Prsteni i polja

6.5 Prsteni i polja

Na danom skupu mogu´ce je definirati viˇse razliˇcitih operacija. Pri tome te operacije mogu, ali i ne moraju imati strukturu grupe. Tako se na skupu realnih brojeva moˇze osim operacije zbrajanja, definirati i operacija mnoˇzenja realnih brojeva. Izbacimo li nulu iz skupa realnih brojeva i ope- racija mnoˇzenja ima svojstva grupe. S druge strane definiramo li mnoˇzenje

6.5. PRSTENI I POLJA na skupu cijelih brojeva, tada (Z \ {0} , ·) nije grupa, jer ne postoji in-

verzni element za mnoˇzenje u skupu cijelih brojeva. Inverzni element cijelog broja n bio bi 1 n , a to op´cenito nije cijeli broj. Medutim (Z, ·) ima svoj- stvo zatvorenosti, asocijativnosti, a postoji i jedinica (neutralni element za mnoˇzenje). Takvu strukturu op´cenito zovemo prsten.

6.5.1 Prsten U ovoj toˇcki ´cemo navesti formalnu definiciju prstena, a u sljede´coj najpoz-

natije primjere prstena. Joˇs jedan vaˇzniji primjer prstena (prsten polinoma) obradit ´cemo u posebnoj toˇcki na kraju ovog poglavlja.

Definicija 6.9 Neka je S neprazan skup na kojem su definirane dvije bina- rne operacije ◦ i ×, koje zadovoljavaju sljede´ca svojstva:

1. (S, ◦) je komutativna grupa.

2. Operacija × ima svojstvo zatvorenosti, asocijativnosti, a postoji i je- dinica (neutralni element za operaciju ×).

3. Vrijede svojstva distributivnosti, tj. za svaki a, b, c ∈ S vrijedi:

a × (b ◦ c) = (a × b) ◦ (a × c) , (a ◦ b) × c = (a × c) ◦ (b × c) .

Tada strukturu (S, ◦, ×) nazivamo prstenom. Ako je operacija × joˇs i ko- mutativna govorimo o komutativnom prstenu.

Cesto se umjesto a ˇ × b piˇse ab, ali treba imati na umu da to moˇze oznaˇcavati bilo kakvu operaciju na bilo kojem skupu. Nadalje, neutralni element za operaciju ◦ ´cemo oznaˇcavati sa 0, a neutralni element od × s 1.

6.5.2 Primjeri prstena

1. Struktura (Z, +, ·) je prsten cijelih brojeva uz operacije standardnog zbrajanja i mnoˇzenja.

2. Skup kvadratnih matrica drugog reda, ˇciji su elementi cijeli brojevi uz operacije zbrajanja matrica i mnoˇzenja matrica je prsten. Primi- jetite da operacija mnoˇzenja matrica nije komutativna, pa ovo nije komutativni prsten.

3. Neka je Z m skup razliˇcitih klasa ekvivalencije s obzirom na relaciju kongruencije modulo m na Z. Prisjetimo se da su elementi od Z m pod- skupovi od Z. Na Z m su definirane operacije zbrajanja ⊕ i mnoˇzenja ⊗ na sljede´ci naˇcin:

[x] m ⊕ [y] m = [x + y] m , [x] m ⊗ [y] m = [xy] m .

POGLAVLJE 6. ALGEBARSKE STRUKTURE 277 Pokazuje se da je (Z m , ⊕, ⊗) prsten.

Zadatak 6.23 Provjerite da gornje operacije imaju traˇzena svojstva. U prstenu P pojedini elementi mogu imati multiplikativni inverz tj. in-

verz s obzirom na operaciju ×. Ako element x ima inverz y tada vrijedi xy = 1 i yx = 1. Uobiˇcajena je oznaka x −1 za inverz od x. Znamo da ukoliko inverz postoji on je jedinstven.

Zadatak 6.24 Nadite sve cijele brojeve koji imaju multiplikativni inverz s obzirom na standardnu operaciju mnoˇzenja.

Primjer 6.9 Nadite sve kvadratne matrice drugog reda, ˇciji su elementi cijeli brojevi, koje imaju multiplikative inverze.

ab ¸ Neka je A =

kvadratna matrica i a, b, c, d

cd ∈ Z. Inverz A −1 od

A = I, gdje je I jediniˇcna matrica. Iz linearne algebre znamo da je

A dobijemo kao rjeˇsenje matriˇcnih jednadˇzbi AA −1 =A −1

iA −1 postoji ako je ad

a , b , −bc 6= 0. Nadalje, ovdje treba biti c

ad −bc ad −bc ad −bc ,

ad −bc ∈ Z. Sljede´ca su rjeˇsenja mogu´ca: a = d = ±1 i b = c = 0, b = c = ±1

i a = d = 0. Dakle, sljede´ce matrice imaju multiplikativne inverze: ·

10 4 −1 0 = 1 0 −1 0 Zadatak 6.25 Popunite tablicu mnoˇzenja za matrice iz prethodnog prim-

,B 2 =

,B 3 =

,B .

jera.

Tablica 6.2

6.5. PRSTENI I POLJA

Primijetite da matrice iz prethodnog zadatka ˇcine grupu. Ovakav za- kljuˇcak vrijedi i op´cenito.

Teorem 6.15 Skup svih multiplikativnih invertibilnih elemenata prstena P ˇcini grupu s obzirom na mnoˇzenje u P.

Dokaz. Neka su x, y −1 iy ∈ P , te x −1 njihovi multiplikativni elementi. Znamo da je mnoˇzenje zatvoreno u prstenu, te da vrijedi asocijativnost i da

postoji jedinica 1. Treba provjeriti da je operacija zatvorena na skupu svih

¢ ¡ invertibilnih elemenata prstena. Vrijedi (xy) ¢ y −1 x −1 =x yy −1 x −1 = xx −1 = 1, pa je y −1 x −1 inverz od xy.

Zadatak 6.26 Pokaˇzite da je skup svih kvadratnih matrica reda n uz ope- racije zbrajanja i mnoˇzenja matrica nekomutativni prsten.

6.5.3 Polje Ako umjesto skupa cijelih brojeva promatramo skup realnih brojeva i na

njemu opet operacije standardnog zbrajanja i mnoˇzenja uoˇcavamo da svaki realni broj, osim 0, ima multiplikativni inverz. Dakle, (R \{0}, ·) je grupa i to komutativna. Sada strukturu (R, +, ·) zovemo polje realnih brojeva. Polje realnih brojeva najpoznatiji je primjer polja. Definirajmo polje u op´cenitom sluˇcaju.

Dakle, polje je skup opremljen s dvije operacije, koje imaju odredena algebarska svojstva, kao ˇsto je specificirano u sljede´coj definiciji.

Definicija 6.10 Neka je S neprazan skup na kojem su definirane dvije bi- narne operacije ◦ i ×, koje zadovoljavaju sljede´ca svojstva:

1. (S, ◦) je komutativna grupa (nazivamo je aditivna grupa).

2. (S \{0}, ×) je komutativna grupa (nazivamo je multiplikativna grupa), pri ˇcemu je 0 neutralni element aditivne grupe. Dakle, vrijede sljede´ca svojstva:

(a) komutativnost u (S, ×), (b) asocijativnost u (S, ×),

(c) postoji multiplikativni neutralni element, (d) postoji multiplikativni inverz za sve elemente iz S, osim za 0.

3. Vrijede svojstva distributivnosti: (a) a × (b ◦ c) = (a × b) ◦ (a × c) ,

(b) (a ◦ b) × c = (a × c) ◦ (b × c) , ∀a, b, c ∈ S.

POGLAVLJE 6. ALGEBARSKE STRUKTURE 279 Tada je (S, ◦, ×) polje.

Prisjetimo se da je skup cijelih brojeva Z bio prsten uz operacije stan- dardnog zbrajanja i mnoˇzenja. Budu´ci da u Z brojevi nemaju multiplika- tivne inverzne (u stvari, nijedan broj osim broja 1 nema multiplikativni inverz u Z), (Z, +, ·) nije polje.

Dogovorno se, zbog jednostavnijeg zapisa, ˇcesto puta prva operacija (iz aditivne grupe) oznaˇcava sa +, a druga (iz multiplikativne grupe) sa ·.

Zadatak 6.27 Dokaˇzite da su sljede´ca dva svojstva posljedica aksioma 2.a., o postojanju multiplikativnog inverza:

1. Ako je a 6= 0 i a · b = a · c, onda je b = c. (skra´civanje)

2. Ako je a · b = 0, onda je a = 0 ili b = 0. (nema djeljitelja nule) Pokaˇzite da prethodna svojstva vrijede u (Z, +, ·) .

Pokaˇzite da su prethodna svojstva medusobno ekvivalentna. Ukoliko za neku algebarsku strukturu (S, ◦, ×) vrijede svi aksiomi iz

definicije polja, osim aksioma 2.a., ali umjesto njega vrijede aksiomi iz prethodnog zadatka, tada tu strukturu zovemo integralnom domenom. Ime dolazi od ˇcinjenice da je skup cijelih (integers!) brojeva (Z, +, ·) najpoznatiji primjer integralne domene.

Zadatak 6.28 Da li je skup svih kvadratnih regularnih matrica reda n uz operacije zbrajanja i mnoˇzenja matrica polje?

6.5.4 Primjeri polja U ovoj ´cemo toˇcki nabrojiti neke primjere polja, a naglasak ´cemo staviti

na polja koja se upotrebljavaju u informatici. Od ˇcitatelja se oˇcekuje da ispita da nabrojeni primjeri zadovoljavaju traˇzene aksiome. Op´cenito, u informatici su od posebnog interesa tzv. konaˇcna polja, tj. polja koja sadrˇze samo konaˇcan broj elementa.

1. Trivijalni primjer konaˇcnog polja je skup {0, 1}, uz zbrajanje i mno- ˇzenje.

2. U diskretnoj matematici je posebno vaˇzno polje (Z p , ⊕, ⊗) , gdje je p prim broj, Z p = {0, 1, 2, ..., p − 1}, ⊕, ⊗ su operacije zbrajanja i mnoˇzenja modulo p . Da ne bi doˇslo do zabune o tome koliki je p koriste se sljede´ce oznake za zbrajanje i mnoˇzenje: + p , · p .

U svjetlu ovog primjera je prvi primjer specijalni sluˇcaj modularne

aritmetike za p = 2, odnosno radi se o Z 2 .

6.5. PRSTENI I POLJA

Ukoliko p nije prim broj, Z p nije polje. U sluˇcaju kad p nije prim broj nije ispunjen aksiom 2.a. iz definicije polja.

Detalji se mogu proˇcitati u poglavlju o kongruencijama. U sluˇcaju kada m nije prost broj, (Z m , ⊕, ⊗) komutativni prsten, ali

ne i integralna domena.

3. Neka je S 2 (Z 3 ) skup kososimetriˇcnih kvadratnih matrica drugog reda.

Matrice su oblika , gdje su a, b ∈ Z. Uz standardno zbra-

−b a janje i mnoˇzenje matrica S 2 (Z 3 ) je polje.

4. Polinom n-tog stupnja je funkcija oblika:

f (x) = a n

n x +a n −1 x −1 + ... + a 2 x +a 1 x+a 0 , (6.4) gdje su a 0 ,a 1 ,a 2 , ..., a n −1 ,a n ∈ R, n ∈ N, a n 6= 0. Oznaˇcimo skup

svih polinoma s koeficijentima u R sa R [x] . Na skupu svih polinoma zadane su operacije zbrajanja i mnoˇzenja polinoma. Uz te operacije skup svih polinoma je prsten s komutativnim mnoˇzenjem.

5. Nekomutativno polje je tijelo kvaterniona. Kvaternione je u matematiku uveo W. R. Hamilton 1844. godine

(ˇclanak [5]). Po analogiji s kompleksnim brojevima, koji se prikazuju kao suma realnog i imaginarnog dijela, kvaternioni se mogu zapisati kao linearna kombinacija

a=a 1 +a 2 i+a 3 j+c 4 k, gdje su a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 realni brojevi, te

2 2 i 2 =j =k = ijk = −1.

Viˇse o kvaternionima moˇzete proˇcitati u [11]. Kvaternioni se mogu zapisati u obliku uredenih ˇcetvorki, pa se njihova

suma, odnosno mnoˇzenje skalarom, definira kao standardna suma, odnosno mnoˇzenje skalarom n-torki.

Zadatak 6.29 Neka je m cijeli broj, ve´ci od 1. Pokaˇzite da su sljede´ce tvrdnje ekvivalentne:

1. m je prim broj.

2. Z m je integralna domena.

3. Z m je polje.

POGLAVLJE 6. ALGEBARSKE STRUKTURE 281