Izomorfizam grupa

6.3 Izomorfizam grupa

Usporedivanjem pojedinih grupa, odnosno njihovih Cayleyevih tablica (za konaˇcne grupe) moˇze se uoˇciti njihova suˇstinska jednakost. Znaˇci, ako bi drugaˇcije oznaˇcili elemente jedne grupe dobili bismo drugu grupu. Za takve grupe kaˇzemo da su izomorfne.

Definicija 6.5 Izomorfizam grupa (G, ×) i (H, ◦) je bijekcija f : G → H takva da vrijedi

f (g 1 ×g 2 ) = f (g 1 ) ◦ f (g 2 )

za sve g 1 ,g 2 ∈ G. Tada za grupe (G, ×) i (H, ◦) kaˇzemo da su izomorfne i piˇsemo (G, ×) ∼ = (H, ◦) .

U prethodnoj definiciji izomorfizma traˇzili smo da je izomorfizam bijek- cija, te da ˇcuva strukturu grupe.

Primjer 6.5 Izomorfne grupe su skup pozitivnih realnih brojeva uz opera- ciju mnoˇzenja (R + , ·) i grupa (R, +) . Izomorfizam tih grupa je, na primjer, funkcija f (x) = ln x.

Znamo da je logaritamska funkcija bijekcija, pa da bi pokazali da je f izomorfizam, trebamo provjeriti svojstvo 6.5. Dakle, treba biti f (x · y) =

f (x) · f (y) , za sve x, y ∈ R + . Uvrstimo li umjesto f zadanu logaritamsku funkciju, imamo ln (xy) = ln x + ln y. Dakle, vrijedi svojstvo zbog svojstva

logaritama, da je logaritam produkta jednak produktu logaritama. Uoˇcimo da su obje grupe komutativne. Nadalje, neutralni element u prvoj grupi je 1, a u drugoj 0, ali vrijedi f (1) = 0. Znaˇci neutralni se element iz prve grupe preko izomorfizma preslikao u neutralni element iz druge grupe.

Zadatak 6.13 x Pokaˇzite da je funkcija f −1 (x) = e (inverz logaritamske funkcije iz prethodnog zadatka) izomorfizam grupa (R, +) i (R + , ·) .

6.3. IZOMORFIZAM GRUPA

Iz prethodnog primjera izlazi da je svaka logaritamska funkcija izomor- fizam zadanim grupa, pa zakljuˇcujemo da izomorfizam, ako postoji, ne mora biti jedinstven.

Dakle, da bismo pokazali da su dvije grupe izomorfne dovoljno je na´ci jedan izomorfizam izmedu tih grupa. Problem je pokazati da dvije grupe nisu izomorfne, jer ˇcinjenica da ne znamo na´ci izomorfizam ne povlaˇci nuˇzno

da on ne postoji. Stoga nam je vaˇzan sljede´ci teorem koji daje neka svoj- stva izomorfnih grupa. Upotrebom ovog teorema moˇzemo uoˇciti svojstvo koje jedna grupa ima, a druga nema, pa na temelju toga zakljuˇcujemo da grupe nisu izomorfne. S druge strane, teorem nam daje neke informacije o potencijalnom izomorfizmu izmedu grupa.

Teorem 6.7 Neka je f : G → H izomorfizam grupa (G, ×) i (H, ◦) . Tada vrijede sljede´ce tvrdnje:

1. Ako je (G, ×) komutativna grupa, tada je i (H, ◦) komutativna grupa.

2. Ako je e neutralni element u (G, ×), onda je f (e) neutralni element u (H, ◦) .

3. Ako je a −1

inverzni element od a u (G, ¡ −1 ¢ ×), onda je f a inverzni element od f (a) u (H, ◦) .

4. Inverzna funkcija f −1 :H → G od f definira izomorfizam iz (H, ◦) u (G, ×) .

5. Ako je (G, ×) cikliˇcka grupa, onda je i (H, ◦) cikliˇcka grupa.

6. Za a ∈ G vrijedi |a| = |f (a)| .

7. Ako je (G ′ ,

×) podrupa od G, onda je (H ′ = {f (a) : a ∈ G } , ◦) pod- grupa od (H, ◦) i te su dvije podgrupe izomorfne.

Govorimo da izomorfizam ˇcuva odredena svojstva grupe kao ˇsto su ko- mutativnost, neutralni i inverzni element, zatim red elementa, podgrupe i svojstvo cikliˇcnosti grupe.

S apstraktnog glediˇsta sve su izometriˇcne grupe medusobno jednake. Tako, pojam izomorfizma predstavlja relaciju ekvivalencije, koja klasificira sve grupe u klase medusobno izomorfnih grupa. Zbog toga ˇcesto pokazu- jemo da je neka grupa izomorfna nekom standardnom predstavniku odredene klase medusobno izomorfnih grupa. Prikladno je za standardne predstavnike upotrebljavati cikliˇcke grupe.

Izmedu bilo koje dvije algebarske strukture (A, ◦) i (B, ×) moˇzemo pro- matrati preslikavanje f : A → B, kojeg zovemo morfizmom ukoliko vrijedi svojstvo 6.5 iz definicije izomorfizma. Uoˇcite da se morfizam razlikuje od izomorfizama u tome ˇsto morfizam ne mora biti bijekcija izmedu zadanih skupova. Dakle, morfizam je op´cenitiji pojam od izomorfizma.

POGLAVLJE 6. ALGEBARSKE STRUKTURE 265

Sljede´ci teorem govori o naˇcinu prenoˇsenja struktura grupe preko pres- likavanja koje je morfizam.

Teorem 6.8 Neka je (A, ◦) grupa, (B, ×) algebarska struktura i f : A →

f (A) ⊆ B morfizam. Tada je i (f (A) , ×) grupa. Zadatak 6.14 Dokaˇzite prethodni teorem. Zadatak 6.15 Zadane su aditivna i multiplikativna grupa kongruencija

(Z 6 ,+ 6 ) i (Z 7 \ {[0]}, × 6 ).

1. Napravite Cayleyeve tablice za obje grupe.

2. Ispitajte da li su te grupe izomorfne, te ako jesu pronadite barem jedan izomorfizam medu njima.