4. UREDAJNE BINARNE RELACIJE

68 3.4. UREDAJNE BINARNE RELACIJE

da u skupu cijelih brojeva nalazimo i rjeˇsenje p = q = −1, koje ´ce znaˇciti da ne vrijedi antisimetriˇcnost relacije | na skupu Z. Dokaˇzimo sada tranzitivnost. Neka su n, m, s ∈ N takvi da vrijedi n | m im | s. Treba dokazati da n | s. Iz pretpostavke slijedi da postoje kvocijenti q i p takvi da je m = qn i s = pm. Iz toga slijedi da je s = pqn, ˇsto znaˇci da n dijeli s.

Zapamtimo da (Z, |) nije parcijalno uredeni skup. Koja svojstva ne vri- jede?

Znamo da je najve´ci zajedniˇcki djelitelj dva cijela broja razliˇcita od nule, najve´ci cijeli broj koji dijeli oba zadana broja. Najve´ci zajedniˇcki djelitelj od

a i b, zovemo joˇs i mjera dva broja i oznaˇcavamo ga sa M (a, b) ili D (a, b) . Pogledajmo prethodnu definiciju u kontekstu parcijalno uredenih sku- pova. Ovdje to znaˇci da parcijalno uredenom skupu (N, |) interpretiramo pojam najve´ceg zajedniˇckog djeljitelja kao najve´cu donju medu para bro- jeva. To nam i garantira jedinstvenost najve´ceg zajedniˇckog djelitelja para prirodnih brojeva.

Propozicija 3.8 Najve´ci zajedniˇcki djelitelj para prirodnih brojeva u par- cijalno uredenom skupu (N, ≤) predstavlja najve´cu donju medu tih brojeva.

Korolar 3.1 Najve´ci zajedniˇcki djelitelj dvaju prirodnih brojeva je jedin- stveni je prirodni broj.

Problem nalaˇzenja najve´ceg zajedniˇckog djelitelja obraden je u poglavlju o algoritmima. Tamo je izloˇzen i Euklidov algoritam pomo´cu kojeg se efek- tivno nalazi najve´ci zajedniˇcki djelitelj para cijelih brojeva razliˇcitih od nule. On se temelji na teoremu o dijeljenju prirodnih brojeva, koji tvrdi da za svaka dva prirodna broja a, b postoje prirodni brojevi q i r takvi da vrijedi

a = qb+r i 0 ≤ r < b. Iz toga izlazi da je M (a, b) = M (b, r) , pa tu ˇcinjenicu ponavljamo uzastopno u Euklidovom algoritmu.

Za cijele brojeve a, b kaˇzemo da su relativno prosti ako im je M (a, b) = 1, tj. 1 je jedini prirodni broj koji dijeli relativno proste brojeve.

Prosti brojevi imaju istaknutu ulogu. Ponovimo, prirodan broj p ≥2≥ je prost broj ako je djeljiv samo s brojem jedan i sa samim sobom. Prirodne brojeve koji nisu prosti zovemo sloˇzenim brojevima. Posebno zanimljiv pro- blem teorije brojeva je problem nalaˇzenja prostih brojeva. Za odredivanje relativno malih prostih brojeva upotrebljava se tzv. Eratostenovo sito.

Cinjenica da se svaki prirodan broj n > 1 moˇze na jedinstveni naˇcin ˇ prikazati u obliku produkta prostih brojeva zove se fundamentalni teorem aritmetike. Ovaj se teorem dokazuje jakim oblikom matematiˇcke indukcije.

Definira se i najmanji zajedniˇcki viˇsekratnik cijelih brojeva a i b razliˇcitih od nule kao najmanji prirodni broj koji je viˇsekratnik brojeva a i b. Oznaka za najmanji zajedniˇcki viˇsekratnik je V (a, b) .

POGLAVLJE 3. DISKRETNA MATEMATIKA

Propozicija 3.9 Najmanji zajedniˇcki viˇsekratnik dvaju prirodnih brojeva u parcijalno uredenom skupu (N, ≤) predstavlja najmanju gornju medu tih brojeva.

Korolar 3.2 Najmanji zajedniˇcki viˇsekratnik dvaju prirodnih brojeva je jedinstven.

Znamo da za svaka dva prirodna broja postoje njihovi zajedniˇcki djelite- lji, jedan od njih je uvijek broj 1, pa je skup zajedniˇckih djelitelja neprazan. S druge strane taj je skup omeden odozgo sa zadanim prirodnim brojevima. Znamo da svaki odozgo omedeni skup prirodnih brojeva ima najve´ci element, pa to osigurava postojanje najve´ceg zajedniˇckog djelitelja. Nadalje, poznato je da uvijek postoji barem jedan zajedniˇcki viˇsekratnik para n, m prirodnih brojeva (broj nm) pa postoji i njihov najmanji zajedniˇcki viˇsekratnik. Pos- tojanje najmanjeg zajedniˇckog viˇsekratnika je posljedica principa dobrog uredaja za prirodne brojeve. Princip dobrog uredaja (eng. Well-Ordering Principe) postulira da svaki neprazni podskup skupa prirodnih brojeva ima najmanji element. Kao posljedicu ovih razmatranja imamo konstataciju da svaki par prirodnih brojeva ima najmanji zajedniˇcki viˇsekratnik i najve´cu zajedniˇcku mjeru pa parcijalno uredeni skup (N, |) ispunjava zahtjeve da bude mreˇza.

Propozicija 3.10 Parcijalno uredeni skup (N, |) je mreˇza. Zadatak 3.15 Pokaˇzite da za cijele brojeve a, b vrijedi

M (a, b) V (a, b) = |ab| .