Neka svojstva realnih funkcija realne varijable

3.6.1 Neka svojstva realnih funkcija realne varijable

Slijede vaˇznija svojstva realnih funkcija realne varijable. • Za broj x 0 ∈ R kaˇzemo da je nultoˇcka funkcije

y = f (x) ako je f (x 0 ) = 0.

• Za funkciju y = f (x) kaˇzemo da je ograniˇcena odozgo (odozdo) ako ∃M ∈ R (∃m ∈ R), takav da je f (x) ≤ M (f (x) ≥ m), ∀x ∈ D f . Funkcija je ograniˇcena (omedena) ako je ograniˇcena i odozdo i odozgo. Realni broj M zovemo gornjom medom , a m donjom medom funkcije. Najmanji realan broj M , koji je gornja meda funkcije, zovemo najmanjom gornjom medom, a najve´ci realan broj m, koji je donja meda funkcije, zovemo najve´com donjom medom.

3.6. GRAF FUNKCIJE

• Za funkciju y = f (x) kaˇzemo da raste (pada) na intervalu I ⊆ D f ako za svaki izbor x 1 ,x 2 ∈ I, x 1 ≤x 2 vrijedi f (x 1 ) ≤ f (x 2 ) (f (x 1 ) ≥ f (x 2 )).

Kaˇzemo da funkcija strogo raste (strogo pada) ako za svaki izbor x 1 ,x 2 ∈ I, x 1 <x 2 vrijedi f (x 1 ) < f (x 2 ) (f (x 1 ) > f (x 2 )). Funkciju koja raste, odnosno pada, na cijelom podruˇcju definicije zovemo monoto-

nom. • Za funkciju y = f (x) kaˇzemo da ima lokalni maksimum u toˇcki x M ako

∃O, O ⊆ D f ,x M ∈ O, takav da ∀x, x ∈ O, f (x) ≤ f (x M ). Vrijednost f (x M ) funkcije f u toˇcki x M zovemo maksimalnom vrijednoˇs´cu. Za

funkciju y = f (x) kaˇzemo da ima lokalni minimum u toˇcki x m ako ∃O, O ⊆ D f ,x m ∈ O takav da ∀x, x ∈ O, f (x) ≥ f (x m ).

Vrijednost f (x m ) funkcije f u toˇcki x m zovemo minimalnom vrijednoˇs´cu. Jednim imenom za lokalni maksimum i minimum kaˇzemo da su lokalni ekstremi

funkcije. Za funkciju y = f (x) kaˇzemo da ima strogi lokalni maksimum u toˇcki x M ako

∃O, O ⊆ D f ,x M ∈ O takav da ∀x, x ∈ O, f (x) < f (x M ). Analogno definiramo strogi lokalni minimum.

• Za funkciju y = f (x) kaˇzemo da je periodiˇcna ako ∃T ∈ R, T > 0 takav da vrijedi f (x + T ) = f (x) , ∀x ∈ D f .

(3.5) Za T kaˇzemo da je period funkcije f. Najmanji realni broj T 0 , takav da vrijedi 3.5,

zovemo osnovnim periodom funkcije f. • Za funkciju y = f (x) kaˇzemo da je parna ako vrijedi

f (−x) = f (x) , ∀x ∈ D f .

Za funkciju y = f (x) kaˇzemo da je neparna ako vrijedi

f (−x) = −f (x) , ∀x ∈ D f .

Graf parne funkcije je osno simetriˇcan s obzirom na os y, a graf neparne funkcije je centralno simetriˇcan s obzirom na ishodiˇste. Ve´cina funkcija nisu ni parne ni neparne.

Eksponencijalne funkcije

Eksponencijalna funkcija je oblika x f (x) = a , a > 0, a 6= 1, f : R → h0, ∞i Svojstva:

1. a 0 = 1, ∀a. 2. a x > 0, ∀x ∈ R. 3. Os x je horizontalna asimptota.

Sluˇ caj 3.1 0 < a < 1. Funkcija pada na cijeloj domeni. f (x) → 0 kad x → +∞.

POGLAVLJE 3. DISKRETNA MATEMATIKA

Sluˇ caj 3.2 a > 1. Funkcija raste na cijeloj domeni. f (x) → 0 kad x → −∞.

Primjer 3.21 f (x) = 2 x

Slika 3.6

3.6. GRAF FUNKCIJE

Logaritamska funkcija

f (x) = log a x, f : h0, ∞i → R Logaritamska funkcija s bazom a (a > 0, a 6= 1) inverzna je funkcija eksponencijalne funkcije s bazom a. Ponovimo osnovna svojstva logaritama. Za realne brojeve a, b i c, pri ˇcemu su a, b > 0, a 6= 1 vrijedi:

Definicija 3.28

(3.6) Svojstva: 1. log a 1 = 0.

log c

a b=c⇔a =b

2. log a a = 1. 3. a log a x = x. 4. log a a x = x.

5. log a (xy) = log a x + log a y. 6. log x a y = log a x − log a y. 7. log a x p = p log a x, p ∈ R, p6=0. 8. log x= log b a x log b a .

9. log a b= 1 log b a . Sluˇ caj 3.3

0 < a < 1. Funkcija pada na cijeloj domeni. f (x) → 0 kad x → +∞.

Primjer 3.22

f (x) = log 2 1 x

-1 0 1 2 3 4 x

Slika 3.7

POGLAVLJE 3. DISKRETNA MATEMATIKA

Sluˇ caj 3.4 a > 1. Funkcija raste na cijeloj domeni. f (x) → 0 kad x → −∞.

log e x ≡ ln x, e ≈ 2.71...

Cjelobrojne funkcije Cjelobrojne funkcije imaju vaˇznu ulogu u informatici. To su realne funkcije realne vari-

jable, ˇcija je kodomena skup cijelih brojeva. Spomenimo funkciju ”najve´ce cijelo manje od” (floor - pod) i ”najmanje cijelo ve´ce od” (ceiling - strop). Dakle, za cjelobrojne funkcije

f je kodomena skup cijelih brojeva.

Definicija 3.29 Za svaki realni broj x definiramo ⌊x⌋ kao najve´ci cijeli broj manji ili jednak x.

Za svaki realni broj x definiramo ⌈x⌉ kao najmanji cijeli broj ve´ci ili jednak od x. Vrijede sljede´ce nejednakosti medu tim funkcijama:

⌊x⌋ ≤ x ≤ ⌈x⌉ , x−1 ≤ ⌊x⌋ ≤ x, x ≤ ⌈x⌉ ≤ x + 1.

3.6. GRAF FUNKCIJE