. Posebno ´cemo izdvojiti princip matematiˇcke indukcije kao metodu kojom dokazu- jemo tvrdnje koje ovise o prirodnim brojevima, te koju ˇcesto koristimo kod rekurzivnih definicija.

1.1.1 Znanstvena metoda Znanost moˇzemo definirati kao metodiˇcki (sistematski) pristup prikupljanju

znanja. U znanosti se za istraˇzivanje sluˇzimo znanstvenom metodom. Znan- stvena metoda se temelji na ˇcinjenicama, a ne na uvjerenjima, a u op´cem smislu ukljuˇcuje nekoliko koraka. Koraci znanstvene metode su sljede´ci: promatranje, postavljanje pitanja, postavljanje hipoteze, testiranje hipoteze, eksperiment, analiza podataka i rezultata i zakljuˇcak. Hipoteza ne mora uvijek biti toˇcna, ali treba biti mjerljiva. Naˇcin na koji se testira hipoteza ovisi o podruˇcju znanosti u kojem se istraˇzuje.

Medutim, danas je znanost kompleksnija nego ikad, bavi se sve teˇzim i teˇzim problemima koje nuˇzno treba rjeˇsavati multidisciplinarnim pristupom. U tom procesu potrebno je pametno kombinirati individualne ekspertize i kompetencije. Stoga je nuˇzan projektni pristup rjeˇsavanju problema i nji- hovom istraˇzivanju. Prema tradicionalnoj znanstvenoj metodi koja apo-

2 1.1. MATEMATI ˇ CKE METODE I MODELI strofira objektivnost, a eksperimente pojednostavljuje tako da bi se moglo

razmatrati samo jedno pitanje, problemi moderne znanosti ne mogu se viˇse uspjeˇsno rjeˇsavati. Istovremeno, jaˇca uloga raˇcunalnog modeliranja i simboliˇckih matematiˇckih eksperimenata, kao i uloga matematiˇckih i sta- tistiˇckih metoda op´cenito. U tom svjetlu mnogi znanstvenici predlaˇzu da treba mijenjati i klasiˇcnu znanstvenu metodu [7]. Prema [7], alternativni izgled znanstvenog procesa ukljuˇcivao bi i razvoj novih metodologija koje bi odgovarale postavljenom problemu, te razvoj teorija, koje bi objaˇsnjavale rezultate. Nove tehnologije mogu iza´ci kao dodatni rezultat razvoja meto- dologije i alata, kao i konaˇcni rezultat istraˇzivanja. Primjerice, Kopernik je pri reviziji Ptolomejeve kozmologije, razvio matematiˇcku metodologiju koja

ga je dovela do rezultata, koji su oznaˇcili preokret, ne samo u astronomiji, nego u ˇcovjekovu cjelokupnom poimanju svijeta. Jednom kad se pojavi problem, zada´ca je znanosti da nade metodologiju pomo´cu koje ´ce ga rijeˇsiti. Ali ne samo to. Znanstvenici trebaju razmotriti teorijsko znaˇcenje i vaˇznost problema kojeg obraduju te mogu´cnosti primjene njegovih direktnih i indirektnih rezultata.

1.1.2 Matematiˇ cki model Osnova za razumijevanje svijeta je promatranje. Promatranjem prikuplja-

mo informacije. Znanstvenik prikuplja informacije sistematski, u skladu sa znanstvenom metodologijom. Pri tome se sluˇzi mjerenjem da bi kvantifi- cirao podatke. Na temelju pojedinaˇcnih informacija rade se generalizacije, najprije jednostavne, pa sve sloˇzenije. Konaˇcno, dolazimo do razumijevanja materije na temelju principa. Op´cenito, princip je poop´cenje ili apstraktna tvrdnja.

U procesu istraˇzivanja, ali i u svakodnevnom rjeˇsavanju problema, upo- trebljavamo modele. Model je analogija s nekim objektom ili konceptom, ili drugim interesantnim modelom, a koristi se kao objaˇsnjenje nekog procesa ili predvidanje dogadaja. O modelu moˇzemo razmiˇsljati kao o ”imaginarnoj, pojednostavljenoj verziji dijela svijeta kojeg promatramo.” ([5])

Iskustvo pokazuje da je matematika dobro sredstvo (jezik) za izraˇzavanje principa. Matematiˇcki modeli su modeli bazirani na matematiˇcki postavlje- nim principima. Dakle, oni predstavljaju matematiˇcku karakterizaciju ili opis nekog fenomena ili procesa. Matematiˇcki model sadrˇzi sljede´ce bitne komponente; pojavu ili proces iz realnog svijeta koji se ˇzeli modelirati, ap- straktnu matematiˇcku strukturu i korespondenciju izmedu elemenata prve i druge komponente.

Svrha matematiˇckog modela je: • prezentacija informacija u lako prihvatljivom obliku,

• omogu´cavanje “lakog” raˇcunanja,

POGLAVLJE 1. UVOD

3 • olakˇsavanje istraˇzivanja i predvidanja.

Matematiˇcki modeli op´cenito sadrˇze tri razliˇcite vrste kvantitativnih veliˇcina: izlazne varijable (output), ulazne varijable (input) i parametre (konstante). Viˇse o matematiˇckom modeliranju moˇzete na´ci u [4].

Jedan od poznatih modela u fizici je model plina u kinetiˇckoj teoriji plina. Molekule plina zamiˇsljamo kao vrlo male kuglice smjeˇstene u nekoj kocki. Kuglice se gibaju konstantnom brzinom, nezavisno jedna od druge,

a njihove medusobne sudare, kao i sudare sa stjenkama kocke, smatramo elastiˇcnima. Smjerove brzina molekula smatramo nasumiˇcnima, tj. njihova rezultanta je nul-vektor. Na temelju ovog priliˇcno grubog modela, punog pretpostavki, dobivene su formule koje dobro opisuju realnu situaciju.

Dakle, matematika je izuzetno korisna i to se moˇze dobro argumenti- rati. Ali na matematiku se moˇze gledati i drugaˇcije. O matematici se govori i kao o logiˇckoj igri ili o sredstvu za razvijanje logiˇckog i sistemat- skog razmiˇsljanja. Nadalje, matematiku se ponekad opisuje kao znanost o uzorcima (vidi [3]), jer matematiˇcari prouˇcavaju uzorke: numeriˇcke uzorke, uzorke oblika, uzorke gibanja, uzorke ponaˇsanja, izborne uzorke, uzorke sluˇcajnih dogadaja itd.

Proces u Matematiˇcka realnom

struktura svijetu

Slika 1.1

1.1.3 Struktura matematike Povijesno gledaju´ci, matematiku je kao ”univerzalni jezik” prvi promatrao

Gottfried Leibniz u 17. stolje´cu. On je smatrao da se argumenti u mate- matici, ali i svugdje drugdje, trebaju logiˇcki provjeravati. Nadalje, Gottlob Frege je u drugoj polovici 19. stolje´ca nastavio sliˇcno razmiˇsljati i tvrdio da se

4 1.1. MATEMATI ˇ CKE METODE I MODELI matematika treba izgraditi na predikatnoj logici. U posljednjem desetlje´cu

19. st. Guiseppe Peano je napravio aksiomatski okvir koji je ukljuˇcivao logiku i teoriju skupova. Taj su rad poˇcetkom 20. st. nastavili Alfred Whitehead i Bertrand Russell.

Ponovimo vaˇzne ˇcinjenice o matematiˇckim strukturama. Pojaˇsnjenja se mogu na´ci u [4], (str.7-9). Pojmovi u matematici se dijele na osnovne i izvedene pojmove. Osnovni pojmovi se ne definiraju, a izvedeni se pojmovi definiraju pomo´cu osnovnih. Definicija je sud pomo´cu kojeg se odreduje sadrˇzaj nekog pojma. Isti se pojam moˇze definirati na viˇse ekvivalentnih naˇcina.

Osnovni matematiˇcki pojmovi su generalizacija objekata iz stvarnog svi- jeta (npr. pravac je generalizacija zrake svjetlosti). Prilikom formiranja tvrdnji koristimo se zakljuˇcivanjem. Zakljuˇcivanje je naˇcin miˇsljenja kojim se viˇse sudova (premisa) dovodi u vezu i izvodi novi sud (zakljuˇcak, rezultat). Razlikujemo induktiv- no i deduktivno zakljuˇcivanje te zakljuˇcivanje po analogiji. Matematiˇcki oblici zakljuˇcivanja su in- duktivno i deduktivno zakljuˇcivanje. Indukcija moˇze biti potpuna (matematiˇcka) i ne- potpuna. Pri dokazivanju u matematici sluˇzimo se potpunom ili matematiˇckom indukcijom. No i u ostalim ljudskim djelatnostima, gdje se vaˇznost pridaje ispravnom zakljuˇcivanju, ne smijemo se sluˇziti nepotpunom indukcijom. O tome ´ce biti viˇse govora u nastavku knjige. Deduktivna metoda karakterizira viˇsi nivo razvoja Slika 1.2: Gottfried Wil-

neke znanosti, jer ona podrazumijeva postojanje helm von Leibniz principa.

Euklid (365. p. K.) je bio prvi poznati znanstvenik u povijesti koji je sus- tavno primijenio deduktivne metode, i to u geometriji. Geometrija je na taj naˇcin aksiomatizirana (vidi: [9], [2]), tj. utemeljena na sustavu aksio- ma, koji predstavljuju tvrdnje za koje postoji uvjerenje da su istinite. Tako dobivenu geometriju nazivamo euklidskom geometrijom. Aritmetika je aksi- omatizirana znatno kasnije, u drugoj polovici 19. st. (vidi: [10]).

Istaknimo bitne elemente matematiˇcke teorije deduktivnog pristupa. To su:

1. nabrajanje osnovnih pojmova,

2. definiranje sloˇzenih pojmova,

3. postavljanje aksioma,

4. iskazivanje teorema,

5. dokazi teorema.

POGLAVLJE 1. UVOD

Aksiomi i teoremi (pouˇcci, stavci) izriˇcu ekvivalentne tvrdnje i iznose zakljuˇcke o matematiˇckim pojmovima i njihovim medusobnim odnosima i vezama.

Aksiomi su tvrdnje koje smatramo istinitima bez posebnog dokaza, dok su teoremi tvrdnje koje logiˇcki izviru iz aksioma. Svaki teorem treba izvesti (deducirati, dokazati) iz jednog ili viˇse aksioma u konaˇcno mnogo koraka. Dokaz je zakljuˇcivanje kojim se pokazuje da je neki teorem logiˇcka po- sljedica nekih aksioma ili ve´c dokazanih teorema. Dokaz moˇze biti direktan

i indirektan.

1.2 Tehnike dokazivanja u matematici

1.2.1 Sudovi i matematiˇ cka logika kao okvir za matematiˇ cke tvrdnje

U matematici, kao i drugim znanostima, susre´cemo tvrdnje koje izraˇzavaju odredene znanstvene spoznaje. Tvrdnje u znanosti se trebaju dokazati. Po- jedine znanstvene discipline raspolaˇzu skupom metoda kojima se tvrdnje u tom podruˇcju dokazuju. Tehnike dokazivanja u druˇstvenim znanostima bitno se razlikuju od onih u prirodnim znanostima, a posebno matematici.

U svakom je znanstvenom istraˇzivanju u po- ˇcetku potrebna istraˇzivaˇcka intuicija, koja je ˇcesto temeljena na ranijim spoznajama i iskustvu. Me- dutim, nakon ˇsto su formulirane odredene znan- stvene hipoteze, potrebno je egzaktno dokazati nji- hovu toˇcnost. U tom smislu hipoteze trebaju biti sudovi . Iz matematiˇcke logike poznato je da su su- dovi tvrdnje za koje se jednoznaˇcno moˇze re´ci jesu li istinite ili nisu. U povijesti znanosti poznato je mnogo hipoteza koje joˇs nisu postale sudovi. U matematici je poznata Goldbachova hipoteza, koja

Slika 1.3: Pierre de Fermat tvrdi da je svaki paran broj, ve´ci od 2, mogu´ce prikazati u obliku zbroja dvaju prostih brojeva (opisana u [4], 21). Done-

davno je i posljednji Fermatov teorem (prozvan i veliki Fermatov teorem) bio samo matematiˇcka slutnja bez dokaza. Prisjetimo se jednostavne for- mulacije posljednjeg Fermatovog teorema: Za svaki prirodni broj ve´ci od

2 jednadˇzba a n +b =c nema cjelobrojnih rjeˇsenja, pri ˇcemu su a, b, c, razliˇciti od nule. Preko 350 godina brojni su matematiˇcari, ali i amateri

nn

zaljubljenici u matematiku, pokuˇsavali dokazati tu hipotezu. Na taj su naˇcin razvijene mnoge teorije, dobivene ekvivalentne tvrdnje, i poploˇcen put koji je vodio do konaˇcnog dokaza, kojeg su 1994. zavrˇsili Andrew Wiles

i Richard Taylor. Ipak dosta otvorenih problema u matematici i drugim znanstvenim podruˇcjima ˇceka rjeˇsenja. Jedan od takvih problema je pozna-

6 1.2. TEHNIKE DOKAZIVANJA U MATEMATICI

ti problem rjeˇsivosti svakog algoritamski rjeˇsivog problema u polinomnom vremenu, odnosno P = N P problem.

Medutim, da bi netko uspjeˇsno rjeˇsavao probleme u matematici, ali i s razumijevanjem prihva´cao matematiˇcke teorije koje ´ce koristiti u drugim po- druˇcjima istraˇzivanja i rada, nuˇzno je da se upozna s tehnikama dokazivanja u matematici. Dokazivanje u matematici temelji se na matematiˇckoj logici. Osnove matematiˇcke logike mogu se prona´ci primjerice u [4], ali i u drugom poglavlju ove knjige.

Nabrojimo osnovne tipove tvrdnji koje susre´cemo u matematici. Tvrdnja ”20 je viˇsekratnik od 5” je jednostavni sud. Budu´ci da je 20 = 4 × 5 znamo

da je ovaj sud istinit. Mnoge tvrdnje u matematici jesu sloˇzeni sudovi jer se sastoje od dva ili viˇse sudova povezanih logiˇckim operacijama. Osnovne operacije matematiˇcke logike su konjunkcija (veznik i), disjun- kcija (veznik ili) i negacija. Ponovimo njihove vrijednosti istinitosti. Sloˇzeni sud a ∧b (a i b) je istinit ako i samo ako su oba suda a i b istinita. Sloˇzeni sud a ∨ b (a ili b) je istinit ako je barem jedan od sudova a i b

istinit. Negacija ¬a suda a je istinita ako i samo ako je sud a laˇzan. Mnoge matematiˇcke tvrdnje su implikacije, odnosno oblika ako-onda. Sloˇzeni sud a ⇒ b (ako a onda b; a implicira b) je laˇzan samo ako je sud

a istinit, sud b laˇzan. Primjer implikacije je sljede´ca tvrdnja. Primjer 1.1 Ako je prirodan broj n djeljiv brojem 6, onda je n djeljiv i

brojem 3. Uoˇcite da implikacija nije komutativna operacija tj. ako je istinita im-

plikacija a ⇒ b, tada obratna implikacija b ⇒ a nije nuˇzno istinita. Zadatak 1.1 Izrecite obrat implikacije iz prethodnog primjera i utvrdite je

li to istinita tvrdnja. Ako je istovremeno istinito a ⇒ b i b ⇒ a kaˇzemo da su tvrdnje a i b

ekvivalentne i piˇsemo a ⇔ b. Evo primjera ekvivalencije. Primjer 1.2 Prirodan broj n je paran ako i samo ako je n 2 paran.

Dakle, znak ⇔ obiˇcno ˇcitamo ”ako i samo ako” ili ”ekvivalentno”. Pokazuje se da je istinita implikacija a ⇒ b ako i samo ako je istinit

obrat suprotne tvrdnje tzv. kontrapozicija. Dakle, tvrdnje a ⇒ b i ¬b ⇒ ¬a su ekvivalentne . Ovu ˇcinjenicu koristimo kod indirektnog dokazivanja.

Istaknimo joˇs neke uobiˇcajene oblike matematiˇckih tvrdnji. Postoje tvrdnje koje govore da neˇsto postoji, pa ih nazivamo tvrdnjama o egzisten- ciji (postojanju). Takva je, na primjer, sljede´ca poznata tvrdnja iz linearne algebre.

POGLAVLJE 1. UVOD

Primjer 1.3 Uvijek postoji rjeˇsenje homogenog sustava linearnih jedna- dˇzbi.

U iskazivanju tvrdnji o postojanju koristimo se kvantifikatorom egzisten- cije ∃, kojeg ˇcitamo ”za neki” ili ”postoji”. Nasuprot tvrdnjama o egzistenciji nalaze se univerzalne tvrdnje, tj. tvrd- nje koje se odnose na sve elemente odredenog skupa. Za njihovo izricanje koristimo univerzalni kvantifikator ∀, kojeg ˇcitamo ”za svaki” ili ”za sve”. Evo primjera univerzalne tvrdnje.

Primjer 1.4 Za svaki prirodan broj n, broj 3n − 1 je prosti broj. Ova tvrdnja nije istinita. Istinita je, na primjer, tvrdnja: Za svaki prirodan broj n, broj n(n + 1)(n + 2) je djeljiv sa 6.

Posebnu paˇznju treba obratiti na ˇcinjenicu kako se operacija negacije odnosi prema kvatifikatorima. Negiramo li univerzalni kvantifikator umje- sto njega moˇzemo pisati kvantifikator egzistencije i obrnuto, negacijom kvan- tifikatora egzistencije dobijemo univerzalni kvantifikator. Objaˇsnjenje mo- ˇzete na´ci u poglavlju ove knjige koje se bavi matematiˇckom logikom, ali i u [4], str. 37.

1.2.2 Dokazivanje matematiˇ ckih tvrdnji Dokaz predstavlja demonstraciju istinitosti zadane tvrdnje. U matematici

ˇcesto treba dokazivati teoreme, propozicije, leme i korolare koji su dani u obliku implikacije A ⇒ B. Ovdje tvrdnju A nazivamo pretpostavka, a tvrdnju B zakljuˇcak. Te su dvije tvrdnje u teoremima i drugim suvislim matematiˇckim tvrdnjama medusobno povezane. Da bismo dokazali istini- tost implikacije dovoljno je ispitati ne pojavljuje li se sluˇcaj da istinita pret- postavka vodi do laˇznog zakljuˇcka. Tvrdnja je trivijalno istinita ako je zakljuˇcak istinit.

Direktni dokaz implikacije se stoga provodi tako da se uzima da je pret- postavka istinita i temeljem toga pokaˇze da tada i zakljuˇcak mora biti istinit. Ponekad je jednostavnije koristiti dokaz po kontrapoziciji (indirektni do- kaz), koji umjesto tvrdnje A ⇒ B dokazuje tvrdnju ¬B ⇒ ¬A. Tvrdnje koje imaju jednake tablice istinitosti su ekvivalentne. Budu´ci se ekvivalencija sastoji od dvije implikacije, kod dokazivanja ekvivalencije provode se dokazi dviju implikacija i ukoliko su obje implikacije istinite, zakljuˇcuje se da je ekvivalencija istinita. U ekvivalentnim tvrdnjama koris- timo formulaciju”A ako i samo ako B”, koja oznaˇcava da ”A povlaˇci B” i ”B povlaˇci A”.

Primjer 1.5 Dokaˇzimo direktno tvrdnju iz Primjera 1.2. Prvo dokazujemo implikaciju ”Ako je n paran prirodan broj tada je i n 2 paran.” Pretpostavka ”n je paran” znaˇci da se n moˇze zapisati kao n = 2k,

8 1.2. TEHNIKE DOKAZIVANJA U MATEMATICI

pri ˇcemu je k neki prirodan broj. Kvadriranjem te jednakosti dobivamo da

je n 2 = 4k 2 , ˇsto znaˇci da je n 2 paran broj.

Druga implikacija glasi: ”Ako je n 2 paran prirodan broj tada je i n paran.” Ova tvrdnja lagano se dokazuje obratom po kontrapoziciji. Kontrapozi- cija glasi: ”Ako je n neparan tada je i n 2 neparan.” Dokaˇzite za vjeˇzbu tu tvrdnju.

U nekim dokazima koristimo dokaz kontradikcijom kao varijaciju dokaza po kontrapoziciji. Pretpostavimo naime da je negacija poˇcetne tvrdnje is- tinita. Ta pretpostavka zatim vodi do tvrdnje koja je oˇcigledno laˇzna ili je u suprotnosti (kontradikciji) s nekom pretpostavkom. Klasiˇcan primjer √ dokaza kontradikcijom je dokaz da je

2 iracionalan broj. Tvrdnje o egzistenciji nekog objekta dokazuju se tako da se pronade prim- jer definiranog objekta. Primjer koji pokazuje da vrijedi tvrdnja o postoja- nju rjeˇsenja homogenog sustava linearnih jednadˇzbi je tzv. trivijalno rjeˇsenje (rjeˇsenje ˇcije su sve komponente rjeˇsenja jednake nuli). Traˇzenje primjera egzistencije nije uvijek jednostavan posao jer postoje matematiˇcke slutnje o postojanju odredenih objekata koje nikada nisu dokazane. Takva je na

primjer slutnja da postoje brojevi a, b, c, d takvi da je a 4 +b 4 +c 4 =d 4 . Univerzalna tvrdnja se opovrgava tako da se nade protuprimjer , odnosno primjer za koji tvrdnja ne vrijedi. Pronadimo protuprimjer za Primjer 1.4. Za n = 3 broj 3n − 1 je sloˇzeni broj.

Poneke tvrdnje se dokazuju provjeravanjem konaˇcnog broja sluˇcajeva (Primjer: Postoji prosti broj izmedu 100 i 115).

1.2.3 Matematiˇ cka indukcija i skup prirodnih brojeva

Matematiˇcka se teorija gradi tako da se prvo utvrdi skup aksioma koji su op´ce prihva´ceni kao istiniti pa se pomo´cu njih dokazuju sloˇzenije tvrd- nje. Cilj ovog poglavlja knjige je dati jedan jednostavni primjer izgradnje matematiˇcke teorije.

Svima je poznato da su prirodni brojevi oni koje koristimo za prebro- javanje u svakodnevnom ˇzivotu, da je najmanji prirodni broj 1. Ipak ove tvrdnje nisu dovoljne za aksiomatsku definiciju prirodnih brojeva.

Tako u aritmetici postoje tzv. Peanovi aksimi, koji postuliraju posto- janje prirodnih brojeva tj. skupa N. Evo tih aksioma. Peanovi aksiomi:

1. 1 ∈ N. (Dakle, N nije prazan skup, ve´c sadrˇzi najmanje jedan element.)

2. Za svaki x ∈ N postoji prirodni broj x ′ kojeg zovemo sljedbenikom od x.

3. x ′ 6= 1. (1 nije niˇciji sljedbenik.)

POGLAVLJE 1. UVOD

4. x ′ =y ′ povlaˇci x = y. ( Razliˇciti prirodni brojevi imaju razliˇcite sljedbenike.)

5. Aksiom indukcije. Neka je M ⊆ N sa sljede´cim svojstvima:

1) 1 ∈ M,

2) x ∈ M povlaˇci x ′ ∈ M. Tada je M = N.

Aksiom matematiˇcke indukcije, odnosno princip matematiˇcke indukci- je vaˇzno je orude u matematiˇckom dokazivanju. Taj se princip ne smije mijeˇsati s induktivnom metodom u znanosti. Induktivna metoda u znanosti sluˇzi samo za izvodenje op´cih principa iz pojedinaˇcnih sluˇcajeva. Prin- cip matematiˇcke indukcije sluˇzi za dokazivanje tvrdnji koje vrijede za sve prirodne brojeve (osim moˇzda za konaˇcno mnogo njih). Tvrdnje koje se dokazuju matematiˇckom indukcijom ovise o cijelom (prirodnom) broju n.

Prikladno je tvrdnju koju dokazujemo oznaˇciti sa P (n) . Princip matematiˇcke indukcije provodi se u dva koraka:

1. Baza indukcije. Treba dokazati da tvrdnja vrijedi za n = 1, tj. da vrijedi P (1) .

2. Korak indukcije. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. Treba dokazati da tvrdnja vrijedi za n = k+1. Odnosno, P (k) = ⇒ P (k + 1) .

Uvijek treba provjeriti oba koraka, jer u suprotnom moˇzemo pogrijeˇsiti

i ”dokazati” tvrdnju koja zapravo ne vrijedi (Eulerov primjer, Goldbachova hipoteza).

Primjer 1.6 Za sve prirodne brojeve n vrijedi

i (i + 3) = n (n + 1) (n + 5) .

i =1

Dokaz. Provjerimo prvo bazu indukcije tj. da tvrdnja vrijedi za n = 1. Imamo 1 (1 + 3) = 1 3 1 (1 + 1) (1 + 5) , pa baza indukcije vrijedi. Pretpostavimo sada da tvrdnja vrijedi za n = k, tj. da vrijedi

Upotrebom te pretpostavke treba dokazati da tvrdnja vrijedi za n = k + 1, tj. da vrijedi

Raspisivanjem znaka sumacije na lijevoj strani dobivamo

i (i + 3) + (k + 1) (k + 4) .

10 1.2. TEHNIKE DOKAZIVANJA U MATEMATICI

Iskoristimo pretpostavku za sumu na lijevoj strani i imamo

3 k (k + 1) (k + 5) + (k + 1) (k + 4) = 1 3 (k + 1) (k + 2) (k + 6) , ˇcime je tvrdnja dokazana.

U brojnim situacijama u matematici, ali ne samo u matematici, mogu´ce je na temelju eksperimentiranja na pojedinaˇcnim primjerima do´ci do do- bre slutnje, a nakon toga je dokazati upotrebom matematiˇcke indukcije. Medutim, bez ovog drugog koraka, tj. bez matematiˇckog dokaza, ostajemo samo na slutnji, dakle ne znamo da li ona vrijedi za sve sluˇcajeve ili ne. Preporuˇcamo da viˇse o tome, kako slutnja moˇze postati teorem, proˇcitate u [1], str. 35.

Istaknimo dvije od mogu´cih modifikacija principa matematiˇcke indukcije. Postoje tvrdnje koje ukljuˇcuju prirodne brojeve, ali ne vrijede za sve njih,

nego vrijede za one koji su ve´ci od nekog prirodnog broja n 0 . Primjerice, nejednakost n! > 2 n je ispunjena za svaki n ≥ 4. Dokaz ove tvrdnje moˇze se provesti pomo´cu matematiˇcke indukcije, samo ˇsto u bazi ispitujemo da li tvrdnja vrijedi za n = 4. Op´cenito se svaka tvrdnja P (n) koja vrijedi za

n ≥n 0 , moˇze podvesti pod princip matematiˇcke indukcije tako da se tvrdnja

modificira u tvrdnju P (n + n 0 − 1) .

Zadatak 1.2 n Dokaˇzite da vrijedi nejednakost n! > 2 , za svaki n ≥ 4. Matematiˇcku indukciju upotrebljavamo i za rekurzivne definicije razli-

ˇcitih matematiˇckih objekata. Taj oblik matematiˇcke indukcije zovemo jaka matematiˇcka indukcija, iako je ona ekvivalentna ”obiˇcnoj” matematiˇckoj indukciji. Izrecimo je:

Neka je P tvrdnja koja ovisi o prirodnom broju n i vrijedi:

1. Tvrdnja P je istinita za neki prirodni broj n 0 .

2. Ako je k > n 0 prirodni broj i P je istinita za sve prirodne brojeve x, n 0 ≤ x ≤ k tada je P istinita i za k + 1.

Tada je P istinita za sve prirodne brojeve n ≥n 0 . Dakle, u jakom obliku matematiˇcke indukcije pretpostavljamo da je tvrd-

nja istinita za sve prirodne brojeve manje od promatranog prirodnog broja i dokazujemo da je onda tvrdnja istinita za promatrani prirodni broj. Nadalje, jaku matematiˇcku indukciju koristimo i kod rekurzivnih definicija, o ˇcemu

´ce biti govora u posebnom poglavlju ove knjige. Vratimo se sada strukturi skupa prirodnih brojeva. Nabrojimo aksiome koji opisuju operacije zbrajanja (oznaka: a+b) i mnoˇzenja prirodnih brojeva (oznaka: a · b ili ab), te odnos relacije < i prirodnih brojeva. Za prirodne brojeve a, b, c vrijedi:

1. a + b ∈N (zatvorenost)

POGLAVLJE 1. UVOD

2. a ·b∈N (zatvorenost)

3. a + b = b + a (komutativnost)

4. (a + b) + c = a + (b + c) (asocijativnost)

5. a ·b=b·a (komutativnost)

6. (a · b) · c = a · (b · c) (asocijativnost)

7. Postoji element 1 ∈ N, takav da je n · 1 = n.

8. Ako je m · x = n · x za neki x ∈ N, tada je m = n.

9. a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

10. Za dane prirodne brojeve x, y, z uvijek je istinita samo jedna od slje- de´cih tvrdnji x < y, x = y, y < x.

Viˇse o relacijama i operacijama na razliˇcitim skupovima saznat ´cete u nastavku ove knjige. U tom kontekstu bit ´ce jasnija i uloga gornjih aksioma koji govore o dvije najvaˇznije operacije na skupu prirodnih brojeva.

1.2.4 Princip dobrog uredaja u skupu N Na kraju spomenimo da za prirodne brojeve vrijedi tzv. princip dobrog

uredaja. Tvrdnja 1.1 Svaki neprazni podskup skupa prirodnih brojeva ima naj-

manji element. Dokaz. Ova se tvrdnja moˇze dokazati upotrebom principa matematiˇcke

indukcije po broju elemenata skupa ˇciji najmanji element traˇzimo. Jasno je

da vrijedi baza indukcije jer u skupu, koji se sastoji samo od jednog elementa, taj je element ujedno i najmanji. Nadalje, pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za sve skupove od k elementa, tj. da postoji najmanji element u svakom od tih skupova. U koraku indukcije promatramo skupove koji imaju k + 1 elemenata. Pretpostavimo da smo skupu B od k + 1 elemenata odstanili jedan element a i tako dobili skup od k elementa za koji po pretpostavci in- dukcije znamo da ima najmanji element b. Manji od brojeva a i b je najmanji element skupa B.

Dakle, iz principa matematiˇcke indukcije slijedi princip dobrog uredaja. Medutim, vrijedi i obrnuto, tj. upotrebom principa dobrog uredaja moˇzemo dokazati da vrijedi princip matematiˇcke indukcije. Evo dokaza.

Pretpostavimo:

1. Tvrdnja P je istinita za prirodni broj n 0 .

1.3. ZADACI

2. Ako je k > n 0 prirodni broj i P je istinita prirodni broj k, tada je P istinita i za k + 1.

Principom dobrog uredaja treba dokazati da je tada P istinita tvrdnja za sve prirodne brojeve n ≥n 0 . Pretpostavimo da P nije istinita za sve n ≥n 0 (tj. postoje prirodni brojevi za koje dana tvrdnja ne vrijedi) i taj skup oznaˇcimo sa A. Tada taj neprazni skup A prirodnih brojeva, po principu dobrog uredaja, ima najmanji element a. Znamo po pretpostavci 1 da je

a 6= n 0 , pa je a −1≥n 0 , odnosno k = a − 1. Po pretpostavci 2, P je istinita tvrdnja za k + 1, odnosno za a, pa smo ovu tvrdnju dokazali kontradikcijom. Dakle, zakljuˇcujemo da je poˇcetna pretpostavka pogreˇsna ˇsto znaˇci da je P

istinita tvrdnja za sve prirodne brojeve n ≥n 0 .

Zakljuˇcujemo, princip dobrog uredaja i princip matematiˇcke indukcije su ekvivalentne tvrdnje.

1.3 Zadaci

1. Dokaˇzite sljede´ce tvrdnje: (a) Svaki od brojeva 111, 366, 723 i 1341 djeljiv s 3.

(b) Ako je a nemaran prirodan broj i ako je b paran prirodan broj, onda je a − b neparan broj.

(c) Ako je a 2 neparan onda je i a neparan broj. (d) Broj n je paran ako i samo ako je n n − 2 · n + 1 neparan.

(e) Ako 2 dijeli 5n onda je n paran broj.

2. Pokaˇzite da je sud a ⇒ (p ⇒ q) tautologija.

3. Pokaˇzite da je sud (a ∧ b) ∧ (¬a ∨ ¬b) kontradikcija.

4. Pojednostavite sljede´ce izraze: (a) (1 : 0 = ∧(1 < 10),

(b) (π < 8) ∧ (π < 6), (c) (e < 4)

∧ (e 2 < 9)

5. Odredite istinitost sljede´cih tvrdnji: (a) (π 2 > 2) ⇒ (π > 1, 4),

(b) (e 2 ≥ 0) ⇒ (e < 0), (c)

¬(6 je cijeli broj⇒ (6 2 ≥ 1)), (d) ¬(kvadrat ima tri stranice) ⇒ (trokut ima 4 stranice).

POGLAVLJE 1. UVOD

6. Neka su m, n ∈ N. Dokaˇzite da je mn neparan ako i samo ako su m i n neparni.

7. Napiˇsite sljede´ce izjave pomo´cu kvantifikatora i standardnih oznaka za skupove brojeva.

(a) Jednadˇzba x 2 + a = 0 ima realni korijen za svaki realni broj a. (b) Svaki realni broj je racionalni broj. (c) Postoji barem jedan iracionalan broj,

(d) Postoji najmanji prirodan broj. Koje su od gornjih izjava istinite?

8. Napiˇsite negacije izjava iz prethodnog zadatka.

9. Koje su tvrdnje istinite? Univerzum razmatranja je zapisan u zagra- dama.

(a) ∀x(x − 1 ≤ x)

(R).

(b) ∃x(x + 3 = 2x − 1)

(N).

(c) ∃!x(x 2 = 2)

(R).

(d) ∀x∃!y(y = x 2 )

(R).

(e) ∀x∃!y(y = x 2 )

(N).

10. Dokaˇzite da je

3 iracionalan broj.

11. Dokaˇzite da ako je n ∈ N tada je barem jedan od brojeva n, n+2, n+4 djeljiv s 3.

12. Zadana je tvrdnja T .

T := ”Ako je n kvadrat parnog prirodnog broja tada je n

suma dva uzastopna neparna prirodna broja.” (a) Pokaˇzite da je T istinita tvrdnja upotrebljavaju´ci konstrukciju

temeljenu na sljede´cim primjerima: 4 2 = 7 + 9, 6 2 = 17 + 19, 8 2 =

(b) Napiˇsite ¬T . (c) Napiˇsite kotrapozitivnu tvrdnju tvrdnji T . Je li ona istinita?

13. Upotrebom matematiˇcke indukcije dokaˇzite sljede´ce tvrdnje: (a) n 3 − 2n je djeljiv s 3.

(b) a n

−b n je djeljiv s a − b za sve a, b ∈ Z i a − b 6= 0.

P n (c) 1 k(k + 1)(k + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3).

1.3. ZADACI

(d) Za svaki x 2k+1 ∈ R, x 6= ±1 i n ≥ 1 vrijedi (1 + x 2 )= 1−x

1−x 2 .

k =1

14. Pomo´cu matematiˇcke indukcije pokaˇzite da ako je a 1 = 1, a 2 =5i

a n n +1 = 5a n − 6a n −1 za n ≥ 2 tada je a n =3 −2 za svaki n ∈ N.

15. Za svaki od sljede´cih skupova nadite najmanji i najve´ci element, uko- liko oni postoje:

(a) A = {n ∈ N : n 2 ≤ 52} (b) B =

{n ∈ N : n 2 ≤ 100n} (c) C = {n ∈ N : n je viˇsekratnik broja 4}

(d) D = {n ∈ N : n je prost broj}

16. Neka su S 1 iS 2 podskupovi skupa N. Nadalje, neka je m 1 , odnosno m 2 najmanji element u S 1 , odnosno S 2 , te neka je M 1 , odnosno M 2 najve´ci element u S 1 , odnosno S 2 .ˇ Sto znamo o najmanjem, odnosno

najve´cem elementu skupova S 1 ∪S 2 iS 1 ∩S 2 ?

Bibliografija

[1] Biggs, N. L.: Discrete Mathematics, Oxford University Press Inc., New York, 2002.

[2] Dadi´c, ˇ Z.: Povijest ideja i metoda u matematici i fizici, ˇ Skolska knjiga, Zagreb, 1992.

[3] Devlin, K.: Language of Mathematics, W. H. Freeman and Co., New York, 2000

[4] Divjak, B.; Hunjak, T.: Matematika za informatiˇcare, TIVA-FOI, Varaˇzdin, 2004.

[5] Gowers, T.: Mathematics, A Very short Introduction, Oxford Univer- sity Press, Oxford, 2002.

[6] Hoffmann, L. D.; Bradley, G. L.: Finite mathematics with Calculus, McGraw-Hill, Inc., New York, 1995.

[7] Keller, S.-McNulty; Wilson, A. G.; Wilson, G.: The Impact of Technol- ogy on the Scientific Method, submitted to: Science Compass, LA-UR- 01-5739

[8] Kerzner, H.: Project Management, a Systems Approach to Planning, Scheduling and Controlling, John Wiley and Sons Inc., New York, 2003.

[9] Mintakovi´c, S.: Neeuklidska geometrija Lobaˇcevskog,ˇ Skolska knjiga, Za- greb, 1972.

[10] ˇ Siki´c, Z.: Kako je stvarana novovijekovna matematimka, ˇ Skolska knjiga, Zagreb, 1989.

16 BIBLIOGRAFIJA

Poglavlje 2

Matematiˇ cka logika

Pretpostavimo da je pronadena kontradikcija u aksiomima teorije skupova. Da li ozbiljno vjerujete da bi se most mogao sruˇsiti?

Frank Ramsey Logika je jedna od najstarijih, sustavno prouˇcavanih znanstvenih di-

sciplina. Ona predstavlja formalizaciju znanstvenog razmiˇsljanja i osigu- rava njegovu valjanost. Njeni poˇceci seˇzu do Ari- stotela i drugih grˇckih filozofa. Upravo se radovi Aristotela u 4 st. p. K. smatraju temeljima logike kao znanstvene discipline. On je napisao knjigu o logici koju je nazvao Organon (Oργανoν), ˇsto znaˇci orude. Dakle, ve´c je Aristotel gledao na logiku kao na glavno orude znanstvenika, na alat koji znanstveniku omogu´cuje njegov rad, odnosno pronalaˇzenje znanstvenih spoznaja. Uz tu se knji- gu veˇze prvo javljanje pojmova hipoteze, aksioma, teorema i dokaza, kao osnovnih gradevnih eleme- nata logike. Takoder, Aristotel uvodi tehnike in-

Slika 2.1: Aristotel

duktivnog i deduktivnog dokazivanja, te tzv. Aristotelove forme, koje pokri- vaju sve elementarne logiˇcke izjave.

Matematiˇcka logika predstavlja formalizaciju logike te se posebno bavi matematiˇckim razmiˇsljanjem i dokazivanjem. Poˇceci razvoja matematiˇcke logike seˇzu u 18. st. do dublinskog biskupa Richarda Whatleya, koji se sma- tra zaˇcetnikom matematiˇcke logike. Prve znaˇcajne rezultate u matematiˇckoj logici objavili su u 19. stolje´cu George Boole, Augustus De Morgan i Ernst Schr¨ oder. Veliki interes za matematiˇcku logiku izazvao je 20-tih godina 20. st. Bertrand Russel (1872-1970) objavljivanjem svojih poznatih paradoksa regularnog svojstva, do kojih je dovelo egzistencijalistiˇcko, nekonstruktivno

2.1. RA ˇ CUN SUDOVA definiranje kakvo se koristilo prije toga u matematici. Otkrivanje paradoksa

u mnogim matematiˇckim aksiomatikama dovelo je do revizije pojmova u tim matematiˇckim disciplinama. Tako su revidirane matematiˇcke teorije kao ˇsto su teorija skupova, algebra itd. U 20. st. vaˇznije su rezultate dali Albert Thorlaf Skolem, Bertrand Russel, Alfred North Whitehead, a za in- formatiˇcare su posebno interesantni rezultati koje je dao Alan Turing, koji se intenzivno bavio definiranjem intuitivnog pojma algoritma, te dao jedan od najpoznatijih logiˇckih modela algoritma - Turingov stroj. O tome ´cemo viˇse govoriti u posljednjem poglavlju ove knjige.

2.1 Raˇ cun sudova

Raˇcun sudova ili propozicijska logika je jednostavan logiˇcki jezik koji se sastoji od sudova koji su povezani pomo´cu logiˇckih veznika ¬, ∨, ∧, →, ↔.

2.1.1 Sintaksa Definicija 2.1 (Jezik) Jezik L raˇcuna sudova sastoji se od:

1. najviˇse prebrojivog skupa 1 A propozicijskih varijabli ili atoma A, B,

C, . . .,