DISKRETNA MATEMATIKA 119

POGLAVLJE 3. DISKRETNA MATEMATIKA 119

30. Nadite kontraprimjer za jednakost (A ∪ B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C).

31. Neka je za svaki n T ∈ N, A

n = {n}. ˇSto je

, a ˇsto ?

n ∈N

n ∈N

32. Koje su od sljede´cih funkcija bijekcije? (a) f : R → R, f(x) = 3x − 1

(b) f : R → R, f(x) = 2x 3 (c) f : R

→ R, f(x) = x 4 (d) f : R → R × R, f(x) = (x, x)

(e) f : Z × Z → Z, f(m, n) = m − n (f) f : R + → R, f(x) = log x − 2

33. Neka je S skup svih binarnih nizova, tj. beskonaˇcnih nizova koji se sastoje od nula i jedinica. Pokaˇzite da je S neprebrojivo beskonaˇcan.

34. Pomo´cu metode karakteristiˇcne jednadˇzbe pronadite eksplicitni zapis sljede´cih rekurzivnih jednadˇzbi:

(a) a n =3 ·a n −1 ,a 0 =1

(b) a n =4 ·a n −1 −a n −2 −6·a n −3 ,a 0 = 0, a 1 = 1, a 2 = 17

(c) a n =2 ·a n −1 −a n −2 ,a 0 = 0, a 1 =1 (d) a n = −a n −1 −a n −2 ,a 0 = 0, a 1 =1 (e) a n =a n −1 +a n −2 +2+4 · n, a 0 = 0, a 1 =1 (f) a n =2 ·a n −1 −3·a n −2 + 3, a 0 = 1, a 1 =1 (g) a n =a n 2 +2 · n + 3, a 1 =1

35. Pokuˇsajte rijeˇsiti prethodne zadatke pomo´cu funkcija izvodnica.

36. Bakterije se razvijaju prema shemi: svaka ˇzivi jedan sat i svakih pola sata daje jednu novu bakteriju (dakle, svega dvije tijekom ˇzivota). Koliko je potomstvo jedne bakterije nakon 48 sati?

37. Na vojnoj paradi sudjeluje 10 jedinica. Ako su jedinice poredane jedna

za drugom, na koliko naˇcina moˇzemo poredati jedinice na paradi?

38. U selu ima 10 mladi´ca i 8 djevojaka. Na koliko se naˇcina oni mogu spojiti u parove, tako da svaka djevojka ima jednog momka?

39. Imamo po tri kuglice crvene, plave i ˇzute boje. Na koliko naˇcina ih moˇzemo razvrstati u tri kutije tako da u svakoj kutiji budu toˇcno tri kuglice?

3.9. ZADACI

40. Na koliko se razliˇcitih naˇcina ˇcovjek moˇze popeti uz n stepenica, ako odjednom moˇze zakoraˇciti na jednu ili dvije stepenice? Dva uspinjanja smatramo jednakim ako smo kroˇcili na toˇcno iste stepenice.

41. Komunikacijskim kanalom mogu se prenijeti poruke sastavljene od triju simbola: a = ·, b = + i c = −. Dopustive su one poruke kod kojih se na susjednim mjestima ne pojavljuje simbol a. Koliko ima dopustivih poruka duljine n?

42. Na koliko n pravaca najviˇse dijelova dijeli kruˇznicu?

43. Od 8 ˇzena i 4 muˇskarca treba izabrati delegaciju. Na koliko se naˇcina moˇze izabrati:

(a) Petero ljudi od kojih su barem dvije ˇzene? (b) ˇ Sestero ljudi, po troje istog spola?

(c) Bilo koji broj ljudi, uz uvjet da mora biti jednak broj muˇskih i ˇzenskih osoba?

44. U neprozirnoj vre´ci nalazi se devet obojenih kuglica: tri crvene, tri ˇzute i tri plave. Izvlaˇcimo tri kuglice. Kolika je vjerojatnost da sve tri izvuˇcene kuglice budu iste boje?

45. U koˇsari se nalazi 20 jabuka, 10 crvenih i 10 ˇzutih. Zna se da crvene jabuke trule brˇze od ˇzutih i da je 20% crvenih jabuka trulo, a 10% ˇzutih. Ako nasumce uzmemo 5 jabuka, i ako je od njih jedna trula, kolika je vjerojatnost da trula jabuka bude ˇzuta?

46. Imamo 50 ˇzutih i 50 crvenih sijalica u istoj kutiji. 10% posto ˇzutih i 15% crvenih sijalica ne radi. Iz kutije izvlaˇcimo 10 sijalica i njih 3 ne radi. Koja je vjerojatnost da su sve pokvarene sijalice crvene?

47. Lovac puca na glinene golubove. Na svakog goluba moˇze ispaliti dva metka. Vjerojatnost pogotka svakim metkom jest 20%. Lovac puca na

10 golubova. Koliko se oˇcekuje da ´ce lovac pogoditi golubova? Kolika je standardna devijacija matematiˇckog oˇcekivanja?

48. Ljut na dvorskog matematiˇcara car naredi da se donese n urni, n crnih

i n bijelih kuglica. Matematiˇcar mora rasporediti sve kuglice u urne tako da u svakoj urni bude barem jedna kuglica. Dvorski ´ce krvnik nasumce odabrati jednu od tih urni i sluˇcajno izvu´ci jednu kuglicu. Ako izvuˇce bijelu, car ´ce pomilovati matematiˇcara, a ako izvuˇce crnu, bit ´ce pogubljen. Kako matematiˇcar treba rasporediti kuglice da ima najve´ce izglede da preˇzivi? Nadite optimalan raspored i vjerojatnost pomilovanja. Za koji najmanji n matematiˇcar ima bar 90% izgleda da preˇzivi?